本發(fā)明涉及信號處理領(lǐng)域，尤其是涉及一種軸承振動信號稀疏重構(gòu)的方法。

背景技術(shù)：

如今，現(xiàn)代工業(yè)中的機(jī)械設(shè)備正朝向更加的自動化、精確和有效的方向發(fā)展。為了實現(xiàn)機(jī)械設(shè)備的實時狀態(tài)監(jiān)測和及時故障處理，大量振動信號的采集使得機(jī)械設(shè)備的故障診斷技術(shù)已經(jīng)進(jìn)入大數(shù)據(jù)時代。為了能夠盡量不失真地恢復(fù)原始信號，傳統(tǒng)的信號采集技術(shù)都需遵循奈奎斯特采樣定理，即采樣頻率不小于信號頻譜中最高頻率的2倍。在故障不是瞬時發(fā)生的現(xiàn)實狀況下，數(shù)據(jù)的采樣、壓縮和傳輸就得持續(xù)進(jìn)行，隨著時間的推移，數(shù)據(jù)量的急劇增加，對信號的存儲和傳輸硬件條件提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。針對這個問題，Candes和Donoho在2006年提出了壓縮感知(Compressive Sensing，CS)理論。這一理論用一組隨機(jī)測量矩陣去感知稀疏或可壓縮的原始信號，從高維信號中獲得降維的觀測數(shù)據(jù)，最后利用數(shù)據(jù)的稀疏特性重構(gòu)出原始信號，即稀疏重構(gòu)(Sparse Reconstruction)。CS突破了奈奎斯特采樣定理的限制，緩解了因大數(shù)據(jù)下信號采集、傳輸和存儲的壓力，已被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)探測、醫(yī)學(xué)成像、語音信號處理和故障信號處理中。然而，目前針對故障振動信號的稀疏重構(gòu)算法存在兩方面的問題。一方面，算法相對較簡單，以至于重構(gòu)信號與原始信號相差較大，丟失較多的信息。尤其是在攜帶故障信號的時候，信息的丟失將影響故障特征的提取，阻礙狀態(tài)監(jiān)測和故障處理的進(jìn)程。另一方面，稀疏重構(gòu)算法的優(yōu)化性不夠，無法同時滿足迭代次數(shù)少，重構(gòu)誤差小的要求，拖累了信號的處理速度。

現(xiàn)有技術(shù)中，在針對軸承振動信號的稀疏重構(gòu)中，在保證重構(gòu)精度高的同時，計算方法又快速有效，是一個有待解決的問題。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的就是為了克服上述現(xiàn)有技術(shù)存在的缺陷而提供一種軸承振動信號稀疏重構(gòu)的方法，在保證重構(gòu)精度高的同時，快速有效地稀疏重構(gòu)出具有非線性、非平穩(wěn)特性的軸承振動信號。

本發(fā)明的目的可以通過以下技術(shù)方案來實現(xiàn)：

一種軸承振動信號稀疏重構(gòu)的方法包括以下步驟：

S1：利用離散余弦變換基，對原始軸承振動信號x進(jìn)行稀疏化，得到x在變換域Ψ上的稀疏表示θ，x＝Ψθ，Ψ是正交矩陣；

S2：基于約束等距性條件，利用觀測矩陣Φ對信號x進(jìn)行壓縮，得到觀測信號y，y＝Φx＝ΦΨθ；

S3：利用ADMM算法和LSQR算法，由觀測信號y得到重構(gòu)信號

所述步驟S3具體為：

301：將信號重構(gòu)的L₀范數(shù)求解問題轉(zhuǎn)化為L₁范數(shù)最小化問題，滿足以下公式：

其中，A＝Φ；

302：利用LASSO算法解決公式(1)最小化問題，滿足以下公式：

其中，λ＞0，是正則化參數(shù)；

303：利用ADMM算法將公式(2)轉(zhuǎn)化為：

x_k+1＝(A^TA+ρI)^-1(A^Ty-ρ(z_k-μ_k))

z_k+1＝S_λ/ρ(x_k+1+μ_k)

