本發(fā)明涉及一種人群恐慌傳播建模方法，尤其是涉及一種基于運(yùn)動(dòng)學(xué)小球模型的災(zāi)害條件下人群恐慌傳播建模方法。

背景技術(shù)：

災(zāi)害條件下都會(huì)伴有恐慌發(fā)生，恐慌既是導(dǎo)致踩踏發(fā)生的原因，又是導(dǎo)致事故后果擴(kuò)大的重要原因。近年來，學(xué)者們越來越重視綜合社會(huì)科學(xué)、管理科學(xué)、信息科學(xué)和系統(tǒng)科學(xué)等多學(xué)科研究成果，深入研究疏散過程中恐慌的形成、傳播、及其對人群疏散穩(wěn)定性的作用，使得疏散模擬結(jié)果愈逼近真實(shí)情況，以有效預(yù)防各類踩踏事件。但是由于恐慌心理具有復(fù)雜性、時(shí)變性和無法復(fù)制性，而且人群疏散演化又是一個(gè)非線性的，非結(jié)構(gòu)化的和自組織的復(fù)雜過程，尤其是對人群在恐慌狀態(tài)下出現(xiàn)的過度擁擠和踩踏現(xiàn)象，因此，無法建立精確的數(shù)學(xué)模型，使得難以用經(jīng)典Lyapunov函數(shù)來分析其失穩(wěn)過程和演化機(jī)理。

國內(nèi)對恐慌傳播研究已經(jīng)進(jìn)入起步階段，但存在不足：(1)微觀分析較少，現(xiàn)有模型多是從宏觀角度研究恐慌傳播問題。(2)經(jīng)典的恐慌傳播模型缺乏時(shí)變性，尚未形成可操作性強(qiáng)的分析方法。經(jīng)典模型中反映人員個(gè)體恐慌度是固定的，現(xiàn)實(shí)中人群的恐慌程度是“情景依賴”的，在無引導(dǎo)情況下，個(gè)體恐慌程度隨災(zāi)害嚴(yán)重程度遞增；在有引導(dǎo)情況下，引導(dǎo)行為對恐慌具有鎮(zhèn)定作用，個(gè)體恐慌程度將有所緩和。這些特征都需要賦予恐慌度時(shí)變特性。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的就是為了克服上述現(xiàn)有技術(shù)存在的缺陷而提供一種基于運(yùn)動(dòng)學(xué)小球模型的災(zāi)害條件下人群恐慌傳播建模方法。

本發(fā)明的目的可以通過以下技術(shù)方案來實(shí)現(xiàn)：

一種基于運(yùn)動(dòng)學(xué)小球模型的災(zāi)害條件下人群恐慌傳播建模方法，包括以下步驟：

1)將人群中的疏散個(gè)體映射為小球，根據(jù)疏散個(gè)體的個(gè)體關(guān)鍵特征獲得恐慌傳播前各疏散個(gè)體的質(zhì)量和兩兩疏散個(gè)體間的距離；

2)引入觸發(fā)恐慌傳播的災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)，計(jì)算各疏散個(gè)體經(jīng)恐慌傳播后的速度；

3)根據(jù)恐慌“心理—行為”波動(dòng)模型獲得恐慌情況下各疏散個(gè)體的直徑變化量，進(jìn)而獲得各疏散個(gè)體的質(zhì)量變化量；

4)根據(jù)步驟1)～3)建立以動(dòng)量變化表示的人群恐慌傳播模型，通過動(dòng)量的變化量表現(xiàn)恐慌程度。

所述疏散個(gè)體的個(gè)體關(guān)鍵特征包括年齡、性別、殘障程度、敏捷性、體重和社會(huì)因素中的陌生程度。

所述步驟2)具體為：

201)求取災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)h_dis的值：

定義規(guī)則θ為：

${\mathrm{\μ}}_{DA}\left({\left(h_{dis}\right)}_t\right)=min\{1,\underset{s=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_{t_0}\left(i_s\right)r_{st}\}---\left(1\right)$

式中，μ_DA為災(zāi)害損失度DA的隸屬度函數(shù)，DA_max為最大災(zāi)害損失度，μ_t0為風(fēng)險(xiǎn)評估強(qiáng)度I₀的隸屬度函數(shù)，I_max為最大風(fēng)險(xiǎn)評估強(qiáng)度，下標(biāo)t是h_dis的排序號(hào)，s是i值的序號(hào)，i是風(fēng)險(xiǎn)評估強(qiáng)度I₀上的坐標(biāo)值，n為i的最大值，r_st是模糊關(guān)系矩陣中的元素，采用推論公式：

