本發(fā)明屬于基于壓縮感知原理的圖像重建方法，尤其涉及一種基于小波域結(jié)構(gòu)和非局部分組稀疏的mr圖像重建方法，結(jié)合圖像在小波域的系數(shù)結(jié)構(gòu)和圖像自身的非局部低秩這兩種特性。

背景技術(shù)：

核磁共振是一種核物理現(xiàn)象，描述的是在外磁場(chǎng)的作用下磁矩不為零的原子發(fā)生自旋能級(jí)分裂，共振吸收一定頻率的射頻能量的過程。最初,在1946年bloch、purcell等人發(fā)現(xiàn)了磁共振現(xiàn)象。人們利用這一發(fā)現(xiàn)用于波譜學(xué)來探索物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)，從而誕生了核磁共振這一新興學(xué)科。

磁共振成像(magneticresonanceimaging,mri)技術(shù)依靠磁體技術(shù)、低溫超導(dǎo)技術(shù)、電子與計(jì)算機(jī)技術(shù)等相關(guān)技術(shù)的不斷進(jìn)步已經(jīng)成為現(xiàn)代醫(yī)學(xué)影像領(lǐng)域中的重要手段，在物理、化學(xué)、生物技術(shù)、臨床診療等領(lǐng)域得到了長(zhǎng)足發(fā)展。特別是技術(shù)依靠其成像清晰度高、成像角度多、無電離輻射等優(yōu)點(diǎn)成為了現(xiàn)代醫(yī)學(xué)影像技術(shù)中重要的一員。特別是在醫(yī)學(xué)應(yīng)用當(dāng)中，磁共振成像對(duì)軟組織的檢測(cè)靈敏度高，組織的成像對(duì)比度高，不僅能反映人體的解剖結(jié)構(gòu)信息，還能反映出組織中的生理化學(xué)變化過程，為臨床醫(yī)學(xué)提供了非常有價(jià)值的診斷依據(jù)，促進(jìn)了醫(yī)學(xué)診斷技術(shù)的發(fā)展。

但磁共振成像在實(shí)際的應(yīng)用中還存在一些問題，如磁共振圖像的成像時(shí)間由兩方面組成，一方面是進(jìn)行磁共振數(shù)據(jù)采集的掃描時(shí)間，另一方面是對(duì)采集到的磁共振數(shù)據(jù)進(jìn)行重建的時(shí)間，磁共振的成像時(shí)間往往較長(zhǎng)。尤其是掃描時(shí)間，在早期的核磁共振成像中，一次成像過程中的掃描時(shí)間往往就需要幾分鐘，這個(gè)過程中要求病人要完全靜止，否則會(huì)造成運(yùn)動(dòng)偽影使成像的質(zhì)量下降。一些兒童或不能自主的病人往往無法在這個(gè)過程中保持不動(dòng)。因此，過長(zhǎng)的掃描時(shí)間成為了技術(shù)發(fā)展中必須要解決的問題。解決這一問題主要有兩個(gè)途徑，一個(gè)是通過提高數(shù)據(jù)采集速度，另一個(gè)是對(duì)重建算法進(jìn)行改進(jìn)，達(dá)到利用較少的采樣數(shù)據(jù)量盡可能精確的重建圖像。

基于壓縮傳感理論的圖像重建方法。近年來發(fā)展起來的壓縮感知理論能夠突破奈奎斯特?cái)?shù)據(jù)采樣率，很好的解決了數(shù)據(jù)的欠采樣恢復(fù)問題。該理論利用信號(hào)能夠在某個(gè)變換域中稀疏表示的先驗(yàn)知識(shí)，提出可以通過部分采樣得到的數(shù)據(jù)以很高的概率完整恢復(fù)原始信號(hào)。2006年candes從理論上證明了利用局部傅里葉變換系數(shù)能夠精確重構(gòu)原始信號(hào)，提出了壓縮感知理論。能夠利用遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)采樣方法所需要的采樣數(shù)據(jù)量重構(gòu)原始信號(hào)，突破了香農(nóng)采樣定理的瓶頸^[1-2]。

