本發(fā)明屬于應用數(shù)學領域，涉及測量數(shù)據的一階導數(shù)解算，尤其是不等間隔采樣的離散數(shù)據的一階導數(shù)解算。

背景技術：

離散數(shù)據一階導數(shù)的解算方法在工程實踐中有著廣泛的應用，比如，氣象、化學、地質學、航空航天、機械制造等眾多領域都經常涉及，其基本解算步驟通常是：用近似函數(shù)對離散數(shù)據進行擬合，然后進行微分，必要時通過一定的算法對微分結果進行優(yōu)化，最終獲得一階導數(shù)。離散數(shù)據往往通過測量得到，其數(shù)值中通常含有測量誤差。由于測量數(shù)據變化規(guī)律的復雜性、擬合模型的近似性、算法的局限性以及測量誤差的影響，要獲得準確的計算結果具有相當?shù)碾y度，因此，離散數(shù)據的一階導數(shù)解算在某些領域一直是工程計算中的難點。

為了能夠對測量數(shù)據進行盡可能準確的微分，人們嘗試了許多方法以提高解算精度，但由于擬合模型有時不能對數(shù)據進行準確描述，因此導致解算結果存在較大誤差；有的算法雖然結果較好，但計算過程較為復雜，有時難以滿足快速處理要求；也有的算法雖然采用了一些特殊的處理技術，獲得了較為準確的結果，但卻不能夠對端點附近的數(shù)據進行有效解算；而且，現(xiàn)有算法大多是在等間隔采樣的條件下使用的，對于不等間隔采樣，有的算法就無能為力了。

技術實現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的是：提供一種離散數(shù)據的一階導數(shù)解算方法，使其能夠對不等間隔采樣數(shù)據進行一階導數(shù)解算，并且對于端點附近的數(shù)據也能夠獲得較好的一階導數(shù)解算結果。

本發(fā)明的技術方案是：設測量數(shù)據的真值函數(shù)為f(t)，則測量占的一階導數(shù)估計值為式中，

a3為對包含點的擬合區(qū)間采用最小二乘三次多項式擬合后所得的三次項系數(shù)，且點不能為擬合區(qū)間的端點，是與ti對應的測量值，表示點的后面某點的測量值，表示點的前面某點的測量值，且點均在計算a3的擬合區(qū)間內。

該方案的一種具體解算步驟是：

第1步，計算各參量的值：設需要解算一階導數(shù)的點的坐標為選取n(n≥5)點擬合區(qū)間，使該區(qū)間包含點且點不是該擬合區(qū)間的端點，對該區(qū)間進行最小二乘三次多項式擬合，獲得擬合多項式a0+a1ti+a2ti²+a3ti³的三次項系數(shù)a3，式中，a0是常數(shù)項，a1是一次項系數(shù)，a2是二次項系數(shù)；根據式計算a1的值，根據式計算a2的值。

第2步，計算一階導數(shù)的估計值：將a1、a2、a3和ti的值代入式中，計算點的一階導數(shù)估計值

本發(fā)明的效果和益處是：①能夠對擬合區(qū)間內不包括端點的需要解算一階導數(shù)的數(shù)據進行一階導數(shù)解算。②能夠顯著改善端點附近數(shù)據的一階導數(shù)解算精度差的狀況；③當測量數(shù)據出現(xiàn)間斷情況時，仍可較為準確的計算出間斷點處的一階導數(shù)；④既能夠對等間隔采樣數(shù)據進行一階導數(shù)解算，也能夠對不等間隔采樣數(shù)據進行解算；⑤解算過程不需知道測量數(shù)據的精確擬合模型。

本發(fā)明的發(fā)明要點是：根據式計算測量數(shù)據下標為i的點的一階導數(shù)，其中，表示點的后面某點的測量值，表示點的前面某點的測量值，a3為對包含點的擬合區(qū)間采用最小二乘三次多項式擬合后所得的三次項系數(shù)。

附圖說明

附圖是測量數(shù)據較多時對其非端點數(shù)據進行一階導數(shù)解算的流程圖。

具體實施方式

下面以函數(shù)為例，取不同的采樣間隔，構造一組仿真數(shù)據，如表1所示，采用本發(fā)明進行一階導數(shù)解算，對其解算步驟做詳細說明。

表1仿真數(shù)據

第1步：對表1中區(qū)間t＝44.3～47.0的數(shù)據進行最小二乘三次擬合，得其三次項系數(shù)為1.7825381909745646，然后把a3＝1.7825381909745646、ti＝44.5、ti-1＝44.3、ti+1＝44.9、代入式和中，得a1＝8086.416320、a2＝-205.713127，再將ti、a1、a2、a3的值代入式中，得再把a3＝1.7825381909745646、ti＝44.9、ti-1＝44.5、ti+1＝45.7、代入a1、a2的表達式中，計算出a1＝8101.709152、a2＝-205.884188，然后把a3的值、ti＝44.9和a1、a2新的計算結果代入式中，得再用類似的方法計算的值。至此，完成了第1個擬合區(qū)間中不包括端點的數(shù)據的一階導數(shù)解算。

第2步，將擬合區(qū)間向后滑動，用與第1步類似的方法，完成對表1中區(qū)間t＝45.7～48.6的數(shù)據進行一階導數(shù)解算。

將上述的一階導數(shù)的相關計算結果列入表2，并與表1中的標準值做差，結果一并列入表2。

表2不等間隔采樣的一階導數(shù)解算結果

至此，獲得了表1中的仿真數(shù)據不包括t＝44.3和t＝48.6的2個端點在內的所有數(shù)據的一階導數(shù)解算結果。從表2中的解算誤差可看出，采用本發(fā)明能夠獲得比較準確的一階導數(shù)解算結果。

實際應用時，應注意兩點：一是一般來說，當測量數(shù)據的精確擬合模型不是三次時，a3的準確度和擬合區(qū)間的長短有關，擬合時應選用盡可能短的擬合區(qū)間；二是如果測量數(shù)據在某點發(fā)生二階導數(shù)突變的情況，則宜在突變點處對數(shù)據進行分段處理。