DA＝I₀θR (2)

將風(fēng)險(xiǎn)評估強(qiáng)度I₀以信息分配的方法分配到控制點(diǎn)上，最后求出災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)h_dis的值，R為模糊關(guān)系矩陣；

202)計(jì)算各疏散個(gè)體經(jīng)恐慌傳播后的速度：

h_dis＝f(ρ) (3)

$v_i=1.867D_L^4-6.333D_L^3+7.233D_L^2-3.617D_L+0.95---\left(4\right)$

式中，ρ為人流密度，f(·)表示災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)h_dis與人流密度ρ所線性關(guān)系函數(shù)，D_L＝NA_P/W_AL_A＝ρA_P，D_L是水平投影面內(nèi)單位面積的疏散個(gè)體數(shù)量，N為行走人流中的總?cè)藬?shù)，A_P為單個(gè)人的水平投影面積，W_A為人流的寬度，L_A為人流的長度，v_i為第i個(gè)疏散個(gè)體的速度。

所建立的人群恐慌傳播模型為一維恐慌傳播模型時(shí)，各疏散個(gè)體的質(zhì)量變化量的獲取步驟如下：

301)根據(jù)恐慌“心理—行為”波動(dòng)模型建立恐慌程度表示式：

$m_i\frac{{\mathrm{dv}}_i}{dt}=m_i\frac{v_i^0\left(t\right)e_i^0\left(t\right)-v_i\left(t\right)}{{\mathrm{\τ}}_i}+\underset{j(\≠i)}{\mathrm{\Σ}}{f}_{ij}+\underset{w}{\mathrm{\Σ}}{f}_{iw}---\left(5\right)$

$f_{ij}=\{A_i\exp \[(d_{ij}-d_{cij})/B_i\]+kg(d_{ij}-d_{cij})\}+\mathrm{\ξ}g(d_{ij}-d_{cij}){\mathrm{\Δv}}_{ji}^t---\left(6\right)$

f_iw＝{A_i exp[(r_i-d_iw)/B_i]+kg(r_i-d_iw)}n_iw-ξg(r_i-d_iw)v_i (7)式中，m_i是第i個(gè)疏散個(gè)體的質(zhì)量，是第i個(gè)疏散個(gè)體的理想速度，是第i個(gè)疏散個(gè)體的設(shè)定方向，v_i是第i個(gè)疏散個(gè)體的實(shí)際速度，τ_i是第i個(gè)疏散個(gè)體的特征時(shí)間，t是時(shí)間，f_ij是疏散個(gè)體i與疏散個(gè)體j之間的相互作用力，f_iw是疏散個(gè)體i與邊界之間的相互作用力，A_i、B_i為常數(shù)，d_cij是兩疏散個(gè)體的質(zhì)量中心距離，d_ij為兩疏散個(gè)體之間距離，是t時(shí)刻速度的矢量差，kg(d_ij-d_cij)表示質(zhì)量力，表示t時(shí)刻滑動(dòng)摩擦力，k和ξ為決定疏散個(gè)體i和j之間的相互作用的阻塞效應(yīng)的參數(shù)，d_iw是疏散個(gè)體i與邊界之間的距離，r_i是第i個(gè)疏散個(gè)體直徑，v_i為第i個(gè)疏散個(gè)體的速度，g(x)是一個(gè)函數(shù)，如果疏散個(gè)體發(fā)生碰撞，g(x)＝0，否則g(x)＝x；

302)計(jì)算恐慌情況下疏散個(gè)體質(zhì)量變化量：

ΔD_i＝2(d_cij-d_ij-r_j-r_i) (8)

${\mathrm{\Δm}}_i={\mathrm{\ρ}}_i\{\frac{4}{3}\mathrm{\π}{\left(\right(D_i+{\mathrm{\ΔD}}_i)/2)}^3-\frac{4}{3}\mathrm{\π}{(D_i/2)}^3\}---\left(9\right)$

