本發(fā)明應(yīng)用于三自由度直升機(jī)自動(dòng)控制領(lǐng)域，涉及一種快速的適用于三自由度直升機(jī)的姿態(tài)調(diào)節(jié)控制的控制方法。

背景技術(shù)：
及意義

自1907年載人直升機(jī)誕生以來，經(jīng)過100多年的發(fā)展，常規(guī)直升機(jī)技術(shù)已經(jīng)非常成熟。和固定機(jī)翼飛機(jī)不同，直升機(jī)能夠在小面積場(chǎng)地垂直起降，在空中定點(diǎn)懸停，定點(diǎn)360°回轉(zhuǎn)；直升機(jī)能夠作任意方向飛行，可以低速貼近地面飛行，還可在機(jī)身外部吊掛貨物。由于這些特點(diǎn)使得直升機(jī)在軍用、民用等領(lǐng)域得到了極為廣泛的應(yīng)用。軍用方面如對(duì)地攻擊、運(yùn)輸突擊、空降空投、偵察搜索、火力支援、反潛掃雷、電子戰(zhàn)與預(yù)警等。民用方面如運(yùn)輸旅客、地質(zhì)勘探、搶險(xiǎn)救災(zāi)、醫(yī)療救護(hù)、空中攝影等。直升機(jī)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于國(guó)防建設(shè)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)方面，可以說沒有裝備直升機(jī)的軍隊(duì)不能看作是現(xiàn)代化的軍隊(duì)，沒有直升機(jī)的社會(huì)不能稱之為現(xiàn)代社會(huì)。

我們使用加拿大quanser公司開發(fā)的三自由度直升機(jī)系統(tǒng)作為研究對(duì)象，基于模型預(yù)測(cè)控制對(duì)其進(jìn)行姿態(tài)的調(diào)節(jié)控制，并與pid的控制效果進(jìn)行比較。三自由度直升機(jī)系統(tǒng)是一個(gè)典型的多輸入多輸出系統(tǒng)，并且具有強(qiáng)耦合、非線性等特性，是自動(dòng)控制領(lǐng)域比較棘手的一類被控目標(biāo)，直升機(jī)的控制效果可以分別通過三個(gè)自由度的控制效果來體現(xiàn)。三自由度直升機(jī)作為一類常見的、非常有代表意義的復(fù)雜控制對(duì)象，是很多軍工和航天問題的抽象。研究三自由度直升機(jī)飛行控制問題有助于彈道導(dǎo)彈飛行軌跡、衛(wèi)星姿態(tài)調(diào)整、月球車月面行走等控制問題的解決。

預(yù)測(cè)控制是一種基于模型的先進(jìn)控制技術(shù)，所以也叫模型預(yù)測(cè)控制。1978年，j.richalet在他的論文里首次闡述了預(yù)測(cè)控制的背景、原理和應(yīng)用，并提出了預(yù)測(cè)控制算法的三要素：內(nèi)部(預(yù)測(cè))模型、參考軌跡、控制算法。如今則一般更清楚得表述為：內(nèi)部(預(yù)測(cè))模型、滾動(dòng)優(yōu)化、反饋控制。預(yù)測(cè)控制基于預(yù)測(cè)模型，采用二次在線滾動(dòng)優(yōu)化性能指標(biāo)和反饋校正來克服多種不利影響，如被控對(duì)象的建模誤差和結(jié)構(gòu)、參數(shù)以及環(huán)境不確定性因素。預(yù)測(cè)模型的功能是根據(jù)被控對(duì)象的歷史信息和未來輸入，預(yù)測(cè)系統(tǒng)的未來響應(yīng)。未來的控制策略通過解最優(yōu)性能指標(biāo)得到，并且隨時(shí)間的推移在線優(yōu)化，反復(fù)進(jìn)行，雖然每一步實(shí)現(xiàn)的是靜態(tài)的優(yōu)化，全局而言卻是動(dòng)態(tài)的。每到一個(gè)新的采樣時(shí)刻，都要通過實(shí)際測(cè)到的輸出信息對(duì)基于模型的預(yù)測(cè)輸出進(jìn)行修正，然后再進(jìn)行新的優(yōu)化。這樣不斷根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際輸出對(duì)預(yù)測(cè)輸出值做出修正是滾動(dòng)優(yōu)化不但基于模型，而且利用了反饋信息，構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)。

從上世紀(jì)70年代問世以來，預(yù)測(cè)控制在復(fù)雜工業(yè)工程中所取得的成功已充分顯示出其處理復(fù)雜約束優(yōu)化控制問題的巨大潛力。