mr圖像信號(hào)可以通過對(duì)其進(jìn)行稀疏變換來滿足壓縮感知重建的要求，對(duì)于有些在圖像域就具有稀疏性的圖像，可以不經(jīng)過稀疏變換直接進(jìn)行采樣重建，如血管磁共振成像。因此cs理論在mri重建領(lǐng)域有很好的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)。

lusting^[3]等人在2007年將壓縮感知理論應(yīng)用于重建磁共振圖像的問題中，基于圖像在某個(gè)確定的變換域能夠稀疏表示的前提下，利用k空間下采樣數(shù)據(jù)重構(gòu)的圖像在圖像中出現(xiàn)的混迭偽影是不連貫的，因此能夠通過非線性重建的方法以很高的概率完整重建原始圖像，提出了經(jīng)典的重建模型如式(1)所示。通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性，結(jié)果表明該法能大幅度減少mr圖像重建所需的k空間數(shù)據(jù)量^[3]。

這樣將圖像的重建轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)約束優(yōu)化問題。在重建模型中，觀測(cè)到的數(shù)據(jù)表示為y＝fux+n，其中fu表示局部傅里葉變換，x表示原始圖像，n表示高斯白噪聲。表示重建的磁共振圖像，ψ表示稀疏變換，||x||tv表示圖像的全變分約束，α和β是兩個(gè)非負(fù)參數(shù)。國(guó)內(nèi)學(xué)者屈小波等通過將曲波、方向性小波等變換引入mri重建的過程中，得到了較好的重建效果。在圖像通過小波稀疏表示方面取得了不錯(cuò)的成果，提出了基于圖像塊的方向小波mri重建算法，將圖像子塊進(jìn)行訓(xùn)練得到自適應(yīng)的方向波稀疏表示，通過方向性小波對(duì)壓縮感知重建模型進(jìn)行稀疏約束重建^[4]。

由于全變分正則項(xiàng)基于圖像是分塊光滑的先驗(yàn)，模型對(duì)于圖像中豐富的紋理重建效果不佳。近幾年圖像的非局部相似性在圖像重建領(lǐng)域起到了很大的作用，非局部分組稀疏性對(duì)于自然信號(hào)的建模和紋理恢復(fù)部分尤為重要。非局部相似塊不僅在變換域是稀疏的，而且它們的非零元素共享一個(gè)聯(lián)合稀疏模式。通過建模的稀疏系數(shù)之間的相關(guān)性，能大幅度減少導(dǎo)致更準(zhǔn)確的重建^[5-6]未知信號(hào)的不確定性。文獻(xiàn)[7]針對(duì)結(jié)構(gòu)化稀疏提出了非局部低秩正規(guī)化(nlr)的方法，并應(yīng)用到了壓縮感知mri的重建上面。并且取得了很好的重建效果。

因此利用部分k空間數(shù)據(jù)重建原始圖像的過程，本質(zhì)上是利用了圖像存在的一些先驗(yàn)知識(shí)，通過先驗(yàn)條件約束求解方程達(dá)到精確重建。因此，利用哪些先驗(yàn)條件，如何利用這些先驗(yàn)約束直接關(guān)系到重建圖像的質(zhì)量，研究重建模型及先驗(yàn)約束成為了重建算法研究的重點(diǎn)。

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技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明要解決的技術(shù)問題是，提出一種基于小波域結(jié)構(gòu)和非局部分組稀疏的mr圖像重建，利用了圖像在小波域下系數(shù)的結(jié)構(gòu)稀疏特性有利于捕捉原始信號(hào)隱含的結(jié)構(gòu)和細(xì)節(jié)信息，特別是，當(dāng)與信號(hào)的結(jié)構(gòu)特性相匹配時(shí)，可以較大程度地改善圖像信號(hào)的重建質(zhì)量。同時(shí)圖像信號(hào)中存在著很強(qiáng)的時(shí)空相關(guān)性，具有非局部相似性，能夠很好的保留圖像細(xì)節(jié)。通過將結(jié)構(gòu)和分組稀疏統(tǒng)一到同一個(gè)框架中，最終提高了圖像的重建質(zhì)量。本發(fā)明主要應(yīng)用于醫(yī)學(xué)核磁共振圖像的重建，這種方法在主客觀上都有一定的提高。