式中，ΔD_i是小球i在恐慌情況下直徑變化量，Δm_i是小球i的質(zhì)量變化量，ρ_i是小球i的密度，D_i是小球i的直徑。

所建立的人群恐慌傳播模型為二維恐慌傳播模型時(shí)，各疏散個(gè)體的質(zhì)量變化量的獲取步驟如下：

301)獲取疏散個(gè)體的總推力和排斥力

式中，為自推力，為疏散個(gè)體i的實(shí)際速度，表示期望速度，為期望方向，表示疏散個(gè)體受到的排斥或吸引作用力，t表示時(shí)間；

302)根據(jù)恐慌“心理—行為”波動(dòng)模型建立恐慌程度表示式：

式中，m_i是第i個(gè)疏散個(gè)體的質(zhì)量，是第i個(gè)疏散個(gè)體的理想速度，是第i個(gè)疏散個(gè)體的設(shè)定方向，是第i個(gè)疏散個(gè)體的實(shí)際速度，τ_i是第i個(gè)疏散個(gè)體的特征時(shí)間，A_i、B_i為常數(shù)，d_cij為兩疏散個(gè)體的質(zhì)量中心距離，是兩疏散個(gè)體之間距離，是j指向i的標(biāo)準(zhǔn)向量，是的切向方向，是切向速度的變化量，質(zhì)量力，是t時(shí)刻滑動(dòng)摩擦力，k和ξ為決定疏散個(gè)體i和j之間的相互作用的阻塞效應(yīng)的參數(shù)，d_iw是疏散個(gè)體i與墻之間的距離，是指垂直方向，是指切向方向，r_i是第i個(gè)疏散個(gè)體直徑，g(x)是一個(gè)函數(shù)，如果疏散個(gè)體發(fā)生碰撞，g(x)＝0，否則g(x)＝x；

303)計(jì)算恐慌情況下疏散個(gè)體質(zhì)量變化量：

${\mathrm{\Δm}}_i={\mathrm{\ρ}}_i\{\frac{4}{3}\mathrm{\π}{\left(\right(D_i+{\mathrm{\ΔD}}_i)/2)}^3-\frac{4}{3}\mathrm{\π}{(D_i/2)}^3\}---\left(16\right)$

式中，ΔD_i是小球i在恐慌情況下直徑變化量，Δm_i是小球i的質(zhì)量變化量，ρ_i是小球i的密度，D_i是小球i的直徑。

與現(xiàn)有技術(shù)相比，本發(fā)明具有以下優(yōu)點(diǎn)：

(1)本發(fā)明針對恐慌傳播方法分析，構(gòu)建面向恐慌傳播的非均勻直徑動(dòng)態(tài)小球模型，將恐慌傳播問題轉(zhuǎn)化為小球碰撞模型。

在疏散人群恐慌傳播建模方法方面，本發(fā)明基于恐慌傳播與小球碰撞的自然相似性，基于傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，引入小球碰撞模型描述恐慌傳播特性，將人群疏散的恐慌傳播問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)小球模型，屬于分段線性映射，方法簡便可行。

由此，災(zāi)害因素決定了疏散個(gè)體特征實(shí)際速度，基于恐慌“心理—行為”波動(dòng)模型，從疏散個(gè)體緊張程度和速度變化反向計(jì)算其恐慌程度，并將恐慌度映射為小球直徑，決定小球直徑?？只庞成渚W(wǎng)絡(luò)考慮了災(zāi)害態(tài)勢和建筑空間結(jié)構(gòu)等環(huán)境因素，保證了疏散瓶頸(以安全出口為例)處的疏散個(gè)體與小球，以及人群與小球的屬性映射一致性和完備性。在恐慌映射網(wǎng)絡(luò)中，運(yùn)用恐慌度，可以實(shí)時(shí)反映踩踏演化過程中疏散人員個(gè)體的綜合心理狀態(tài)，并作用于運(yùn)動(dòng)速度。

恐慌程度改變疏散個(gè)體之間的作用力，決定了小球體積膨脹程度，改變小球的直徑，從而改變小球總動(dòng)量，動(dòng)量的變化量表現(xiàn)恐慌程度。上述各方面的一致性和完備性，為系統(tǒng)分析恐慌傳播模型提供了科學(xué)依據(jù)，成為本發(fā)明的優(yōu)點(diǎn)之一。