μ_k+1＝μ_k+x_k+1-z_k+1

其中，k表示迭代次數(shù)，z、μ、ρ為中間變量，S為L₁范數(shù)的臨近運算子；

304：利用LSQR算法求解公式(3)，得到重構(gòu)信號

所述LSQR算法包括以下步驟：

(1)初始化：

β₁m₁＝d(β₁＝||d||),a₁v₁＝A^Tm₁(a₁＝||A^Tm₁||),

其中，β₁和a₁都是歸一化常數(shù)，||m₁||＝1，||v₁||＝1；

(2)循環(huán)運算，對于k＝1,2,3,…，重復(fù)步驟(3)到步驟(6)；

(3)利用Lanczos算法進(jìn)行迭代，雙對角化：

(4)Givens正交變換過程：

(5)更新和w：

w_k+1＝v_k+1-(n_k+1/ρ_k)w_k；

(6)停止迭代直至收斂。

所述L₁范數(shù)的臨近運算子S滿足以下公式：

S_p(q)＝(1-p|q|)₊q

其中，p、q為中間變量。

所述觀測矩陣Φ采用高斯白噪聲矩陣。

適用于重構(gòu)非線性、非平穩(wěn)的軸承振動信號，所述步驟S3得到的重構(gòu)信號用于軸承故障特征提取和軸承故障預(yù)測。

與現(xiàn)有技術(shù)相比，本發(fā)明具有以下優(yōu)點：

1)本發(fā)明將LASSO(Least Absolute Shinkage and Selection Operator)應(yīng)用于振動信號的重構(gòu)中，利用交替方向法(Alternate Direction Multiplier Method，ADMM)實現(xiàn)Lasso的求解和最小二乘QR分解算法(Least Square QR-factorization，LSQR)對Lasso進(jìn)行優(yōu)化，便可以在較快的計算速度下得到還原度更高的重構(gòu)信號。

2)本發(fā)明利用ADMM算法得到公式(3)，充分利用了目標(biāo)函數(shù)的可分離性，將原問題分解為若干個更容易得到全局解的交替的極小化子問題進(jìn)行分析，并且ADMM算法更適用于實際應(yīng)用中存在大量變量的大規(guī)模問題。更重要的是，在大部分應(yīng)用中，分離的極小化子問題都能得到顯示解，這樣可以省略掉每個子問題最優(yōu)解的收斂性證明。

3)針對本發(fā)明中出現(xiàn)的大型稀疏問題，本發(fā)明利用LSQR方法進(jìn)行最小二乘問題的求解。與傳統(tǒng)的最小二乘問題解決方法相比較，LSQR方法具有計算量小，易于實現(xiàn)并行算法，迭代收斂快和求解精度高等優(yōu)點。

4)本發(fā)明方法完全適用于非線性、非平穩(wěn)的軸承故障診斷信號，且其重構(gòu)的信號，幾乎攜帶了原始信號的所有信息，不僅對接下來的故障特征提取和預(yù)測部分不影響，還緩解了因大數(shù)據(jù)帶來的采集、傳輸和儲存信號的壓力。

附圖說明

圖1為本發(fā)明方法流程圖；

圖2為本實施例中軸承振動仿真信號波形示意圖；

圖3為本實施例中軸承振動仿真信號在DCT下的稀疏形式示意圖；

圖4為BP算法、LASSO算法與本發(fā)明LASSO-LSQR算法用于稀疏重構(gòu)的迭代次數(shù)對比示意圖；

圖5為軸承振動仿真信號分別與BP算法、LASSO算法與本發(fā)明LASSO-LSQR算法獲得的重構(gòu)信號的誤差比較示意圖；

圖6為正常、內(nèi)圈故障、外圈故障、轉(zhuǎn)子故障時的軸承振動原始信號三維圖；

圖7為采用本發(fā)明方法獲得的正常、內(nèi)圈故障、外圈故障、轉(zhuǎn)子故障時的軸承振動重構(gòu)信號三維圖。

具體實施方式

下面結(jié)合附圖和具體實施例對本發(fā)明進(jìn)行詳細(xì)說明。本實施例以本發(fā)明技術(shù)方案為前提進(jìn)行實施，給出了詳細(xì)的實施方式和具體的操作過程，但本發(fā)明的保護(hù)范圍不限于下述的實施例。