近年來，在先進(jìn)制造、能源、環(huán)境、航天航空、醫(yī)療等許多領(lǐng)域中，都出現(xiàn)了不少用預(yù)測(cè)控制解決約束優(yōu)化控制問題的報(bào)道，如電力、城市交通、城市的污水處理、材料制造中的高壓復(fù)合加工、糖尿病人的血糖控制等，這與上世紀(jì)預(yù)測(cè)控制主要應(yīng)用于工業(yè)過程領(lǐng)域形成了鮮明的對(duì)照，它反映了人們對(duì)預(yù)測(cè)控制的期望。

除了慢過程控制，在快速隨動(dòng)系統(tǒng)中，預(yù)測(cè)控制也開始嶄露頭角。

keviczkyt和balasgj通過比較不同回退時(shí)域控制方法對(duì)f-16飛行器的縱向控制效果，得出基于飛行條件獨(dú)立的線性預(yù)測(cè)模型的回退時(shí)域控制方法，要獲得良好的控制效果靈活性是必要條件。通過犧牲一部分性能，降低計(jì)算復(fù)雜度并確保實(shí)時(shí)可執(zhí)行性，并且提供了一種方法，可用于替代基于模型的全非線性回退時(shí)域控制方法。

silanie和loveram回顧了現(xiàn)今基于線性和非線性理論的小型衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定性控制方法，并提出和分析了一種基于模型預(yù)測(cè)的控制方法。

模型預(yù)測(cè)控制由于建模簡(jiǎn)單、魯棒性強(qiáng)、能夠有效處理有效處理執(zhí)行器、輸入和輸出約束并且控制性能好，在工業(yè)領(lǐng)域尤其是在石油、化工等行業(yè)得到廣泛應(yīng)用。但受對(duì)象復(fù)雜度及約束限制影響，預(yù)測(cè)控制的在線滾動(dòng)優(yōu)化計(jì)算量較大，特別是非線性系統(tǒng)，因?yàn)榉蔷€性系統(tǒng)的在線優(yōu)化問題常為非凸問題，計(jì)算量隨著被控變量的數(shù)目的增長(zhǎng)呈指數(shù)增長(zhǎng)。因此預(yù)測(cè)控制大多只能應(yīng)用于規(guī)模較小、動(dòng)態(tài)變化較慢的系統(tǒng)。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明要克服現(xiàn)有技術(shù)的上述缺點(diǎn)，通過在傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制的基礎(chǔ)上引入多參數(shù)二次規(guī)劃，提出了一種復(fù)雜度低、求解速度快、實(shí)時(shí)控制性好的三自由度直升機(jī)顯式模型預(yù)測(cè)控制方法。

飛行器系統(tǒng)是一個(gè)實(shí)時(shí)變化的系統(tǒng)，變化速度極快，對(duì)控制器的響應(yīng)時(shí)間要求極高，經(jīng)典模型預(yù)測(cè)控制(modelpredictivecontrol，mpc)由于建模簡(jiǎn)單、魯棒性強(qiáng)、能夠有效處理有效處理執(zhí)行器、輸入和輸出約束并且控制性能好，在工業(yè)領(lǐng)域尤其是在石油、化工等行業(yè)得到廣泛應(yīng)用。但是由于其依賴于系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)值，因而必須進(jìn)行反復(fù)的在線優(yōu)化計(jì)算。這樣，模型預(yù)測(cè)控制只能應(yīng)用于問題規(guī)模比較小或者采樣速率不是很高的情況，顯然不適合應(yīng)用在直升機(jī)系統(tǒng)控制中。本發(fā)明提出的顯式模型預(yù)測(cè)控制，把系統(tǒng)的狀態(tài)作為參數(shù)向量，通過引入多參數(shù)規(guī)劃理論，將傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制反復(fù)的在線求解最優(yōu)問題離線化，得到最優(yōu)控制輸入與系統(tǒng)的狀態(tài)之間的顯式函數(shù)關(guān)系。本發(fā)明提出的顯式模型預(yù)測(cè)控制算法主要?jiǎng)澐譃殡x線計(jì)算和在線計(jì)算兩部分。離線計(jì)算的基本思想引入多參數(shù)二次規(guī)劃，得到狀態(tài)分區(qū)及其對(duì)應(yīng)的控制律。在線計(jì)算就轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的查表過程，只需根據(jù)當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)，查表得到對(duì)應(yīng)的最優(yōu)控制律。顯式模型預(yù)測(cè)控制的原理如附圖4所示，圖中虛線箭頭表示在線查找過程。這樣一來大大提升了控制器的響應(yīng)速度，使得其能滿足三自由度直升機(jī)的控制需求。