為實(shí)現(xiàn)上述目的，本發(fā)明采用如下的技術(shù)方案：

1、一種基于小波域結(jié)構(gòu)和非局部分組稀疏的mr圖像重建方法，其特征在于，具體包括以下步驟：

步驟1、首先將圖像變換到傅里葉域進(jìn)行隨機(jī)采樣，得到采樣數(shù)據(jù)y，之后，對(duì)其利用基本的壓縮感知重建圖像原理進(jìn)行初始化；

步驟2、迭代奇異值閾值法求解低秩矩陣li

對(duì)初始化的整副圖像提取一系列重疊塊，這個(gè)過程用表示，對(duì)提取出來的每一塊，在局部窗口內(nèi)用k近鄰方法尋找與其相似的前m塊，則其中，然后再通過奇異值閾值法求解出低秩矩陣li；

步驟3、交替方向乘子法(admm)求解圖像x

對(duì)式(10)引入兩個(gè)輔助變量和z∈rⁿ，將(10)式重寫成下式：

對(duì)(11)式子運(yùn)用admm算法，其增廣拉格朗日函數(shù)為：

其中，μ∈rⁿ和γ∈rⁿ是拉格朗日乘子，β1,β2＞0是約束x＝z和的懲罰參數(shù)，(12)式可以重寫為：

對(duì)于(13)式的優(yōu)化包含下面幾部分迭代：

運(yùn)用admm算法將其分解成3個(gè)子問題進(jìn)行求解圖像x，具體過程如下：

1、對(duì)于求解z^(l+1)，式(14)本身含有閉合解，可以通過最小二乘法一步求解出來；

2、對(duì)于求解x^(l+1)，式(16)同樣含有閉合解，可以通過最小二乘法一步求解出來；

3、對(duì)于求解式(15)中的小波系數(shù)結(jié)構(gòu)為高頻和低頻(wl2-l1)約束的時(shí)候，將(28)式子放在小波域討論求解，即

當(dāng)式(15)中的小波系數(shù)結(jié)構(gòu)為父子分組(group)約束的時(shí)候，同理將(32)式子放在小波域討論求解，即，

作為優(yōu)選，對(duì)于求解的具體過程如下：

a)、當(dāng)式(15)可以寫成：

在求解的時(shí)候?qū)?28)式子放在小波域討論求解，令和分別表示小波變換后的所有系數(shù)、高頻系數(shù)和低頻系數(shù)，即，(28)式的優(yōu)化解為：

根據(jù)同理b^(l)也可以分為和所以(29)可以分為2個(gè)問題分別求解：

式(30)和(31)可以通過proximal方法很容易解出來，最后，可以通過小波逆變換得到，即，

b)、同理當(dāng)時(shí)，式(15)可以寫成：

同a)的處理過程一樣，將式(32)放在小波域討論，則為：

將待求向量b和擴(kuò)展成和則(33)式可以寫成：

其中，擴(kuò)展成這樣存在矩陣g和h，使得和同理和式子(34)可以通過spams算法求得，同理，可以通過小波逆變換得到，即，

附圖說明

圖1.基于小波域結(jié)構(gòu)稀疏和非局部分組稀疏的mr圖像的壓縮感知框架；

圖2(a)為mri測(cè)試的brain圖像；

圖2(b)為mri測(cè)試的chest圖像；

圖2(c)為mri測(cè)試的heart圖像；

圖2(d)為mri測(cè)試的artery圖像；

圖3.觀測(cè)矩陣；

圖4.本發(fā)明的整體流程圖。

具體實(shí)施方式

壓縮感知理論主要研究的是如何通過獲得較少的采樣觀測(cè)值，利用信號(hào)本身具有的稀疏性先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行信號(hào)的重建。不同于傳統(tǒng)的信號(hào)獲取方式，壓縮感知理論通過稀疏表示、投影測(cè)量和重建算法來獲取信號(hào)。使得采樣率能夠遠(yuǎn)低于奈奎斯特的采樣頻率，大大降低了信號(hào)的獲取和傳輸成本，通過重建算法能夠以很高的概率精確重建原始信號(hào)。

