本發(fā)明涉及安全系統(tǒng)工程，特別是涉及分析完備或不完備背景關(guān)系下的系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)分析。

背景技術(shù)：

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析是一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)過程，就安全系統(tǒng)工程的系統(tǒng)可靠性分析領(lǐng)域，最簡(jiǎn)單情況的元件失效與有效二值邏輯與系統(tǒng)整體失效和有效的影響分析就是復(fù)雜的，其問題實(shí)質(zhì)是元件可靠性的改變?nèi)绾斡绊懴到y(tǒng)可靠性的改變，系統(tǒng)中所有元件失效或有效狀態(tài)的組合都對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)的失效或有效狀態(tài)，那么系統(tǒng)的可靠性結(jié)構(gòu)確定就是通過所有元件的不同失效或有效狀態(tài)組合與系統(tǒng)失效或有效狀態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系確定的，通過元件可靠性狀態(tài)改變與系統(tǒng)可靠性狀態(tài)改變來推理系統(tǒng)可靠性結(jié)構(gòu)，類似的，可靠性是系統(tǒng)或元件功能的一個(gè)特例，功能即為對(duì)元件和系統(tǒng)的一種期望行為，系統(tǒng)中存在的元件都是為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)功能而發(fā)揮自身功能的，所以對(duì)于任何系統(tǒng)功能都可以確定系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)，這相當(dāng)于是根據(jù)表象對(duì)內(nèi)部結(jié)構(gòu)進(jìn)行反分析。

對(duì)于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析，目前已進(jìn)行了一些研究并取得了成果，但這些分析方法一般都針對(duì)于某一特定領(lǐng)域，缺乏嚴(yán)格意義的系統(tǒng)數(shù)學(xué)定義和分析推理過程，不適宜普遍應(yīng)用，為此在空間故障樹研究的三項(xiàng)基本內(nèi)容中，對(duì)確定系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的方法進(jìn)行了改進(jìn)，運(yùn)用因素空間理論的因素邏輯構(gòu)建了系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)分析方法，并對(duì)完備和不完備背景集合情況下的確定性系統(tǒng)進(jìn)行了系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)分析。

1空間故障樹。

為了解系統(tǒng)工作環(huán)境因素對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響程度和趨勢(shì)，空間故障樹(Space Fault Tree，SFT)理論認(rèn)為系統(tǒng)工作于環(huán)境之中，由于組成系統(tǒng)的基本事件或物理元件的性質(zhì)決定了其在不同條件下工作的故障發(fā)生概率不同，SFT包括：連續(xù)型空間故障樹(Continuous Space Fault Tree，CSFT)、離散型空間故障樹(Discrete Space Fault Tree，DSFT)、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)反分析(Inward analysis of structural systems，IASS)，CSFT是一種知道系統(tǒng)內(nèi)部構(gòu)造和元件性質(zhì)，然后研究系統(tǒng)在外界作用下響應(yīng)行為的一種“白盒”方法，即從系統(tǒng)內(nèi)部開始研究，再研究系統(tǒng)對(duì)外部響應(yīng)的方法，相對(duì)應(yīng)，DSFT不需要了解系統(tǒng)內(nèi)部構(gòu)造和元件性質(zhì)，研究基礎(chǔ)是系統(tǒng)對(duì)外界環(huán)境變化所進(jìn)行的響應(yīng)特征，相當(dāng)于“黑盒”方法，數(shù)據(jù)來源是實(shí)際的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)(如安全檢查，設(shè)備維護(hù)記錄，事故調(diào)查)，在不清楚系統(tǒng)內(nèi)部具體構(gòu)造情況下，通過系統(tǒng)對(duì)外界環(huán)境因素變化的響應(yīng)來剖析和窺探系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)，即系統(tǒng)結(jié)構(gòu)反分析IASS，包括：系統(tǒng)元件結(jié)構(gòu)反分析和系統(tǒng)因素結(jié)構(gòu)反分析，主要方法為：逐條分析法(item by item analyses,IIA)和分類推理法(classification reasoning method,CRM)。