本發(fā)明的三自由度直升機(jī)顯式模型預(yù)測(cè)控制方法，包括如下步驟：

步驟1)三自由度直升機(jī)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立；

本發(fā)明所應(yīng)用的控制對(duì)象為quanser公司生產(chǎn)的三自由度直升機(jī)模型；

三自由度直升機(jī)的三個(gè)旋轉(zhuǎn)軸分別為高度軸，俯仰軸，旋轉(zhuǎn)軸，對(duì)應(yīng)的角度為高度角ε、俯仰角p、旋轉(zhuǎn)角λ；

根據(jù)三自由度直升機(jī)的動(dòng)力學(xué)方程，本發(fā)明選取高度角ε、俯仰角p、旋轉(zhuǎn)角λ以及它們各自的微分為狀態(tài)變量x，即：

本發(fā)明選取輸入向量u和輸出向量y分別為：u^t＝[ufub]，y^t＝[εpλ]，其中t表示矩陣的轉(zhuǎn)置，建立相應(yīng)狀態(tài)空間方程

其中：

其中各參數(shù)含義及數(shù)值詳見表1，代入表1所示具體參數(shù)，最后得到狀態(tài)方程的系數(shù)為：

表1高度軸相關(guān)參數(shù)表

步驟2)基于第一步得到的狀態(tài)空間模型，構(gòu)建相應(yīng)的多參數(shù)二次規(guī)劃(multiparametricquadraticprogram，mpqp)問題；

因?yàn)楸景l(fā)明針對(duì)的直升機(jī)系統(tǒng)在數(shù)學(xué)規(guī)劃問題中存在著多個(gè)不確定性的參數(shù)，所以構(gòu)建多參數(shù)規(guī)劃問題。而這些不確定性的參數(shù)又是未知的或者在當(dāng)前時(shí)刻所不能確定的。多參數(shù)規(guī)劃方法能夠系統(tǒng)地分割參數(shù)區(qū)域，在每一參數(shù)子區(qū)域內(nèi)，分別建立問題的最優(yōu)解與參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。因而，一旦得到這些參數(shù)的值，很快就能獲得問題的最優(yōu)解。

本發(fā)明將第一步得到的狀態(tài)空間方程離散化為如下線性時(shí)不變系統(tǒng)(2)：

系統(tǒng)的狀態(tài)約束和控制輸入約束條件如下：

ex(t)+lu(t)≤mt≥0(3)

式(2)中，x(t)∈rⁿ為系統(tǒng)狀態(tài)，u(t)∈r^m為系統(tǒng)的輸入向量，y(t)∈r^p為系統(tǒng)的輸出向量，e,l,m為已知的常數(shù)矩陣；

定義二次性能目標(biāo)函數(shù)(4)：

其中un是問題(5)的決策向量，x(0)為0初始狀態(tài)，xn為第n個(gè)參數(shù)向量，xk為第k個(gè)參數(shù)向量，uk為第k個(gè)控制向量，p,q,r分別為對(duì)應(yīng)的權(quán)函數(shù)矩陣，其選取需依靠工程經(jīng)驗(yàn)。約束線性時(shí)不變系統(tǒng)的有限時(shí)間最優(yōu)控制問題(5)：

最優(yōu)控制問題(5)中，表示系統(tǒng)狀態(tài)的終點(diǎn)約束條件，n表示控制時(shí)域的長(zhǎng)度，x0為系統(tǒng)的初始狀態(tài)。為保證系統(tǒng)的可行性、穩(wěn)定性，在此增加了約束條件xn∈χf，χf為多面體區(qū)域：

χf＝{x∈rⁿ|hfx≤kf}(6)

un＝[u0′,...,un-1′]′∈r^s,s＝m·n，是問題(5)的決策向量，m表示約束條件的個(gè)數(shù)。是所有滿足(5)中約束條件的x(0)的集合。在此，χj為集合，用來表示j時(shí)刻的可行狀態(tài)；

對(duì)于最優(yōu)控制問題(5)，由式(2)可得：

式(7)表明，任何的狀態(tài)xk都可以通過控制向量u0,…,uk-1及系統(tǒng)的初始狀態(tài)x0的線性組合來表示；

將式(7)代入式(4)、式(5)中，得到下式：

其中h＝h′＞0,h,f,g,w,e,y可以由式(4)、式(5)和式(7)計(jì)算得到。由于式(8)中項(xiàng)不影響優(yōu)化向量un的計(jì)算，因此可忽略；

接著，繼續(xù)簡(jiǎn)化式(8)，定義：

z＝un+h^-1f′x(0)(9)

z為un和x(0)的線性組合，代入式(8)后得到：

其中：s＝e+gh^-1f′，而從式(8)或式(10)的問題容易得出，最優(yōu)決策向量u^*(x(0))取決于x(0)，也就是當(dāng)x(0)不斷變化時(shí)，的值也將隨之改變；