(2)系統(tǒng)分析恐慌傳播模型

本發(fā)明根據(jù)疏散個(gè)體的恐慌程度，將單個(gè)小球直徑從固定值擴(kuò)展到時(shí)變值，客觀地反應(yīng)了疏散個(gè)體的心理差異，又簡便地通過直徑時(shí)變特性保障了小球直徑的不均勻性；用小球體積膨脹程度來反映恐慌程度，用動(dòng)量反映恐慌傳播結(jié)果，圍觀分析恐慌傳播對人群疏散的影響；將災(zāi)害態(tài)勢等環(huán)境因素映射為小球速度，并影響小球碰撞后總動(dòng)量，補(bǔ)充了小球計(jì)算模型和物理模型中尚未考慮到的因素；利用此恐慌傳播模型，可以通過調(diào)整各類疏散情景要素，系統(tǒng)地分析恐慌傳播對人群疏散的影響，成為本項(xiàng)發(fā)明的又一優(yōu)點(diǎn)。

附圖說明

圖1為一維無恐慌情況下疏散個(gè)體運(yùn)動(dòng)示意圖；

圖2為一維恐慌情況下疏散個(gè)體運(yùn)動(dòng)示意圖；

圖3為二維無恐慌情況下疏散個(gè)體運(yùn)動(dòng)示意圖；

圖4為二維恐慌情況下疏散個(gè)體運(yùn)動(dòng)示意圖。

具體實(shí)施方式

下面結(jié)合附圖和具體實(shí)施例對本發(fā)明進(jìn)行詳細(xì)說明。本實(shí)施例以本發(fā)明技術(shù)方案為前提進(jìn)行實(shí)施，給出了詳細(xì)的實(shí)施方式和具體的操作過程，但本發(fā)明的保護(hù)范圍不限于下述的實(shí)施例。

本發(fā)明提供一種基于運(yùn)動(dòng)學(xué)小球模型的災(zāi)害條件下人群恐慌傳播建模方法，適用于人群跟隨模型，包括以下步驟：

1)根據(jù)疏散個(gè)體在生理因素和社會(huì)關(guān)系因素的關(guān)鍵特征的統(tǒng)計(jì)和調(diào)研分析的量化結(jié)果，將人群中的疏散個(gè)體映射為小球(疏散個(gè)體指疏散中的行人)，根據(jù)疏散個(gè)體的個(gè)體關(guān)鍵特征獲得恐慌傳播前各疏散個(gè)體的質(zhì)量和兩兩疏散個(gè)體間的距離，疏散個(gè)體的個(gè)體關(guān)鍵特征包括年齡、性別、殘障程度、敏捷性、體重和社會(huì)因素中的陌生程度；

2)引入觸發(fā)恐慌傳播的災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)，計(jì)算各疏散個(gè)體經(jīng)恐慌傳播后的速度；

3)根據(jù)恐慌“心理—行為”波動(dòng)模型獲得恐慌情況下各疏散個(gè)體的直徑變化量，進(jìn)而獲得各疏散個(gè)體的質(zhì)量變化量；

4)根據(jù)步驟1)～3)建立以動(dòng)量變化表示的人群恐慌傳播模型，通過動(dòng)量的變化量表現(xiàn)恐慌程度。

實(shí)施例1

本實(shí)施例提供一種一維恐慌傳播模型，具體建模過程如下。

災(zāi)害是人群恐慌傳播的觸發(fā)條件，將災(zāi)害因素映射到恐慌傳播模型中，災(zāi)害因素影響疏散個(gè)體的速度。定義規(guī)則θ為：

${\mathrm{\μ}}_{DA}\left({\left(h_{dis}\right)}_t\right)=min\{1,\underset{s=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_{t_0}\left(i_s\right)r_{st}\}---\left(1\right)$

式中，μ_DA為災(zāi)害損失度DA的隸屬度函數(shù)，DA_max為最大災(zāi)害損失度，為風(fēng)險(xiǎn)評估強(qiáng)度I₀的隸屬度函數(shù)，I_max為最大風(fēng)險(xiǎn)評估強(qiáng)度，下標(biāo)t是h_dis的排序號(hào)，s是i值的序號(hào)，i是風(fēng)險(xiǎn)評估強(qiáng)度I₀上的坐標(biāo)值，n為i的最大值，r_st是模糊關(guān)系矩陣中的元素。

采用推論公式：

DA＝I₀θR (2)