從另一個(gè)角度劃分空間故障樹理論，包括：空間故障樹所分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的處理、具體的系統(tǒng)可靠性分析方法，其中系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析即為方法所要研究的內(nèi)容，空間故障樹理論的分析基礎(chǔ)之一就是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的確定，所謂系統(tǒng)結(jié)構(gòu)就是系統(tǒng)中元件或子系統(tǒng)與系統(tǒng)整體在某一功能上的響應(yīng)關(guān)系，比如系統(tǒng)可靠性結(jié)構(gòu)，元件功能的失效和有效變化影響著子系統(tǒng)可靠性變化，子系統(tǒng)的失效與有效影響著系統(tǒng)的可靠性變化，這說明一組特定的各元件失效和有效狀態(tài)組合就可以唯一確定系統(tǒng)可靠性狀態(tài)，如果使用最簡(jiǎn)單的元件可靠性狀態(tài)，即失效和有效，那么可以得到一個(gè)二值的元件狀態(tài)與系統(tǒng)狀態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這就是空間故障樹中系統(tǒng)結(jié)構(gòu)確定的思想，其實(shí)現(xiàn)首先要具有充足的對(duì)應(yīng)關(guān)系集合，最樸素的思想，每個(gè)元件具有兩種可靠性狀態(tài)，那么n個(gè)元件的狀態(tài)關(guān)系共有2ⁿ條，如果從實(shí)際可得來元件與系統(tǒng)的2ⁿ條可靠性對(duì)應(yīng)關(guān)系，且沒有錯(cuò)誤和冗余，那么就可以唯一確定元件之間連接拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，即系統(tǒng)可靠性的功能結(jié)構(gòu)，這是最理想的信息完備情況下系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析，如果不考慮信息錯(cuò)誤，實(shí)際可能出現(xiàn)下列幾種情況，1)所得信息條數(shù)少于2ⁿ條(不完備信息)，這種情況也分為兩類，一是所有信息條無線性關(guān)系，這樣缺乏信息條目是不確定性分析；二是存在線性關(guān)系，即某元件可以被其他元件代替，可得到一族確定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，是確定性分析，2)所得信息條數(shù)為2ⁿ條，一是無線性關(guān)系，可得到唯一確定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)(完備信息)；二是有線性關(guān)系，可得到一族確定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)(不完備信息)，是確定性分析，3)所得信息條數(shù)大于2ⁿ條，那么其中2ⁿ條為無線性關(guān)系，其余為冗余關(guān)系，可得到唯一確定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)(完備信息)，是確定性分析。

通過上述分析可見空間故障樹的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析是一個(gè)邏輯推理過程，空間故障樹用于安全系統(tǒng)工程中系統(tǒng)可靠性分析，所以上述用可靠性進(jìn)行說明，更廣泛的，可靠性可認(rèn)為是元件或系統(tǒng)的一種功能，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)就是為實(shí)現(xiàn)某種功能而將元件組成系統(tǒng)的連接方式，所以無論是空間故障樹的結(jié)構(gòu)分析還是其他領(lǐng)域的類似問題，都需要一個(gè)在數(shù)學(xué)上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)南到y(tǒng)結(jié)構(gòu)分析推理程序，因素空間理論及因素邏輯為該分析推理程序的構(gòu)建提供了基礎(chǔ)。

2因素空間與因素邏輯。

因素空間理論為系統(tǒng)的功能結(jié)構(gòu)分析提供了一個(gè)簡(jiǎn)捷的平臺(tái)，其特點(diǎn)就是要求先確定因素，把影響功能的各種因素找到，設(shè)為f₁,…,f_n，叫做(結(jié)構(gòu)與環(huán)境)條件因素，功能本身也是一個(gè)因素g，叫做結(jié)果因素，有了這兩組因素就構(gòu)成一個(gè)能進(jìn)行功能結(jié)構(gòu)分析的因素空間，記為(U；F＝{f₁,…,f_n}；g)，其中U是論域，是系統(tǒng)的變化域，如果系統(tǒng)被指定為某一個(gè)礦，地點(diǎn)雖不變而其內(nèi)容隨時(shí)在變，U就是這個(gè)礦在各個(gè)不同時(shí)刻的狀況所組成的集合，時(shí)間是連續(xù)變化的，但只需作離散觀測(cè)；記錄系統(tǒng)對(duì)各個(gè)條件因素的屬性觀測(cè)值，形成因素空間的一組樣本點(diǎn)，如果考慮的是不同地方的某一類礦，這時(shí)U就是這一類礦的變化域，它由各個(gè)不同地域不同時(shí)刻的狀況所組成，因素空間理論只需確立論域及對(duì)條件、結(jié)果等因素的觀測(cè)手段，得到一組樣本點(diǎn)，形成一張因素分析表，就可以進(jìn)行功能結(jié)構(gòu)分析，這個(gè)表與粗糙集中信息系統(tǒng)決策表在形式上是相同的，但涵義不盡相同，分析方法也不同。

