本發(fā)明屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域，涉及差值定理的具體應(yīng)用及離散測(cè)量數(shù)據(jù)的一階導(dǎo)數(shù)解算。

背景技術(shù)：

離散數(shù)據(jù)一階導(dǎo)數(shù)的解算方法在工程實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用，比如，氣象、化學(xué)、地質(zhì)學(xué)、航空航天、機(jī)械制造等眾多領(lǐng)域都經(jīng)常涉及，其基本解算步驟通常是：用近似函數(shù)對(duì)離散數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，然后進(jìn)行微分，必要時(shí)通過(guò)一定的算法對(duì)微分結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化，最終獲得一階導(dǎo)數(shù)。離散數(shù)據(jù)往往通過(guò)測(cè)量得到，其數(shù)值中通常含有測(cè)量誤差。由于測(cè)量數(shù)據(jù)變化規(guī)律的復(fù)雜性、擬合模型的近似性、算法的局限性以及測(cè)量誤差的影響，要獲得準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果具有相當(dāng)?shù)碾y度，因此，離散數(shù)據(jù)的一階導(dǎo)數(shù)解算在某些領(lǐng)域一直是工程計(jì)算中的難點(diǎn)。

為了能夠?qū)y(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行盡可能準(zhǔn)確的微分，人們嘗試了許多方法以提高解算精度，主要有以下幾種方法：一是盡量采用一些逼近程度好的模型，比如多項(xiàng)式最優(yōu)線性濾波、分段曲線擬合；二是采用一些正則化調(diào)整算子，如積分算子；三是采取一些特殊的技巧，如樣條擬合、自適應(yīng)學(xué)習(xí)算法等。這些算法的基本特征是用近似函數(shù)對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，然后按照一定的原則在近似函數(shù)上找到一點(diǎn)，把該點(diǎn)的微分結(jié)果作為測(cè)量數(shù)據(jù)在該點(diǎn)的微分結(jié)果，必要時(shí)對(duì)微分結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化。通過(guò)多方努力，很多微分算法在理論上獲得了“最佳逼近”的效果，即在理論上無(wú)限趨近于“真值”。2004年，差值定理及其推論的發(fā)現(xiàn)，從另一個(gè)角度改善了“最佳逼近”的效果，以至于在理論上達(dá)到了與真值“相等”，而非“無(wú)限逼近”，即在測(cè)量數(shù)據(jù)連續(xù)且可導(dǎo)、測(cè)量誤差為零的理想條件下，微分結(jié)果與“真值”是相等的，為解決數(shù)值微分問(wèn)題提供了良好的途徑。由于采用差值定理及其推論對(duì)一階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行解算時(shí)，算法誤差為零，獲得了理想情況下數(shù)值微分的精確解，因此具有很大的優(yōu)越性，在離散數(shù)據(jù)一階導(dǎo)數(shù)解算的實(shí)際應(yīng)用中，不僅能顯著降低數(shù)據(jù)劇烈變化段微分求導(dǎo)的截?cái)嗾`差，而且受近似函數(shù)的形式及擬合區(qū)間的大小等因素的影響很小，解算精度很高，具有良好的適應(yīng)性、穩(wěn)定性。

差值定理的基本內(nèi)容是：設(shè)函數(shù)f(t)和f(t)在某定義域ω內(nèi)的任一點(diǎn)均存在n階導(dǎo)數(shù)，且g(t)＝f^(n-1)(t)-f^(n-1)(t)，則其推論為：設(shè)函數(shù)g(t)＝f(t)-f(t)的定義域?yàn)棣?，且函?shù)f(t)和f(t)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)均存在，則且根據(jù)差值定理及其推論，只要求出測(cè)量數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)的差值曲線的駐點(diǎn)，即可把擬合數(shù)據(jù)在該駐點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)作為測(cè)量數(shù)據(jù)在該點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)。但是，由于測(cè)量誤差的影響以及擬合模型不恰當(dāng)?shù)仍颍袝r(shí)會(huì)出現(xiàn)一些離散點(diǎn)在差值曲線上沒(méi)有對(duì)應(yīng)的駐點(diǎn)的情況，從而導(dǎo)致這些數(shù)據(jù)沒(méi)有一階導(dǎo)數(shù)的解算結(jié)果。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的是：提供一種差值曲線的駐點(diǎn)生成方法，使得差值曲線上不包括端點(diǎn)在內(nèi)的所有數(shù)據(jù)均能夠轉(zhuǎn)化為駐點(diǎn)，以便可以應(yīng)用差值定理完成這些數(shù)據(jù)的一階導(dǎo)數(shù)解算。