基于壓縮感知理論重建信號(hào)本質(zhì)上是利用了圖像可以被稀疏表示的特性和圖像本身存在的多種先驗(yàn)知識(shí)來對(duì)重建模型進(jìn)行約束求解，這些先驗(yàn)信息以正則項(xiàng)的形式包含進(jìn)信號(hào)的重建模型中。圖像信號(hào)通常是有結(jié)構(gòu)的，一般在某基底下可以稀疏表示。同時(shí)本發(fā)明結(jié)合圖像在小波域的系數(shù)結(jié)構(gòu)稀疏和圖像自身的非局部相似分組稀疏這兩種先驗(yàn)信息，通過交替優(yōu)化達(dá)到最優(yōu)重建效果，具有以下特征：

1.模型框架

壓縮感知理論表明：在某個(gè)變換域下稀疏的信號(hào)，可以利用優(yōu)化方法由少量觀測(cè)數(shù)據(jù)稀疏重建。這種非自適應(yīng)的壓縮采樣將信號(hào)中包含的信息凝聚在少量的觀測(cè)數(shù)據(jù)上，大幅度地降低了精確重建原始信號(hào)所需要的采樣數(shù)目,然后再利用圖像本身存在的多種先驗(yàn)知識(shí)來對(duì)信號(hào)進(jìn)行重建。本發(fā)明提出了在小波變換域下，利用圖像在小波域的系數(shù)結(jié)構(gòu)特性和圖像自身的非局部低秩特性這兩種先驗(yàn)信息來重建原圖。

1)圖像非局部分組稀疏

圖像中像素之間或多或少地存在一定的聯(lián)系，稱之為圖像的相似性。以像素點(diǎn)為中心的窗口鄰域(或圖像塊)為例，除了中心像素很可能和其周圍像素相似以外，該鄰域還可能和圖像中其他部位的某些鄰域像素相似(結(jié)構(gòu)特征相似)，使得處于圖像中不同位置處的像素點(diǎn)往往表現(xiàn)出很強(qiáng)的相關(guān)性，常稱之為圖像的非局部相似性。

通過圖像塊匹配方法在整個(gè)圖像(為了降低計(jì)算量通常是在一個(gè)比較大的搜索窗口里進(jìn)行)內(nèi)搜索與當(dāng)前圖像塊相似的圖像塊，然后對(duì)找到的相似圖像塊進(jìn)行加權(quán)，從而能很好的保持圖像的紋理細(xì)節(jié)。

2)小波域結(jié)構(gòu)稀疏

小波變換的多分辨特性導(dǎo)致了圖像小波域呈現(xiàn)如下特性：(1)小波系數(shù)的能量集中在最低頻部分：最低子帶承載著空域統(tǒng)計(jì)相關(guān)區(qū)域的信息,因此包含了圖像的主要能量；(2)高頻系數(shù)是稀疏的：各個(gè)級(jí)別的高頻子帶主要承載了圖像中邊和物體的邊界信息，并且該部分所承載的視覺信息對(duì)于整幅圖像貢獻(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出其能量對(duì)整幅圖像的貢獻(xiàn)，因此刻畫了圖像的結(jié)構(gòu)。(3)零樹結(jié)構(gòu)：每一個(gè)系數(shù)節(jié)點(diǎn)與四個(gè)高一級(jí)子帶系數(shù)節(jié)點(diǎn)相關(guān)，即父節(jié)點(diǎn)與子節(jié)點(diǎn)通常同時(shí)為非零(或零)。

根據(jù)小波域系數(shù)的特性，分為低頻+高頻和低頻+高頻內(nèi)父子兩種分組情況。本發(fā)明利用這2種分組模式，將這2種分組特性作為傳統(tǒng)稀疏表示的另一個(gè)約束，不僅能進(jìn)一步提升不同稀疏基的稀疏表示能力，細(xì)化不同圖像的稀疏約束，同時(shí)又在整副圖像上做了整體的稀疏約束。