定義1：給定因素空間(U；F＝{f₁,…,f_n})，記叫做是因素f₁,…,f_n之間的背景關(guān)系，也叫各因素相空間的實(shí)際笛卡爾乘積。

定義2：一個(gè)因素空間(U,F＝(f₁,…,f_n),g)叫做一個(gè)功能結(jié)構(gòu)分析空間，如果g是一個(gè)功能因素,它具有描述功能的相集X(g)＝{y₁,…,y_K}；f_j是系統(tǒng)內(nèi)部影響功能的結(jié)構(gòu)因素，具有相集X(f_j)＝{a_1j,…,a_n(j)j}(j＝1,…,n)，功能結(jié)構(gòu)分析的一個(gè)樣本點(diǎn)是指行向量(u_i；f₁(u_i),…,f_n(u_i)；g(u_i))，由m個(gè)樣本點(diǎn)所組成的矩陣稱為一張m行的功能結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)表。

定義3：給定一張功能結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)表，對(duì)每一結(jié)構(gòu)因素f_j及該因素所取的一個(gè)相a，記[a]＝f_j^-1(a)＝{u∈U|f_j(u)＝a}，如果[a]中的所有對(duì)象u都具有相同的結(jié)果g(u)＝y(tǒng)_k∈X(g)，則稱[a]是因素f_j的一個(gè)決定類，因素f_j的所有決定類的并集叫做它對(duì)功能的決定域，因素f_j的決定域所占行數(shù)h與表的行數(shù)(即全體對(duì)象個(gè)數(shù))m之比稱為它對(duì)結(jié)果的決定度，記作d＝h/m。

定義4：設(shè)[a]是因素f_j的一個(gè)決定類，稱推理句“若結(jié)構(gòu)因素f_j呈相a，則功能為y”是該決定類的功能分析句，將決定類中的行足碼從所考慮的剩余表中去掉，以換取功能分析句，叫做一次代換。

定義5：給定一個(gè)因素空間(U,F＝(f₁,…,f_n))，記其背景關(guān)系為定義在因素相空間上的因素邏輯系統(tǒng)L_f是這樣來規(guī)定的：

1)它的符號(hào)集是S＝X＝X(f₁)∪…∪X(f_n)，加上符號(hào)1,0以及括號(hào)‘(’和‘)’，其中X(f_j)＝{x_1j,…,x_n(j)j}是因素f_j的相空間(j＝1,…,n)，所有這些因素的相x_ij構(gòu)成了L_f的基本符號(hào)，稱之為字，這里，足碼ij指字x_ij是因素f_j的第i個(gè)相，

2)它的公式集F(S)是由S所生成的布爾代數(shù)所有的字叫做原始公式，字的合取x_i(1)j(1)∧…∧x_i(k)j(k)(簡(jiǎn)記為x_i(1)j(1)…x_i(k)j(k))叫做字組，字組的析取r₁∨…∨r_t(習(xí)慣記為r₁+…+r_t)叫做析取范式，公式p叫做重言式，如果p＝1(＝是→的雙向符)；公式p叫做矛盾式，如果p＝0，

3)它的公理集是布爾邏輯的公理集再補(bǔ)充以下假設(shè)公理Γ:

Γ1字姓公理：稱X(f_i)＝{x_1j,…,x_m(i)j}中的字為第j家字，即x_1j∨…∨x_n(j)j＝1；x_ij∧x_kj＝0(i≠k)；

Γ2背景公理：存在一個(gè)析取范式b∈F(S)叫做背景式，使有公理p→p∧b；p∧b→p(p∈F(S))，若系統(tǒng)L_f不指明b，則意味著b＝1，此時(shí)背景公理失效，

4)賦值域是二值布爾代數(shù)