將風(fēng)險(xiǎn)評估強(qiáng)度I₀以信息分配的方法分配到控制點(diǎn)上，最后求出災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)h_dis的值，R為模糊關(guān)系矩陣。

災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)與人流密度呈非線性關(guān)系。在短時(shí)間內(nèi)，進(jìn)行線性化處理，將災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)h_dis與人流密度ρ表示為：

h_dis＝f(ρ) (3)

$v_i=1.867D_L^4-6.333D_L^3+7.233D_L^2-3.617D_L+0.95---\left(4\right)$

式中，ρ為人流密度，f(·)表示災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)h_dis與人流密度ρ所線性關(guān)系函數(shù)，D_L＝NA_P/W_AL_A＝NA_P/S＝ρA_P，D_L是水平投影面內(nèi)單位面積的疏散個(gè)體數(shù)量，N為行走人流中的總?cè)藬?shù)，A_P為單個(gè)人的水平投影面積，W_A為人流的寬度，L_A為人流的長度，S是人群所占面積，v_i為第i個(gè)疏散個(gè)體的速度。

(1)正常情況下(如圖1)

正常情況是指無災(zāi)害發(fā)生的人群自然運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。疏散個(gè)體之間距離隨機(jī)分布，疏散個(gè)體之間存在社會(huì)力(自推力和他推力)，建立經(jīng)典社會(huì)力模型，本方法是將社會(huì)力模型轉(zhuǎn)化為動(dòng)量來分析恐慌傳播。

P₁＝P₂ (5)其中P₁是碰撞前的總動(dòng)量，P₂是碰撞后的總動(dòng)量。m_i是第i個(gè)個(gè)體的質(zhì)量，v_i是第i個(gè)疏散個(gè)體的實(shí)際速度。

(2)恐慌傳播模型(如圖2)

選取疏散個(gè)體心理、生理和社會(huì)因素所涌現(xiàn)出來的各種疏散行為，集成體現(xiàn)為疏散個(gè)體的速度矢量和加速度矢量。根據(jù)Helbing,D.恐慌“心理—行為”波動(dòng)模型，從疏散個(gè)體緊張程度和速度變化反向計(jì)算其恐慌程度，并將恐慌度映射為小球直徑，決定小球直徑?？只懦潭瓤杀硎緸椋?/p>

$m_i\frac{{\mathrm{dv}}_i}{dt}=m_i\frac{v_i^0\left(t\right)e_i^0\left(t\right)-v_i\left(t\right)}{{\mathrm{\τ}}_i}+\underset{j(\≠i)}{\mathrm{\Σ}}{f}_{ij}+\underset{w}{\mathrm{\Σ}}{f}_{iw}---\left(5\right)$

其中，m_i是第i個(gè)疏散個(gè)體質(zhì)量，是理想速度，是設(shè)定的方向，v_i是實(shí)際速度，τ_i是特征時(shí)間，t是時(shí)間，f_iw是疏散個(gè)體與墻或隔離護(hù)欄之間的相互作用力，f_ij是疏散個(gè)體與疏散個(gè)體之間的相互作用力，可表示為：

f_ij＝f_i-f_rij+f_αi (7)

$f_i=\frac{1}{{\mathrm{\τ}}_i}(v_i^0-v_i)---\left(8\right)$

式中，τ_i為特征時(shí)間，f_i為自推力，該力并不是產(chǎn)生于外部因素，而是源于各個(gè)個(gè)體本身。疏散個(gè)體通常與陌生人距離越近，感覺越不舒服，便會(huì)以一種排斥的方式作出反應(yīng)，這就產(chǎn)生了其他疏散個(gè)體j對i的排斥作用f_rij。疏散個(gè)體有時(shí)也被其他人(如親人、朋友等)或物體(如窗戶等)吸引f_αi。