通過將分組稀疏和小波域結(jié)構(gòu)稀疏統(tǒng)一到同一個(gè)框架中，提出了基于結(jié)構(gòu)和分組稀疏的mri圖像壓縮感知重建，如圖1所示。

本發(fā)明模型的目標(biāo)函數(shù)如如下：

其中，y頻域采樣數(shù)據(jù)，φ是觀測(cè)矩陣，x是需要重建的圖像，令xi＝rix，xi表示從圖像i位置提取出來的大小為的圖像塊，xi∈cⁿ，其中ri是一個(gè)矩陣，作用是從圖像x中的i位置提取圖像塊xi，令矩陣中的每一列都是xi的相似塊，所以具有低秩性質(zhì)，其中di是過完備字典，是一個(gè)稀疏系數(shù)矩陣，ω(·)是小波域結(jié)構(gòu)稀疏約束。η，α，θ是正則項(xiàng)系數(shù)。

由于具有低秩性質(zhì)，因?yàn)閷?shí)際中易受噪聲污染，脫離低秩約束，所以通過低秩矩陣li∈c^n×m,n≤m逼近低秩矩陣li通過優(yōu)化下式求解：

代替凸核準(zhǔn)則，使用非凸對(duì)數(shù)logdet(x)作為秩的平滑代理函數(shù)。對(duì)于一個(gè)半正定矩陣x∈r^n×n，秩最小優(yōu)化問題可以近似為矩陣奇異值的log之和:

對(duì)于非半正定的低秩矩陣li∈c^n×m，秩最小優(yōu)化問題可以通過對(duì)其進(jìn)行奇異值分解來求解：

其中ε是一個(gè)很小的常數(shù)。σ是一個(gè)對(duì)角矩陣，矩陣中的對(duì)角元素是矩陣lili^t的特征值。σ^1/2也是一個(gè)對(duì)角矩陣，矩陣中的對(duì)角元素是矩陣li的奇異值。

通過選擇合適的λ值，(3)式可以重寫為：

總的目標(biāo)函數(shù)(2)可以重寫為：

對(duì)于ω(·)是小波域結(jié)構(gòu)稀疏約束，本發(fā)明利用了兩種小波域系數(shù)結(jié)構(gòu)，在研究?jī)?nèi)容部分有介紹。第一種是高頻+低頻結(jié)構(gòu)稀疏，ω(·)＝ω||plψx||2+(1-ω)||phψx||1，其中pl和ph分別表示提取圖像x在小波變換域后的低頻和高頻系數(shù)，ω是高低頻系數(shù)的權(quán)重系數(shù)。第二種是低頻+高頻內(nèi)父子分組結(jié)構(gòu)稀疏，g是變量的不同分組形式的集合，向量表示集合g中某一個(gè)分組gi中的系數(shù)。ωi表示不同分組的權(quán)值。

2.模型的優(yōu)化

由于模型(6)中含一項(xiàng)保真項(xiàng)和兩個(gè)正則約束項(xiàng)，而且約束項(xiàng)都是不光滑的，求解起來很困難。本發(fā)明提出了一種優(yōu)化方法，協(xié)同優(yōu)化保真項(xiàng)，小波域稀疏約束項(xiàng)和非局部分組稀疏約束這三項(xiàng)。將這個(gè)優(yōu)化問題分解成了兩個(gè)子問題，通過交替迭代奇異值閾值法和交替方向乘子法來求解。

1)奇異值閾值法求解低秩矩陣li

根據(jù)^[7]的文章，(7)式可以寫成下式：

其中，τ＝λ/2η，k表示迭代次數(shù)，n0＝min{n,m}，表示帶有權(quán)重的加權(quán)核范數(shù)，σj是li的第j個(gè)奇異值，可以通過下式求解：

其中，是xi的奇異值分解，(x)+＝max(x,0)，我們初始化w＝[1,1,...,1]^t，這樣第一次迭代就等價(jià)于求解一個(gè)普通核范數(shù)的最小化問題。

2)交替方向乘子法求解圖像x

交替方向乘子法(admm)是一種非常流行的用于處理大規(guī)模優(yōu)化問題的方法。因此我們首先引入兩個(gè)輔助變量和z∈rⁿ。將(10)式重寫成下式：