5)推理規(guī)則：MP:{p,p→q}|—q。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

根據(jù)對(duì)因素邏輯體系的定義，推出系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)的分析方法。

定義6：若則稱p蘊(yùn)涵q，此時(shí)稱p是q的蘊(yùn)涵式而稱q是p的涵式，若在F(S)中不存在q的任何其它蘊(yùn)涵式p’≠p使p蘊(yùn)涵p’,則稱p是q的素蘊(yùn)涵式，一個(gè)析取范式叫做一個(gè)極小范式，如果它的每一個(gè)字組都是素蘊(yùn)涵式，

給定因素功能結(jié)構(gòu)分析表,要求出指定功能類y_i的極小析取范式，其步驟如下：

1)將表中所有n字組x(去掉重復(fù)的)集合起來，記作背景關(guān)系B，對(duì)B中的這些字組，按它們?nèi)〔蝗〗Y(jié)果y_i而分成T和F的正反兩類；

2)取字組長(zhǎng)度k＝1,逐一查看每個(gè)字，若它在F類的所有字組中都不出現(xiàn)，則它是T的一個(gè)素蘊(yùn)涵式，從T的n字組中刪除它的所有蘊(yùn)涵式，如此繼續(xù)直到所有單字都檢查完畢；

3)字組長(zhǎng)度k:＝k+1，逐一查看每個(gè)k字組，若它在F類的所有字組中都不出現(xiàn)，則它是T的一個(gè)素蘊(yùn)涵式，從T的n字組中刪除它的所有蘊(yùn)涵式，如此繼續(xù)直到所有字都檢查完畢；

4)重復(fù)上述過程，直到T類字組被刪盡，將T的所有素蘊(yùn)涵式用加號(hào)連接起來，就得到T的極小析取范式。

附圖說明

圖1被分析系統(tǒng)模型。

圖2系統(tǒng)元件功能結(jié)構(gòu)。

圖3系統(tǒng)元件功能結(jié)構(gòu)。

具體實(shí)施方式

1信息完備情況下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析。

例1給定開關(guān)系統(tǒng)Z,它由5種元器件A₁,…,A₅組成,如圖1所示，

它們分別決定5個(gè)因素F＝(f₁,f₂,f₃,f₄,f₅),每個(gè)因素具有相空間X(f_j)＝{x_1j,x_0j}＝{x_j,x_j}，j＝1,…,5，x_1j表示A_j通，x_0j表示器件A_j斷；結(jié)果因素g具有相空間X(g)＝{T,F}，T表示系統(tǒng)通，x_0j表示系統(tǒng)斷，字的集合由十個(gè)字組成：S＝{x₁,x₁，x₂,x₂，x₃,x₃，x₄,x₄，x₅,x₅}，將論域U的32條相集作為背景集合B進(jìn)行完備情況下的系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)反分析，這32條相集構(gòu)成了因素功能結(jié)構(gòu)分析表，如表1所示，

表1 32條相集的功能結(jié)構(gòu)分析表

根據(jù)功能結(jié)構(gòu)分析法對(duì)系統(tǒng)取y₁＝T值的功能結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，

步驟1：全體樣本點(diǎn)所構(gòu)成的背景集合B共有32＝2⁵個(gè)點(diǎn)，這正好是解釋集X＝X(f)，所以，這是一個(gè)可將背景關(guān)系閑置的例子，用經(jīng)典布爾邏輯也能解答，將這32個(gè)點(diǎn)分成T與F兩類：

T＝{x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅}；

F＝{x₁x₂x₃x₄x₅,x₁x₂x₃x₄x₅,x₁x₂x₃x₄x₅,x₁x₂x₃x₄x₅,x₁x₂x₃x₄x₅,x₁x₂x₃x₄x₅,x₁x₂x₃x₄x₅,x₁x₂x₃x₄x₅,x₁x₂x₃x₄x₅,x₁x₂x₃x₄x₅,x₁x₂x₃x₄x₅,x₁x₂x₃x₄x₅,x₁x₂x₃x₄x₅,x₁x₂x₃x₄x₅,x₁x₂x₃x₄x₅,x₁x₂x₃x₄x₅,x₁x₂x₃x₄x₅}，