$f_{ij}=\{A_i\exp \[(d_{ij}-d_{cij})/B_i\]+kg(d_{ij}-d_{cij})\}+\mathrm{\ξ}g(d_{ij}-d_{cij}){\mathrm{\Δv}}_{ji}^t---\left(9\right)$

f_iw＝{A_i exp[(r_i-d_iw)/B_i]+kg(r_i-d_iw)}-ξg(r_i-d_iw)v_i (10)式中，A_i、B_i為常數(shù)，d_cij疏散個(gè)體的質(zhì)量中心距離，d_ij兩疏散個(gè)體之間距離，如果d_cij＜d_ij，疏散個(gè)體之間發(fā)生碰撞。是t時(shí)刻速度的矢量差。kg(d_ij-d_cij)質(zhì)量力，是t時(shí)刻滑動(dòng)摩擦力。d_iw是疏散個(gè)體i與墻之間的距離，r_i是第i個(gè)疏散個(gè)體直徑，g(x)是一個(gè)函數(shù)，如果行人碰撞，g(x)＝0，否則g(x)＝x。

ΔD_i＝2(d_cij-d_ij-r_j-r_i) (11)ΔD_i是小球在恐慌情況下直徑變化量。

在恐慌情況下，小球直徑發(fā)生變化，導(dǎo)致疏散個(gè)體質(zhì)量發(fā)生變化，可表示為：

${\mathrm{\Δm}}_i={\mathrm{\ρ}}_i\{\frac{4}{3}\mathrm{\π}{\left(\right(D_i+{\mathrm{\ΔD}}_i)/2)}^3-\frac{4}{3}\mathrm{\π}{(D_i/2)}^3\}---\left(12\right)$

Δm_i是小球質(zhì)量的變化量，ρ_i是小球的密度，D_i是第i個(gè)小球的直徑(考慮了恐慌度)，此時(shí)碰撞前的總動(dòng)量P₁與碰撞后的總動(dòng)量P₂的關(guān)系可表示為：

P₁+ΣΔP_i＝P₂ (13)

ΔP_i＝Δm_iv_i (14)

假定有3個(gè)疏散個(gè)體，如圖2所示，疏散個(gè)體的體重m_i＝80kg，設(shè)定速度特征時(shí)間τ＝0.5s，A_i＝2×10³N，B_i＝0.08m，k＝1.2·10⁵kgs^-2，ξ＝2.4·10⁵kgm^-1s^-1，d_iw＝0.25m，代入公式(9)，得f_ij＝792.61N，代入公式(6)，得f_iw＝136.49N，再代入公式(10)，可以得出r_i為0.3。代入公式(5)，P₁＝192kg·m/s，d_cij＝0.705m，d_ij＝0.1m，根據(jù)公式(11)，可得ΔD₁＝0.01m，疏散個(gè)體的密度為ρ_i＝1.02×10³kg·m^-3，代入公式(12)，v₁＝0.87m/s，可得Δm₁＝5.75kg，代入公式(14)，ΔP₁＝5kg·m/s；d_cij＝0.71m，d_ij＝0.1m，根據(jù)公式(11)，可得ΔD₂＝0.02m，v₂＝1.07m/s，代入公式(12)，Δm₂＝11.69kg，代入公式(14)，ΔP₂＝12.53kg·m/s；d_cij＝0.72m，d_ij＝0.1m，根據(jù)公式(11)，可得ΔD₃＝0.04m，v₃＝0.97m/s，代入公式(12)，Δm₃＝24.16kg，代入公式(14)，ΔP₃＝23.33kg·m/s。代入公式(13)，可得P₂＝232.86kg·m/s。3個(gè)疏散個(gè)體在碰撞前的動(dòng)量為P₁＝192kg·m/s，當(dāng)發(fā)生碰撞后，由于恐慌心理及傳播的影響，個(gè)體之間的恐慌程度越來越大，碰撞后的動(dòng)量是P₂＝232.86kg·m/s。經(jīng)過兩個(gè)人的傳播，動(dòng)量增加了40.86kg·m/s，占碰撞前動(dòng)量的21.3％。

實(shí)施例2

本實(shí)施例提供一種二維恐慌傳播模型，具體建模過程如下。

在實(shí)施例1的一維恐慌傳播模型的基礎(chǔ)上，對一維模型進(jìn)行擴(kuò)展，建立二維恐慌傳播模型，二維傳播模型考慮整個(gè)平面，更具有說服力，可信度高。

(1)正常情況下(如圖3)

正常情況是指無災(zāi)害發(fā)生的人群自然運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。疏散個(gè)體之間距離隨機(jī)分布，疏散個(gè)體之間存在社會(huì)力(自推力和他推力)，建立經(jīng)典社會(huì)力模型，本方法是將社會(huì)力模型轉(zhuǎn)化為動(dòng)量來分析恐慌傳播。