如圖1所示，一種重構(gòu)精度高且計算過程迭代次數(shù)少的軸承振動信號稀疏重構(gòu)的方法包括以下步驟：

S1：利用離散余弦變換基，對原始軸承振動信號x進(jìn)行稀疏化，得到x在變換域Ψ上的稀疏表示θ，x＝Ψθ，Ψ是正交矩陣。

壓縮感知理論實現(xiàn)的前提是信號具有稀疏性，或者在某個變換域上是稀疏的。而本文的研究對象軸承的振動信號通常含有大量的噪聲，很難具備稀疏性，因此，首先要將原始振動信號稀疏化。本發(fā)明采用DCT(離散余弦變換)基作為稀疏分解矩陣，采集到的軸承振動信號x＝{x₁,x₂,…,x_N}的DCT系數(shù)θ＝{θ₁，θ₂，…，θ_N}就可以表示為：

S2：基于約束等距性條件，利用觀測矩陣Φ對信號x進(jìn)行壓縮，得到觀測信號y，y＝Φx＝ΦΨθ。

壓縮感知的觀測過程中進(jìn)行信號的壓縮，測量模型并不是直接測量信號的本身，而是將其投影到一組向量Φ＝{Φ₁,Φ₂,…Φ_M}中，即y＝Φx＝ΦΨθ，式中：y∈R^M×1，Φ∈R^M×N為觀測矩陣，M＜＜N。觀測矩陣需與稀疏分解矩陣滿足約束等距性(Restricted Isometry Property，RIP)條件即式中：δ_k∈(0,1)。常見的滿足約束等距性的觀測矩陣有：隨機(jī)高斯矩陣、隨機(jī)伯努利矩陣、部分傅里葉矩陣、部分哈達(dá)瑪矩陣以及部分正交觀測矩陣等。隨機(jī)高斯矩陣幾乎與任何固定的正交基都不相干，所以，本發(fā)明選擇高斯白噪聲作為觀測矩陣Φ。

S3：利用ADMM算法和LSQR算法，由觀測信號y得到重構(gòu)信號具體為：

301：將信號重構(gòu)的L₀范數(shù)求解問題轉(zhuǎn)化為L₁范數(shù)最小化問題，滿足以下公式：

其中，A＝Φ。

信號的稀疏重構(gòu)是壓縮感知的核心部分，其最直接的方法是通過L₀范數(shù)求解的最優(yōu)化問題：s.t.y＝Φx。從低維信號重構(gòu)出原始信號的L₀范數(shù)求解問題是一個典型的NP難問題，因為需要窮舉所有非零項位置的排列是相當(dāng)困難的。為了解決這個問題，Donoho和Chen證明了在稀疏矩陣與觀測矩陣不相干的情況下，L₀范數(shù)問題可以轉(zhuǎn)換為L₁范數(shù)最小化問題s.t.y＝Ax。

302：在統(tǒng)計學(xué)領(lǐng)域L₁范數(shù)約束下的優(yōu)化問題LASSO，即利用LASSO算法解決公式(1)最小化問題，滿足以下公式：

其中，λ＞0，是正則化參數(shù)。

303：利用ADMM算法將公式(2)轉(zhuǎn)化為：

x_k+1＝(A^TA+ρI)^-1(A^Ty-ρ(z_k-μ_k))

z_k+1＝S_λ/ρ(x_k+1+μ_k)

μ_k+1＝μ_k+x_k+1-z_k+1

其中，k表示迭代次數(shù)，z、μ、ρ為中間變量，S為L₁范數(shù)的臨近運算子。L₁范數(shù)的臨近運算子S滿足以下公式：

S_p(q)＝(1-p|q|)₊q

其中，p、q為中間變量，(·)₊表示值為正數(shù)時才有意義。

對LASSO算法的實現(xiàn)，應(yīng)用交替方向乘子法(Alternate Direction Multiplier Method，ADMM)。ADMM算法是一種適用于可分離凸規(guī)劃問題的簡單有效的方法，尤其是在應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)和機(jī)械學(xué)中應(yīng)用廣泛。ADMM算法可以看成是在増廣Lagrange算法基礎(chǔ)上發(fā)展出的一種新算法。相對于増廣Lagrange算法，ADMM算法最大的優(yōu)越性在于充分利用了目標(biāo)函數(shù)的可分離性，將原問題分解為若干個更容易得到全局解的交替的極小化子問題進(jìn)行分析，并且ADMM算法更適用于實際應(yīng)用中存在大量變量的大規(guī)模問題。更重要的是，在大部分應(yīng)用中，分離的極小化子問題都能得到顯示解，這樣可以省略掉每個子問題最優(yōu)解的收斂性證明。