步驟3)離線求解mpqp問題，得到系統(tǒng)的狀態(tài)分區(qū)以及對(duì)應(yīng)分區(qū)上的線性控制律；

求解一個(gè)mpqp問題，主要包含以下兩部分：

1.得到包含可行參數(shù)集k^*的最小仿射子空間k；

2.得到參數(shù)集k^*的臨界域cra劃分，找到函數(shù)j^*(·)和一個(gè)pwa

最優(yōu)值函數(shù)z^*(·)。

給定一個(gè)參數(shù)的多面體集

k＝{x∈rⁿ:tx≤z}(11)

我們用表示使mpqp問題(10)可行的參數(shù)域，其中參數(shù)x∈k。對(duì)任意給定的表示mpqp問題(10)最小的目標(biāo)函數(shù)值，且而函數(shù)j^*:k^*→r表示在參數(shù)域k^*上，參數(shù)x對(duì)目標(biāo)函數(shù)的最小值的影響。j^*(·)被稱為價(jià)值函數(shù)。我們的目標(biāo)是：得到參數(shù)的可行域價(jià)值函數(shù)的表達(dá)式和最優(yōu)值的表達(dá)式z^*(x)∈z^*(x)，

定義可行域χ0為凸多面體域，即χ0為χ0＝{x∈rⁿ|h0x≤k0}，為x(0)的pwa函數(shù)，因而也為x(0)的pwa函數(shù)，即：

當(dāng)

其中：為多面體集，且當(dāng)i≠j

如果對(duì)于mpqp問題(10)，h＞0。則為x(0)的分段二次連續(xù)函數(shù)，所以

也是x(0)分段二次連續(xù)函數(shù)，即：

根據(jù)模型預(yù)測(cè)控制的算法原理，問題(5)的最優(yōu)決策向量中的就是每一個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)得作用于被控對(duì)象的控制量，也為x(0)的pwa函數(shù)；

當(dāng)

因?yàn)橄到y(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)，且mpc系統(tǒng)中每個(gè)時(shí)刻的反饋控制信號(hào)都是分段線性的，所以可得：

其中ft,gt，nt,rt為第t個(gè)狀態(tài)分區(qū)所對(duì)應(yīng)的常數(shù)矩陣，閉環(huán)的控制系統(tǒng)可轉(zhuǎn)化為如下形式(15):

當(dāng)x(t)∈crⁱ,i＝1,…,n^r,t≥0時(shí)，式(15)為閉環(huán)預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)的pwa模型；

步驟4)在線運(yùn)行時(shí)，根據(jù)當(dāng)前的系統(tǒng)狀態(tài)，通過查表方法，確定狀態(tài)所在的分區(qū)，并提取出該分區(qū)對(duì)應(yīng)的控制律。

離線計(jì)算得到描述狀態(tài)分區(qū)信息的數(shù)據(jù)hi、ki矩陣以及fi、gi矩陣，fi、gi矩陣用來描述控制律u關(guān)于狀態(tài)x(t)的顯式表達(dá)式。

其中m代表狀態(tài)分區(qū)的個(gè)數(shù)，fi,gi,hi,ki為第i個(gè)分區(qū)所對(duì)應(yīng)的常數(shù)矩陣，其數(shù)值由步驟3求得。

在線計(jì)算階段的核心任務(wù)是判斷空間中的某一點(diǎn)所在分區(qū)，在計(jì)算幾何中被稱為點(diǎn)定位問題(point-locationproblem)，這一問題的解決算法被稱為點(diǎn)定位算法。通過確定當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)所在分區(qū)然后提取特征值fi、gi矩陣最優(yōu)控制律。點(diǎn)定位算法主要有三個(gè)方面的性能要求：分區(qū)及特征值等數(shù)據(jù)的空間需求、點(diǎn)定位問題的解決效率、以及將數(shù)據(jù)處理成算法所要求的結(jié)構(gòu)需要花費(fèi)多長(zhǎng)時(shí)間。這三方面的性能關(guān)系到empc的在線計(jì)算效率。

如附圖5所示，分區(qū)p1的邊界由4條直線l1～l4確定，

其中：

l1:h11x1+h12x2＝k1

l2:h21x1+h22x2＝k2

l3:h31x1+h32x2＝k3

l4:h41x1+h42x2＝k4

其中h11,h12,h21,h22,h31,h32,h41,h42,k1,k2,k3,k4為已知常數(shù)，可知分區(qū)p1位于直線l1和l3的下方，位于l2和l4的上方，即：

p1＝{h1x≤k1}(17)