其實(shí)，對(duì)T的字組進(jìn)行析取就可直接寫出T的邏輯表達(dá)式：T＝x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅，其中：+號(hào)表示析取∨，表示線路的并聯(lián)；字組x₁x₂x₃x₄x₅意義為x₁∧x₂∧x₃∧x₄∧x₅，表示元器件的串聯(lián)，所以這個(gè)邏輯公式就是系統(tǒng)Z的功能結(jié)構(gòu)表達(dá)式，根據(jù)T的表達(dá)式可以得到一個(gè)線路結(jié)構(gòu)圖，問題在于它的項(xiàng)數(shù)太多，所畫出的線路圖并非最優(yōu)化，線路優(yōu)化的過程，恰好是邏輯析取范式的極小化過程。

步驟2：k＝1，在第二類字組中查找不出現(xiàn)的單字，F(xiàn)的第一項(xiàng)是x₁x₂x₃x₄x₅，它包含x₁，x₂，x₃，x₄，x₅等5個(gè)字；第二項(xiàng)是x₁x₂x₃x₄x₅，它包含x₁，x₂，x₃，x₄，x₅等5個(gè)字；將兩項(xiàng)合并去掉相同的字，共有x₁，x₁，x₂，x₂，x₃，x₄，x₅，x₅等8個(gè)字；最后所有項(xiàng)合起來，十個(gè)字x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₁,x₂,x₃,x₄,x₅都在F的字組中出現(xiàn)，這種情況是無效的。

步驟3：k:＝k+1＝2，可發(fā)現(xiàn)二字組x₁x₄不在F的各項(xiàng)中出現(xiàn)，而它卻在T的字組中出現(xiàn)，記下x₁x₄，它是T的一個(gè)素蘊(yùn)含式，將所有T中蘊(yùn)涵字組x₃x₅的字組刪去得T＝{x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅}，根據(jù)命題3將T中蘊(yùn)涵字組x₁x₄的5字組找出并去掉，在刪去以前，將蘊(yùn)涵字組x₁x₄的5字組加起來，進(jìn)行布爾運(yùn)算，運(yùn)用字姓公理x_1j∨…∨x_n(j)j＝1即x_j+x_j＝1，有：

x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅

＝(x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅)+(x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅)+(x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅)+(x₁x₂x₃x₄x₅+x₁x₂x₃x₄x₅)

＝x₁x₂x₄x₅(x₃+x₃)+x₁x₂x₄x₅(x₃+x₃)+x₁x₂x₄x₅(x₃+x₃)+x₁x₂x₄x₅(x₃+x₃)

＝x₁x₂x₄x₅+x₁x₂x₄x₅+x₁x₂x₄x₅+x₁x₂x₄x₅(x₃+x₃＝1)

＝x₁x₂x₄(x₅+x₅)+x₁x₂x₄(x₅+x₅)＝x₁x₄(x₅+x₅＝1)

由此可知算法中可將所有蘊(yùn)涵二字組x₁x₄的所有這些5字組都刪去的原因，刪去這些5字組后得T＝{x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅}，x₃x₅不在F的字組而在T的字組中出現(xiàn)，記下x₃x₅，它是T的又一個(gè)素蘊(yùn)含式，再把T中蘊(yùn)涵二字組x₃x₅的5字組刪去得T＝{x₁x₂x₃x₄x₅}，只有這兩個(gè)二字組其余兩字組都在F的字組中出現(xiàn)，

k:＝k+1＝3，3字組x₁x₂x₃不在F的字組而在T中出現(xiàn)，記下x₁x₂x₃，它是T的一個(gè)素蘊(yùn)含式，刪去T中蘊(yùn)涵3字組x₁x₂x₃的5字組x₁x₂x₃x₄x₅，

此時(shí)停止推理，將已經(jīng)得到的T的素蘊(yùn)涵式加在一起，得到T的最小屬性析取式是T＝x₁x₄+x₃x₅+x₁x₂x₃，系統(tǒng)元件結(jié)構(gòu)為Z＝A₁A₄+A₃A₅+A₁A₂A₃，如圖2所示。

2信息不完備情況下的分析。

例2給定與例1相同的開關(guān)系統(tǒng)Z，在論域U的32條相集中選擇20條構(gòu)成背景集合B進(jìn)行不完備情況下的系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)反分析，這20條相集構(gòu)成了因素功能結(jié)構(gòu)分析表，如表2所示，