304：利用LSQR算法求解公式(3)，得到重構(gòu)信號

對于上中的x迭代，本質(zhì)上是一種交替實施嶺回歸過程。嶺回歸過程，又被成為平方正則化最小二乘問題。傳統(tǒng)的最小二乘問題解決方法都是直接求解方程的解，其強(qiáng)調(diào)的是最大限度的擬合數(shù)據(jù)。而針對本發(fā)明中出現(xiàn)的大型稀疏問題，利用LSQR方法進(jìn)行最小二乘問題的求解。

LSQR(最小二乘正交分解法)方法是Paige和Sanders在1982年提出，其并不是去直接求解法方程，而是尊崇最小二乘的原則，在法方程限定的解空間里尋求最佳解。主要運用了Lanczos迭代和Givens正交變換。與傳統(tǒng)的最小二乘問題解決方法相比較，LSQR方法具有計算量小，易于實現(xiàn)并行算法，迭代收斂快和求解精度高等優(yōu)點。LSQR算法程序設(shè)計的框架如下：

(1)初始化：

β₁m₁＝d(β₁＝||d||),a₁v₁＝A^Tm₁(a₁＝||A^Tm₁||),

其中，β₁和a₁都是歸一化常數(shù)，||m₁||＝1，||v₁||＝1；

(2)循環(huán)運算，對于k＝1,2,3,…，重復(fù)步驟(3)到步驟(6)；

(3)利用Lanczos算法進(jìn)行迭代，雙對角化：

(4)Givens正交變換過程：

(5)更新和w：

w_k+1＝v_k+1-(n_k+1/ρ_k)w_k

(6)停止迭代直至收斂。

以上步驟中未標(biāo)明變量意義的都是中間變量。

方案比較

為了進(jìn)一步表明本發(fā)明方法的優(yōu)越性，將已有的BP和LASSO稀疏重構(gòu)算法與本發(fā)明LASSO-LSQR算法分別作用于仿真信號中。本發(fā)明中，研究對象是軸承振動信號，基于其頻譜結(jié)構(gòu)，軸承振動信號包含基頻振動、諧波振動、沖擊振動、調(diào)幅振動及噪聲信號等。在正常工作的狀態(tài)中，滾動軸承振動信號主要是與轉(zhuǎn)速同頻的正弦信號，此外，由軸承自身結(jié)構(gòu)特點、軸彎曲或裂紋、零部件松動、加工或安裝誤差及軸系不對中等故障引起的振動也一般是正弦信號。因此，為了建立最基本的軸承振動仿真信號，將正弦信號疊加式作為仿真信號

其中t＝0:1/800:1024/800，采樣頻率為800Hz，采樣點數(shù)為1024，稀疏性為100。上式在時域內(nèi)如圖2所示。

為了能夠更好的比較ADMM算法下BP、LASSO和LASSO-LSQR稀疏重構(gòu)的實現(xiàn)結(jié)果，將稀疏分解矩陣和觀測矩陣分別取為相同的DCT和高斯白噪聲。圖3則表明了仿真信號在DCT下的稀疏形式，可直觀的看出仿真信號在經(jīng)過DCT后，具有很強(qiáng)的稀疏性，完全滿足壓縮感知的條件。