則對(duì)于狀態(tài)空間中的任一點(diǎn)x，x∈p1，當(dāng)且僅當(dāng)h1x≤k1。

h1和k1分別是nci×nx和nci×1的矩陣，nci表示分區(qū)邊界處超平面?zhèn)€數(shù)，nx表示狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)。

本發(fā)明采用順序查找法來解決在線查表問題。解決點(diǎn)定位問題最簡(jiǎn)單直接的方法是順序查找法，其原理為從編號(hào)為1的第一個(gè)分區(qū)開始，依次逐個(gè)利用式(17)判斷所要定位的點(diǎn)是否在當(dāng)前分區(qū)內(nèi)，直到找到正確的分區(qū)或判斷完最后一個(gè)分區(qū)為止。其判斷流程如附圖3所示，本文的顯式模型預(yù)測(cè)控制默認(rèn)順序查找法。

步驟5)把所設(shè)計(jì)的顯式模型預(yù)測(cè)控制器接入三自由度直升機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中，形成閉環(huán)回路，對(duì)不穩(wěn)定的飛行系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)節(jié)控制實(shí)驗(yàn)。

本發(fā)明的優(yōu)點(diǎn)是：飛行器系統(tǒng)是一個(gè)實(shí)時(shí)變化的系統(tǒng)，變化速度極快，對(duì)控制器的響應(yīng)時(shí)間要求極高，經(jīng)典模型預(yù)測(cè)控制，由于依賴于系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)值，因而必須進(jìn)行反復(fù)的在線優(yōu)化計(jì)算。這樣，模型預(yù)測(cè)控制只能應(yīng)用于問題規(guī)模比較小或者采樣速率不是很高的情況，顯然不適合應(yīng)用在直升機(jī)系統(tǒng)控制中。本發(fā)明提出的顯式模型預(yù)測(cè)控制，把系統(tǒng)的狀態(tài)作為參數(shù)向量，通過引入多參數(shù)規(guī)劃理論，將傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制反復(fù)的在線求解最優(yōu)問題離線化，得到最優(yōu)控制輸入與系統(tǒng)的狀態(tài)之間的顯式函數(shù)關(guān)系。本發(fā)明提出的顯式模型預(yù)測(cè)控制算法主要?jiǎng)澐譃殡x線計(jì)算和在線計(jì)算兩部分。離線計(jì)算的基本思想引入多參數(shù)二次規(guī)劃，得到狀態(tài)分區(qū)及其對(duì)應(yīng)的控制律。在線計(jì)算就轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的查表過程，只需根據(jù)當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)，查表得到對(duì)應(yīng)的最優(yōu)控制律。顯式模型預(yù)測(cè)控制的原理如圖4所示，圖中虛線箭頭表示在線查找過程。這樣一來大大提升了控制器的響應(yīng)速度，使得其能滿足三自由度直升機(jī)的控制需求。

附圖說明

圖1是本發(fā)明的三自由度直升機(jī)本體結(jié)構(gòu)圖

圖2是本發(fā)明的三自由度直升機(jī)受力圖

圖3是本發(fā)明的顯示模型預(yù)測(cè)控制順序查找法在線計(jì)算流程圖

圖4是本發(fā)明的顯式模型預(yù)測(cè)控制原理示意圖

圖5是本發(fā)明在線查表過程中二維分區(qū)示意圖

圖6是本發(fā)明的三自由度直升機(jī)半實(shí)物仿真實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)圖

圖7是本發(fā)明的調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)_simulink結(jié)構(gòu)圖

圖8是本發(fā)明的empc調(diào)節(jié)控制器分區(qū)圖

圖9是本發(fā)明的empc調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖

圖10是本發(fā)明的pid調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖

具體實(shí)施方式

為使本發(fā)明的目的、技術(shù)方案和優(yōu)點(diǎn)更加清晰，下面就對(duì)本發(fā)明的技術(shù)方案作進(jìn)一步描述。參照附圖3。

本發(fā)明的三自由度直升機(jī)顯式模型預(yù)測(cè)控制方法，包括如下步驟：

步驟1)三自由度直升機(jī)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

本發(fā)明所應(yīng)用的控制對(duì)象為附圖1所示的quanser公司生產(chǎn)的三自由度直升機(jī)模型。

該模型的受力分析圖如附圖2所示，圖中軸1代表高度軸，軸2代表俯仰軸，軸3代表旋轉(zhuǎn)軸，結(jié)構(gòu)4為前電機(jī)，結(jié)構(gòu)5為電機(jī)，結(jié)構(gòu)6為配重塊。三自由度直升機(jī)的三個(gè)旋轉(zhuǎn)軸分別為高度軸，俯仰軸，旋轉(zhuǎn)軸，對(duì)應(yīng)的角度為高度角ε、俯仰角p、旋轉(zhuǎn)角λ。