對(duì)(11)式子運(yùn)用admm算法，其增廣拉格朗日函數(shù)為：

其中，μ∈rⁿ和γ∈rⁿ是拉格朗日乘子，β1,β2＞0是約束x＝z和的懲罰參數(shù)，(12)式可以重寫為：

對(duì)于(13)式的優(yōu)化包含下面幾部分迭代：

其中ρ＞1是一個(gè)常數(shù)，l表示迭代次數(shù)，對(duì)于這幾個(gè)變量的求解，可以分成3個(gè)子問題來解。

a.求解z^(l+1)

對(duì)于式(14)可以用一步就解出來，其閉合形式解為：

其中，是一個(gè)對(duì)角矩陣，表示表示相似塊的平均值。

b.求解x^(l+1)

同理對(duì)于式子(16)，其解為：

其中，φ是部分傅里葉變換矩陣，φ＝df，d和f分別表示下采樣矩陣和傅里葉變換矩陣。將φ＝df帶入(22)得：

解得：

c.求解

對(duì)于式(15)，用proximal方法求解，令h(x)作為一個(gè)凸函數(shù)，h(x)的proximal算子定義為：

這個(gè)函數(shù)對(duì)每個(gè)u都有唯一最小值。對(duì)于l1范式h(x)＝||x||1的情況，收斂算子proxth為：

對(duì)于l2范式h(x)＝||x||2，proxth為：

在本發(fā)明中有兩種小波域小波域系數(shù)結(jié)構(gòu)，分別是

和

a)當(dāng)式(15)可以寫成：

在求解的時(shí)候，因?yàn)榈皖l和高頻系數(shù)沒有重疊部分，并且小波變換是可逆的，所以，我們將(28)式子放在小波域討論求解。令和分別表示小波變換后的所有系數(shù)、高頻系數(shù)和低頻系數(shù)。即，(28)式的優(yōu)化解為：

根據(jù)同理b^(l)也可以分為和所以(29)可以分為2個(gè)問題分別求解：

式(30)和(31)可以通過proximal方法很容易解出來。最后，可以通過小波逆變換得到，即，

b)同理當(dāng)時(shí)，式(15)可以寫成：

同a)的處理過程一樣，將式(32)放在小波域討論，則為：

由于這個(gè)分組稀疏約束項(xiàng)中有交疊分組，可能導(dǎo)致每次迭代求解過程中某一待求系數(shù)的值因?yàn)樘幵诓煌姆纸M，計(jì)算的結(jié)果會(huì)有差異，因此將待求向量b和擴(kuò)展成和則(33)式可以寫成：

其中，擴(kuò)展成這樣就存在矩陣g和h，使得和同理和式子(34)是一個(gè)常見的優(yōu)化問題，可以通過spams算法求得。同理，可以通過小波逆變換得到，即，

如圖4所示，本發(fā)明的基于小波域結(jié)構(gòu)和非局部分組稀疏的mr圖像重建方法，具體包括以下步驟：

步驟1、首先將圖像變換到傅里葉域進(jìn)行隨機(jī)采樣，得到采樣數(shù)據(jù)y。之后，對(duì)其利用基本的壓縮感知重建圖像的方法(本發(fā)明采用dct方法)進(jìn)行初始化。

步驟2、迭代奇異值閾值法求解低秩矩陣li

對(duì)初始化的整副圖像提取大小為6×6的一系列重疊塊，這個(gè)過程用表示，對(duì)提取出來的每一塊，在局部窗口內(nèi)用k近鄰方法尋找與其相似的前43塊，則其中，m＝43。然后再通過奇異值閾值法求解出低秩矩陣li。

步驟3、交替方向乘子法(admm)求解圖像x

對(duì)式(10)引入兩個(gè)輔助變量和z∈rⁿ，運(yùn)用admm算法將其分解成3個(gè)子問題進(jìn)行求解；其中，交替方向乘子法(admm)求解圖像x，具體過程如下：