其中是碰撞前的總動(dòng)量，是碰撞后的總動(dòng)量。m_i是第i個(gè)個(gè)體的質(zhì)量，是第i個(gè)疏散個(gè)體的實(shí)際速度。

(2)恐慌傳播模型(如圖4)

當(dāng)災(zāi)害發(fā)生時(shí)，某個(gè)區(qū)域內(nèi)通常會(huì)積聚大量人群，這時(shí)個(gè)體想盡可能順利地到達(dá)一個(gè)確定的目的地因此，疏散個(gè)體不會(huì)繞道走，即個(gè)體盡可能沿最短的路走，這條路通常是一個(gè)多邊形的形狀，其邊如果是這條多邊形連接的下一條邊的話，那么疏散個(gè)體期望方向可表示為：

這里表示疏散個(gè)體i在時(shí)刻t的實(shí)際位置。準(zhǔn)確地說，疏散個(gè)體的目標(biāo)通常是門或某區(qū)域，而不是某個(gè)具體的點(diǎn)在這種情況下，疏散個(gè)體每時(shí)每刻都要將自己朝門或與某區(qū)域相關(guān)的最近的點(diǎn)引導(dǎo)。

如果一個(gè)疏散個(gè)體的運(yùn)動(dòng)沒有受到干擾，疏散個(gè)體將以其期望速度沿著期望方向由于受到干擾而造成了必要的減速或加速過程，使得疏散個(gè)體的實(shí)際速度相對期望速度有偏離，這樣就導(dǎo)致疏散個(gè)體在一個(gè)特定的特征時(shí)間τ_i內(nèi)有再次接近的趨勢，表示為：

為自推力，該力并不是產(chǎn)生于外部因素，而是源于各個(gè)個(gè)體本身。

疏散個(gè)體他推力，即疏散個(gè)體與疏散個(gè)體之間及疏散個(gè)體與邊界之間的相互作用。疏散個(gè)體的運(yùn)動(dòng)受到另一疏散個(gè)體的影響，特別是疏散個(gè)體與其他的疏散個(gè)體保持一個(gè)特定的距離，此舉依賴于疏散個(gè)體期望速度疏散個(gè)體通常與陌生人距離越近，感覺越不舒服，便會(huì)以一種排斥的方式作出反應(yīng)，這就產(chǎn)生了其他疏散個(gè)體j對i的排斥作用。

其中，排斥勢V_ij(b)是b的單調(diào)增函數(shù)，是u是的函數(shù)，這種排斥勢具有橢圓形式的等勢線，指向運(yùn)動(dòng)方向。疏散個(gè)體為了行走的下一步而準(zhǔn)備一個(gè)空間，這一點(diǎn)其他疏散個(gè)體也會(huì)考慮，b表示橢圓的半短軸。

其中，

疏散個(gè)體有時(shí)也被其他人(如親人、朋友等)或物體(如窗戶等)吸引。這些位置的吸引作用可用吸引的單調(diào)增加的勢能按與排斥勢能類似的方法來表示：

主要差別是吸引力正常隨時(shí)間而下降，相互吸引作用是疏散個(gè)體群體形成的原因。

然而，上面對于吸引和排斥作用的公式僅對某種狀態(tài)才使用，這種狀態(tài)是在運(yùn)動(dòng)的期望方向上才察覺到，位于疏散個(gè)體背后的情況將由微弱的影響，我們用c來表示，0<c<1。為了考慮這種敏感的作用，引入依賴方向的量

總之，疏散個(gè)體受到的排斥或吸引作用由下式給出：

由于疏散個(gè)體決定自己向何方向運(yùn)動(dòng)受以上提到的因素影響，對疏散個(gè)體受到的總的動(dòng)力建立如下方程：

疏散個(gè)體也會(huì)與建筑物的邊界、墻、街道、障礙物保持某一距離，疏散個(gè)體越接近障礙物就越不舒服，因?yàn)槭枭€(gè)體將不得不更加注意被傷害的危險(xiǎn)(如被墻擠壓)。因此，一個(gè)邊界W激起了一個(gè)排斥作用：

即有一個(gè)排斥的，單調(diào)增加的勢能矢量表示墻W與疏散個(gè)體i最近的部分所在的位置。

根據(jù)Helbing,D.恐慌“心理—行為”波動(dòng)模型，從疏散個(gè)體緊張程度和速度變化反向計(jì)算其恐慌程度，并將恐慌度映射為小球直徑，決定小球直徑?？只懦潭瓤杀硎緸椋?/p>