根據(jù)三自由度直升機(jī)的動(dòng)力學(xué)方程，本發(fā)明選取高度角ε、俯仰角p、旋轉(zhuǎn)角λ以及它們各自的微分為狀態(tài)變量x，即：

本發(fā)明選取輸入向量u和輸出向量y分別為：u^t＝[ufub]，y^t＝[εpλ]，其中t表示矩陣的轉(zhuǎn)置，建立相應(yīng)狀態(tài)空間方程：

其中：

其中各參數(shù)含義及數(shù)值詳見表1，代入表1所示具體參數(shù)，最后得到狀態(tài)方程的系數(shù)為：

表1高度軸相關(guān)參數(shù)表

步驟2)基于第一步得到的狀態(tài)空間模型，構(gòu)建相應(yīng)的多參數(shù)二次規(guī)劃(multiparametricquadraticprogram，mpqp)問題。

因?yàn)楸景l(fā)明針對(duì)的直升機(jī)系統(tǒng)在數(shù)學(xué)規(guī)劃問題中存在著多個(gè)不確定性的參數(shù)，所以構(gòu)建多參數(shù)規(guī)劃問題。而這些不確定性的參數(shù)又是未知的或者在當(dāng)前時(shí)刻所不能確定的。多參數(shù)規(guī)劃方法能夠系統(tǒng)地分割參數(shù)區(qū)域，在每一參數(shù)子區(qū)域內(nèi)，分別建立問題的最優(yōu)解與參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。因而，一旦得到這些參數(shù)的值，很快就能獲得問題的最優(yōu)解。

本發(fā)明將第一步得到的狀態(tài)空間方程離散化為如下線性時(shí)不變系統(tǒng)(2)：

系統(tǒng)的狀態(tài)約束和控制輸入約束條件如下：

ex(t)+lu(t)≤mt≥0(3)

式(2)中，x(t)∈rⁿ為系統(tǒng)狀態(tài)，u(t)∈r^m為系統(tǒng)的輸入向量，y(t)∈r^p為系統(tǒng)的輸出向量，e,l,m為已知的常數(shù)矩陣。

定義二次性能目標(biāo)函數(shù)(4)：

其中un是問題(5)的決策向量，x(0)為0初始狀態(tài)，xn為第n個(gè)參數(shù)向量，xk為第k個(gè)參數(shù)向量，uk為第k個(gè)控制向量，p,q,r分別為對(duì)應(yīng)的權(quán)函數(shù)矩陣，其選取需依靠工程經(jīng)驗(yàn)。約束線性時(shí)不變系統(tǒng)的有限時(shí)間最優(yōu)控制問題(5)：

最優(yōu)控制問題(5)中，表示系統(tǒng)狀態(tài)的終點(diǎn)約束條件，n表示控制時(shí)域的長(zhǎng)度，x0為系統(tǒng)的初始狀態(tài)。為保證系統(tǒng)的可行性、穩(wěn)定性，在此增加了約束條件xn∈χf，χf為多面體區(qū)域：

χf＝{x∈rⁿ|hfx≤kf}(6)

un＝[u0′,...,un-1′]′∈r^s,s＝m·n，是問題(5)的決策向量，m表示約束條件的個(gè)數(shù)。是所有滿足(5)中約束條件的x(0)的集合。在此，χj為集合，用來表示j時(shí)刻的可行狀態(tài)。

對(duì)于最優(yōu)控制問題(5)，由式(2)可得：

式(7)表明，任何的狀態(tài)xk都可以通過控制向量u0,…,uk-1及系統(tǒng)的初始狀態(tài)x0的線性組合來表示。

將式(7)代入式(4)、式(5)中，得到下式：

其中h＝h′＞0,h,f,g,w,e,y可以由式(4)、式(5)和式(7)計(jì)算得到。由于式(8)中項(xiàng)不影響優(yōu)化向量un的計(jì)算，因此可忽略。

接著，繼續(xù)簡(jiǎn)化式(8)，定義：

z＝un+h^-1f′x(0)(9)

z為un和x(0)的線性組合，代入式(8)后得到：

其中：s＝e+gh^-1f′，而從式(8)或式(10)的問題容易得出，最優(yōu)決策向量u^*(x(0))取決于x(0)，也就是當(dāng)x(0)不斷變化時(shí)，的值也將隨之改變。