將均方根誤差與迭代次數(shù)作為這三種稀疏重構(gòu)算法的比較對象，均方根誤差的公式為圖4和圖5分別代表了BP、LASSO、LASSO-LSQR這三種稀疏重構(gòu)算法通過ADMM的實現(xiàn)下，重構(gòu)過程中的迭代次數(shù)和仿真信號與重構(gòu)信號之間誤差的結(jié)果比較，其中(4a)、(5a)對應(yīng)BP算法，(4b)、(5b)對應(yīng)LASSO算法，(4c)、(5c)對應(yīng)本發(fā)明LASSO-LSQR算法，圖4中橫坐標(biāo)為迭代次數(shù)，縱坐標(biāo)為迭代公式，圖5中橫坐標(biāo)為采樣點，縱坐標(biāo)為真實值與預(yù)測值的差值。由圖4可以直觀的看出，LASSO下重構(gòu)信號的迭代次數(shù)比BP要小很多，這就表明重構(gòu)過程的運算處理時間得到了大幅的縮短。經(jīng)由LSQR優(yōu)化后的LASSO，一方面迭代次數(shù)進(jìn)一步的減少，另一方面，重構(gòu)信號的大小更加近似于原始信號。表1定量地將這三種進(jìn)行了比較。LASSO-LSQR稀疏重構(gòu)算法的迭代次數(shù)只有8次，而均方根誤差的大小僅僅只有0.0092。無論是在迭代次數(shù)，還是誤差方面，LASSO-LSQR稀疏重構(gòu)算法都比BP和LASSO更具有優(yōu)勢。所以，在接下來的軸承振動信號重構(gòu)中選擇LASSO-LSQR作為稀疏重構(gòu)算法。

表1三種稀疏重構(gòu)算法的比較

發(fā)明應(yīng)用

選取軸承四種狀態(tài)下的振動信號：正常、內(nèi)圈故障、外圈故障和轉(zhuǎn)子故障，采用頻率為12k，采樣點數(shù)為1024，稀疏度為100。圖6中四種狀態(tài)下所采集的軸承故障信號，通過短時傅里葉變換(Short Time Fourier Transform，STFT)，將時間、頻率和幅值做成三維圖，其中(6a)對應(yīng)正常軸承振動信號，(6b)對應(yīng)內(nèi)圈故障的軸承振動信號，(6c)對應(yīng)外圈故障的軸承振動信號，(6d)對應(yīng)轉(zhuǎn)子故障的軸承振動信號。圖7則是原始的軸承振動信號，經(jīng)過稀疏分解矩陣DCT的稀疏化，測量矩陣高斯白噪聲的壓縮，稀疏重構(gòu)算法ADMM實現(xiàn)的LASSO-LSQR的重構(gòu)，其中(7a)對應(yīng)正常軸承振動信號，(7b)對應(yīng)內(nèi)圈故障的軸承振動信號，(7c)對應(yīng)外圈故障的軸承振動信號，(7d)對應(yīng)轉(zhuǎn)子故障的軸承振動信號。表2則反映了四種狀態(tài)下重構(gòu)信號質(zhì)量的數(shù)值結(jié)果?？梢钥闯?，無論軸承處于何種故障下，重構(gòu)時的迭代次數(shù)都不會超過15，甚至正常狀況下，迭代次數(shù)只有5。而均方根誤差的大小，在時域的比較中，數(shù)值分別只有0.0084、0.0091、0.0078和0.0075，在頻域中，誤差的大小達(dá)到了小數(shù)點的后四位，幾乎可以忽略不計?？梢钥闯?，在這種組合下的壓縮感知技術(shù)，完全適用于非線性、非平穩(wěn)的軸承故障診斷信號，且其重構(gòu)的信號，幾乎攜帶了原始信號的所有信息，不僅對接下來的故障特征提取和預(yù)測部分不影響，還緩解了因大數(shù)據(jù)帶來的采集、傳輸和儲存信號的壓力。

表2四種狀態(tài)下軸承重構(gòu)信號結(jié)果比較

綜上所述，本發(fā)明減少了計算的復(fù)雜度，即迭代次數(shù)減少，提高了重構(gòu)的精度，使得重構(gòu)信號保留了大部分原始信號的故障信息。

本發(fā)明在稀疏重構(gòu)基本的理論下，針對軸承振動信號非平穩(wěn)、非高斯、非線性的特征下，選擇基于ADMM實現(xiàn)Lasso的求解，利用LSQR對Lasso進(jìn)行優(yōu)化的稀疏重構(gòu)組合。與現(xiàn)有此方向的技術(shù)相比較，一方面考慮了信號的自身特點，選擇適宜的算法，另一方面對算法進(jìn)行了優(yōu)化，提升了運算的速度，提高了重構(gòu)的精度。

本發(fā)明是對大量軸承振動信號的一個前期處理，緩解了大數(shù)據(jù)對信號的采集、傳輸、存儲的壓力，算法經(jīng)優(yōu)化過后運算速度快且精度高，軟件易于實現(xiàn)。硬件無需改動。