其中，m_i是第i個(gè)疏散個(gè)體質(zhì)量，是理想速度，是設(shè)定的方向，是實(shí)際速度，τ_i是特征時(shí)間，

A_i、B_i為常數(shù)，d_cij疏散個(gè)體的質(zhì)量中心距離，是兩疏散個(gè)體之間距離，是j指向i的標(biāo)準(zhǔn)向量，如果d_cij＜d_ij，疏散個(gè)體之間發(fā)生碰撞。是指切線方向，是切向速度的變化量。質(zhì)量力，是t時(shí)刻滑動(dòng)摩擦力。d_iw是疏散個(gè)體i與墻之間的距離，是指垂直方向，是指切向方向。是的切向方向，是由疏散個(gè)體j指向i的標(biāo)準(zhǔn)向量，r_i是第i個(gè)疏散個(gè)體直徑，g(x)是一個(gè)函數(shù)，如果行人碰撞，g(x)＝0，否則g(x)＝x。

ΔD_i是小球在恐慌情況下直徑變化量。

在恐慌情況下，小球直徑發(fā)生變化，導(dǎo)致疏散個(gè)體質(zhì)量發(fā)生變化，可表示為：

${\mathrm{\&Delta;m}}_i={\mathrm{\&rho;}}_i\{\frac{4}{3}\mathrm{\&pi;}{\left(\right(D_i+{\mathrm{\&Delta;D}}_i)/2)}^3-\frac{4}{3}\mathrm{\&pi;}{(D_i/2)}^3\}---\left(30\right)$

Δm_i是小球質(zhì)量的變化量，ρ_i是小球的密度，此時(shí)可以表示為：

其中，分別求出動(dòng)量變化量在x軸和y軸的投影和再運(yùn)用矢量加法將x軸和y軸上的值矢量合成，得到的值。

其中，為速度向x軸上的投影，為速度向y軸上的投影，為動(dòng)量向x軸上的投影，為動(dòng)量向y軸上的投影，為矢量與x軸的夾角。

此時(shí)碰撞后的總動(dòng)量可表示為：

假定有3個(gè)疏散個(gè)體，如圖4所示，疏散個(gè)體的體重m_i＝80kg，τ＝0.5s，A_i＝2×10³N，B_i＝0.08m，k＝1.2·10⁵kgs^-2，ξ＝2.4·10⁵kgm^-1s^-1，代入公式(27)、(28)，結(jié)合公式(26)，得出d_cij＝0.705m，d_ij＝0.1m，根據(jù)公式(29)，可以得出ΔD₁＝0.01m，代入公式(30)，得到Δm₁＝5.75kg，結(jié)合公式(31)、(32)和(33)，如圖4，α₁＝45°，得到方向?yàn)榉较?，

方向?yàn)榉较?；方向?yàn)榉较?，方向?yàn)榉较?。根據(jù)公式(29)，ΔD₂＝0.02m，代入公式(30)，Δm₂＝11.69kg，結(jié)合公式(31)、(32)和(33)，如圖4，α₂＝45°，方向?yàn)榉较?，方向?yàn)榉较?；方向?yàn)榉较?，方向?yàn)榉较?。根據(jù)公式(29)，ΔD₃＝0.04m，代入公式(30)，Δm₃＝24.16kg，結(jié)合公式(31)、(32)和(33)，如圖4，α₃＝45°，方向?yàn)榉较?，方向?yàn)榉较?；方向?yàn)榉较?，方向?yàn)榉较?。通過矢量合成計(jì)算，代入公式(34)，得到方向與x軸的夾角為α＝39.4°。當(dāng)發(fā)生碰撞后，由于恐慌心理及傳播的影響，個(gè)體之間的恐慌程度會(huì)迅速變大，經(jīng)過兩個(gè)人的傳播，動(dòng)量增加了占碰撞前動(dòng)量的17.7％。

該恐慌傳播模型為有效的研究恐慌心理對人群疏散的影響，提供一種新的恐慌傳播建模方法，為應(yīng)急演練桌面演練提供方法支持，對城市大型交通人群疏散穩(wěn)定性研究具有十分重要的作用。