步驟3)離線求解mpqp問題，得到系統(tǒng)的狀態(tài)分區(qū)以及對(duì)應(yīng)分區(qū)上的線性控制律；

求解一個(gè)mpqp問題，主要包含以下兩部分：

a1.得到包含可行參數(shù)集k^*的最小仿射子空間k；

a2.得到參數(shù)集k^*的臨界域cra劃分，找到函數(shù)j^*(·)和一個(gè)

pwa最優(yōu)值函數(shù)z^*(·)。

給定一個(gè)參數(shù)的多面體集

k＝{x∈rⁿ:tx≤z}(11)

我們用表示使mpqp問題(10)可行的參數(shù)域，其中參數(shù)x∈k。對(duì)任意給定的表示mpqp問題(10)最小的目標(biāo)函數(shù)值，且而函數(shù)j^*:k^*→r表示在參數(shù)域k^*上，參數(shù)x對(duì)目標(biāo)函數(shù)的最小值的影響。j^*(·)被稱為價(jià)值函數(shù)。我們的目標(biāo)是：得到參數(shù)的可行域價(jià)值函數(shù)的表達(dá)式和最優(yōu)值的表達(dá)式z^*(x)∈z^*(x)。

定義可行域χ0為凸多面體域，即χ0為χ0＝{x∈rⁿ|h0x≤k0}，為x(0)的pwa函數(shù)，因而也為x(0)的pwa函數(shù)，即：

當(dāng)

其中：為多面體集，且當(dāng)i≠j

如果對(duì)于mpqp問題(10)，h＞0。則為x(0)的分段二次連續(xù)函數(shù)，所以：

也是x(0)分段二次連續(xù)

函數(shù)，即：

根據(jù)模型預(yù)測(cè)控制的算法原理，問題(5)的最優(yōu)決策向量中的就是每一個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)得作用于被控對(duì)象的控制量，也為x(0)的pwa函數(shù)

當(dāng)

因?yàn)橄到y(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)，且mpc系統(tǒng)中每個(gè)時(shí)刻的反饋控制信號(hào)都是分段線性的，所以可得：

其中ft,gt，nt,rt為第t個(gè)狀態(tài)分區(qū)所對(duì)應(yīng)的常數(shù)矩陣，閉環(huán)的控制系統(tǒng)可轉(zhuǎn)化為如下形式(15):

當(dāng)x(t)∈crⁱ,i＝1,…,n^r,t≥0時(shí)，式(15)為閉環(huán)預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)的pwa模型。

步驟4)在線運(yùn)行時(shí)，根據(jù)當(dāng)前的系統(tǒng)狀態(tài)，通過查表方法，確定狀態(tài)所在的分區(qū)，并提取出該分區(qū)對(duì)應(yīng)的控制律。

離線計(jì)算得到描述狀態(tài)分區(qū)信息的數(shù)據(jù)hi、ki矩陣以及fi、gi矩陣，fi、gi矩陣用來描述控制律u關(guān)于狀態(tài)x(t)的顯式表達(dá)式

其中m代表狀態(tài)分區(qū)的個(gè)數(shù)，fi,gi,hi,ki為第i個(gè)分區(qū)所對(duì)應(yīng)的常數(shù)矩陣，其數(shù)值由步驟3求得。

在線計(jì)算階段的核心任務(wù)是判斷空間中的某一點(diǎn)所在分區(qū)，在計(jì)算幾何中被稱為點(diǎn)定位問題(point-locationproblem)，這一問題的解決算法被稱為點(diǎn)定位算法。通過確定當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)所在分區(qū)然后提取特征值fi、gi矩陣最優(yōu)控制律。點(diǎn)定位算法主要有三個(gè)方面的性能要求：分區(qū)及特征值等數(shù)據(jù)的空間需求、點(diǎn)定位問題的解決效率、以及將數(shù)據(jù)處理成算法所要求的結(jié)構(gòu)需要花費(fèi)多長(zhǎng)時(shí)間。這三方面的性能關(guān)系到empc的在線計(jì)算效率。

如附圖5所示，分區(qū)p1的邊界由4條直線l1～l4確定。

其中：

l1:h11x1+h12x2＝k1

l2:h21x1+h22x2＝k2

l3:h31x1+h32x2＝k3

l4:h41x1+h42x2＝k4

其中h11,h12,h21,h22,h31,h32,h41,h42,k1,k2,k3,k4為已知常數(shù)，可知分區(qū)p1位于直線l1和l3的下方，位于l2和l4的上方，即：

p1＝{h1x≤k1}(17)

則對(duì)于狀態(tài)空間中的任一點(diǎn)x，x∈p1，當(dāng)且僅當(dāng)h1x≤k1。

h1和k1分別是nci×nx和nci×1的矩陣，nci表示分區(qū)邊界處超平面?zhèn)€數(shù)，nx表示狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)。