表2 20條相集的功能結(jié)構(gòu)分析表

根據(jù)功能結(jié)構(gòu)分析法對(duì)系統(tǒng)取y₁＝T值的功能結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，

步驟1：全體樣本點(diǎn)所構(gòu)成的背景集合B共有20<32＝2⁵個(gè)點(diǎn)，將這20個(gè)點(diǎn)分成T與F兩類：

T＝{x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅}；

F＝{x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅}。

步驟2：k＝1，在第二類字組中查找不出現(xiàn)的單字，F(xiàn)的第一項(xiàng)是x₁x₂x₃x₄x₅，它包含x₁，x₂，x₃，x₄，x₅等5個(gè)字；第二項(xiàng)是x₁x₂x₃x₄x₅，它包含x₁，x₂，x₃，x₄，x₅等5個(gè)字，將兩項(xiàng)合并去掉相同的字，共有x₁，x₁，x₂，x₃，x₃，x₄，x₅等7個(gè)字，最后所有項(xiàng)合起來，十個(gè)字x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₁,x₂,x₃,x₄,x₅都在F的字組中出現(xiàn)，這種情況并不是所期望的，是無效的，如有不在F中出現(xiàn)的字，那么找到T的一個(gè)長(zhǎng)度為1的素蘊(yùn)涵式，越短的素蘊(yùn)涵式，極小化就越成功。

步驟3：k:＝k+1＝2，暫時(shí)略去具體算法，可發(fā)現(xiàn)二字組x₁x₄不在F的各項(xiàng)中出現(xiàn)，記下x₁x₄，它是T的一個(gè)素蘊(yùn)含式，將所有T中蘊(yùn)涵字組x₁x₄的字組刪去，根據(jù)命題3將T＝{x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅}中蘊(yùn)涵字組x₁x₄的5字組去掉，得T＝{x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅}，x₃x₅不在F的字組中出現(xiàn)，記下x₃x₅，它是T的又一個(gè)素蘊(yùn)含式，再把T＝{x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅，x₁x₂x₃x₄x₅}中蘊(yùn)涵二字組x₃x₅的5字組刪去得T＝{x₁x₂x₃x₄x₅}，x₁x₂也不在F的字組中出現(xiàn)，記下x₁x₂，它是T的又一個(gè)素蘊(yùn)含式，再把T＝{x₁x₂x₃x₄x₅}中蘊(yùn)涵二字組x₁x₂的5字組刪去得刪空，

此時(shí)停止推理，將已經(jīng)得到的T的素蘊(yùn)涵式加在一起，得到T的最小屬性析取式是T＝x₁x₄+x₃x₅+x₁x₂，系統(tǒng)元件結(jié)構(gòu)Z＝A₁A₄+A₃A₅+A₁A₂，如圖3所示。

進(jìn)一步討論，例2中背景集合∈例1中的背景集合，那么兩個(gè)例子中得到的最小屬性析取式必定存在關(guān)系，由于兩例中的背景集合中相集均無錯(cuò)誤，所以根據(jù)分析例1得到唯一確定的系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)；例2得到一族確定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，又因例2中背景集合∈例1中的背景集合，元件功能變化與系統(tǒng)功能變化的對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，那么例2中必定存在一些元件功能線性相關(guān)的情況，這些隱含的關(guān)系補(bǔ)充了例2背景集合的不足，使兩例中所得系統(tǒng)結(jié)構(gòu)關(guān)系等價(jià)，即即T＝x₁x₄+x₃x₅+x₁x₂只是例2背景關(guān)系的一種系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)表示，這說明功能x₃可以由功能x₁和x₂通過線性關(guān)系進(jìn)行表示，如果5種元件都必須存在，則a≠0且b≠0。

完備與不完備背景關(guān)系中都存在確定性和不確定性分析，確定性的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析可以得到唯一確定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或一族系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，不確定性的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析可以得到以概率形式表示的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，可通過因素邏輯的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析方法得到確定性情況下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，不確定性情況下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析問題待進(jìn)一步研究。

因素邏輯的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析法是建立在因素空間理論基礎(chǔ)上的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫈?shù)學(xué)推理方法，其不僅可作為空間故障樹的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析方法用于系統(tǒng)可靠性分析，也可應(yīng)用于廣泛領(lǐng)域類似問題的分析。