1、對(duì)于求解z^(l+1)，式(14)本身含有閉合解，可以通過最小二乘法一步求解出來。

2、對(duì)于求解x^(l+1)，式(16)同樣含有閉合解，可以通過最小二乘法一步求解出來。

3、對(duì)于求解式(15)中的小波系數(shù)結(jié)構(gòu)為高頻和低頻(wl2-l1)約束的時(shí)候，因?yàn)榈皖l和高頻系數(shù)沒有重疊部分，并且小波變換是可逆的，所以，我們將(28)式子放在小波域討論求解。和分別表示小波變換后的所有系數(shù)、高頻系數(shù)和低頻系數(shù)，其中之后將高頻l1范式和低頻l2范式分別用對(duì)應(yīng)的proximal方法求解出來。最后，可以通過小波逆變換得到，即當(dāng)式(15)中的小波系數(shù)結(jié)構(gòu)為父子分組(group)約束的時(shí)候，同理將(32)式子放在小波域討論求解，由于這個(gè)分組稀疏約束項(xiàng)中有交疊分組，可能導(dǎo)致每次迭代求解過程中某一待求系數(shù)的值因?yàn)樘幵诓煌姆纸M，計(jì)算的結(jié)果會(huì)有差異，因此將待求向量b和擴(kuò)展成和通過spams算法求得。同理，可以通過小波逆變換得到，即，

本發(fā)明的模型的實(shí)現(xiàn)，采用了真是的二維核磁共振(mr)圖像。4副圖像分別是210×210的brain圖像，220×220的chest圖像，192×192的heart圖像和220×220的artery圖像，分別如圖2(a)，圖2(b)，圖2(c)，圖2(d)所示。

在圖像的觀測(cè)設(shè)置上，采用了部分傅里葉觀測(cè)方法。觀測(cè)矩陣如圖3所示。

假設(shè)mr圖像x具有n個(gè)像素，部分傅里葉變換矩陣r是由n×n的傅里葉變換矩陣中隨機(jī)選出的m行組成。隨機(jī)選出的m行對(duì)應(yīng)的觀測(cè)組成觀測(cè)值向量y。采樣率定義為m/n。如果采樣率較小，則mr圖像掃描時(shí)間較短。

為了驗(yàn)證上述所提到的基于壓縮感知的核磁共振圖像重建方案的有效性，我們對(duì)幾幅常用的醫(yī)學(xué)圖像進(jìn)行重建，比較了一下其客觀質(zhì)量，客觀質(zhì)量主要是通過峰值信噪比(peaksignaltonoiseratio，psnr)度量，單位為分貝(db)。其計(jì)算公式如下：

兩幅大小為m*n的圖像的均方誤差mse的定義如下：

其中i，j分別表示原始圖像和重建圖像，而i(x,y),j(x,y)為對(duì)應(yīng)于位置(x,y)處的像素值，則均方誤差越小，則psnr越高，則重建圖像的質(zhì)量越高。

為了比較圖像重建的質(zhì)量，表1給出重建的灰度圖像的psnr比較結(jié)果：

表1.mri圖像在不同采樣率下的重建結(jié)果

表1中，后兩列是本發(fā)明提出的模型，其中nlr+wl1-l2是小波域系數(shù)約束選取高頻+低頻時(shí)候的模型，nlr+group是小波域系數(shù)約束選取低頻+父子分組時(shí)的模型。nlr模型是基于非局部低秩約束的壓縮感知重建模型。為了有效說明不同的模型對(duì)圖像重建質(zhì)量的作用，在這里具體比較實(shí)驗(yàn)分為兩個(gè)部分：(1)基于非局部低秩約束的nlr模型重建結(jié)果和nlr+wl1-l2模型重建的比較；(2)基于非局部低秩約束的nlr模型重建結(jié)果和nlr+group模型重建的比較。

如表1所示，本發(fā)明模型的優(yōu)勢(shì)比較明顯，較nlr方法有一定提升。雖然在各個(gè)采樣率下本文nlr+group模型的優(yōu)勢(shì)比模型nlr+wl2-l1的優(yōu)勢(shì)小一些，但是也足以證明本文提出的模型要優(yōu)于nlr模型。