本發(fā)明采用順序查找法來解決在線查表問題。解決點(diǎn)定位問題最簡(jiǎn)單直接的方法是順序查找法，其原理為從編號(hào)為1的第一個(gè)分區(qū)開始，依次逐個(gè)利用式(17)判斷所要定位的點(diǎn)是否在當(dāng)前分區(qū)內(nèi)，直到找到正確的分區(qū)或判斷完最后一個(gè)分區(qū)為止。其判斷流程如附圖3所示，本文的顯式模型預(yù)測(cè)控制默認(rèn)順序查找法。

步驟5)把所設(shè)計(jì)的顯式模型預(yù)測(cè)控制器接入三自由度直升機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中，形成閉環(huán)回路，對(duì)不穩(wěn)定的飛行系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)節(jié)控制實(shí)驗(yàn)。

案例分析

本發(fā)明通過對(duì)于三自由度直升機(jī)模型的調(diào)節(jié)控制實(shí)驗(yàn)，比較了本發(fā)明提出的empc方法與傳統(tǒng)pid方法的控制效果，展示了本發(fā)明的可行性和優(yōu)越性。

本案例的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為三自由度直升機(jī)半實(shí)物仿真實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，詳情請(qǐng)見附圖6。在用本發(fā)明所述方法得到控制器后，將其放入實(shí)驗(yàn)回路中形成閉環(huán)控制，具體的調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)_simulink結(jié)構(gòu)圖如附圖7所示。其中的mptcontroller模塊即是三自由度直升機(jī)顯式模型預(yù)測(cè)控制器。為了客觀地評(píng)價(jià)本文提出的控制方法，以最大偏移量，調(diào)節(jié)時(shí)間和震次數(shù)作為控制效果的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

調(diào)節(jié)是將狀態(tài)調(diào)節(jié)回原點(diǎn)的過程，本案例的初始狀態(tài)選為x0＝[-27.5；0；-13；0；0；0]，輸入約束為|u|≤24，狀態(tài)約束為xmin＝-[27.5；60；360；45；45；45]，xmax＝[27.5；60；360；45；45；45]。

啟動(dòng)前，三自由度直升機(jī)的高度角初始值為-27.5°，給旋轉(zhuǎn)角一個(gè)任意的初始值(這里為-13°)。其中輸入約束和狀態(tài)約束由直升機(jī)的硬件參數(shù)決定。

除了約束，設(shè)計(jì)控制器還需要知道狀態(tài)變量和輸入變量的加權(quán)矩陣q和r，以及預(yù)測(cè)時(shí)域n。由于建的狀態(tài)空間模型是連續(xù)的，而顯式模型預(yù)測(cè)控制處理的是離散的分段仿射系統(tǒng)，因此還需要設(shè)置離散化時(shí)間ts，將連續(xù)模型離散化。

對(duì)于調(diào)節(jié)而言，調(diào)節(jié)的是三自由度的角度，因此設(shè)q＝diag(100,1,10,0,0,2)，r＝diag(0.05,0.05)。q、r的值首先通過仿真不斷調(diào)試得到，它體現(xiàn)了真正在控制系統(tǒng)的因素。q、r的值最終在半實(shí)物仿真中進(jìn)行驗(yàn)證和必要的修正，以上為最終取值。設(shè)ts＝0.5，n＝1。最終離線計(jì)算得到控制率，得到163個(gè)分區(qū)，如附圖8所示。

附圖9和附圖10分別為empc調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖和pid調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖，相關(guān)評(píng)價(jià)指標(biāo)統(tǒng)計(jì)見表2

表2empc/pid調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)控制效果一覽表

由表2可見，本發(fā)明所設(shè)計(jì)的empc控制器因?yàn)榍擅畹匕延?jì)算過程分解為離線計(jì)算和在線查表兩部分，所以大大提升了控制器的控制效果?？梢钥吹絜mpc具有極小的最大偏移量和更快的調(diào)節(jié)速度，并且在調(diào)節(jié)過程中，empc相比pid更平穩(wěn)，振蕩收斂次數(shù)更少，機(jī)身平穩(wěn)，乘客能有更好的乘坐體驗(yàn)。即本發(fā)明能極大提高調(diào)節(jié)控制的控制效果，特別是在調(diào)節(jié)時(shí)間上，比pid控制幾乎快了一倍。因此在實(shí)時(shí)性要求比較高的系統(tǒng)當(dāng)中能得到極大的應(yīng)用。解決了之前方法中計(jì)算量大，調(diào)節(jié)時(shí)間過長(zhǎng)的不足。