本發(fā)明的技術(shù)方案是：采用最小二乘法對(duì)某擬合區(qū)間的離散數(shù)據(jù)進(jìn)行三次多項(xiàng)式擬合，然后調(diào)整擬合多項(xiàng)式的系數(shù)，使該區(qū)間所對(duì)應(yīng)的測(cè)量數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)的差值曲線上期望出現(xiàn)駐點(diǎn)的數(shù)據(jù)成為駐點(diǎn)。

該方案的一種具體解算步驟是：

第1步，選取擬合區(qū)間，使擬合區(qū)間在非端點(diǎn)的位置包含至少1個(gè)需要解算一階導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)，且該擬合區(qū)間總點(diǎn)數(shù)≥5。

第2步，采用最小二乘法對(duì)該區(qū)間進(jìn)行三次多項(xiàng)式擬合，獲得擬合多項(xiàng)式a0+a1t+a2t²+a3t³的三次項(xiàng)系數(shù)a3，式中，a0是常數(shù)項(xiàng)，a1是一次項(xiàng)系數(shù)，a2是二次項(xiàng)系數(shù)。

第3步，設(shè)調(diào)整后的二次項(xiàng)系數(shù)為a2，待求其一階導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)的下標(biāo)為i，表示下標(biāo)為i的點(diǎn)的后一點(diǎn)的測(cè)量值，表示下標(biāo)為i的點(diǎn)的前一點(diǎn)的測(cè)量值，s為測(cè)量誤差限，即測(cè)量值與真值之差的絕對(duì)值的最大值，按式所確定的a2的范圍對(duì)a2進(jìn)行取值。

第4步，設(shè)調(diào)整后的一次項(xiàng)系數(shù)為a1，若則按式所確定的a1的取值范圍對(duì)a1進(jìn)行取值，即完成了對(duì)一次項(xiàng)系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)的調(diào)整，進(jìn)行第6步；若則進(jìn)行第5步。

第5步，按式所確定的a2的范圍對(duì)a2重新進(jìn)行取值，并用新的a2值，按式所確定的a1的取值范圍對(duì)a1進(jìn)行取值，即完成了對(duì)一次項(xiàng)系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)的調(diào)整。

第6步，將a0、a3及最終獲得的a1、a2的值代入a0+a1t+a2t²+a3t³中，得到新的擬合值，將新的擬合值與原仿真數(shù)據(jù)做差，即得差值曲線，且差值曲線上橫坐標(biāo)為ti的點(diǎn)即為差值曲線的駐點(diǎn)。

本發(fā)明的效果和益處是：通過(guò)對(duì)三次多項(xiàng)式的系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，使擬合區(qū)間中不包括端點(diǎn)在內(nèi)的每一點(diǎn)都能獲得差值曲線的駐點(diǎn)，確保了不包括端點(diǎn)在內(nèi)的所有測(cè)量數(shù)據(jù)的一階導(dǎo)數(shù)都能夠被有效解算，使差值定理能夠更好地進(jìn)行工程化應(yīng)用。

本發(fā)明的發(fā)明要點(diǎn)是：對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘三次多項(xiàng)式擬合，然后通過(guò)對(duì)一次項(xiàng)系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，獲得差值曲線的駐點(diǎn)，并給出一次項(xiàng)系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)的具體調(diào)節(jié)方法。

附圖說(shuō)明

圖1是該方案的一種具體解算步驟的流程圖；

圖2是仿真數(shù)據(jù)三次擬合的差值曲線圖；

圖3是調(diào)整仿真數(shù)據(jù)三次擬合多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)后的差值曲線圖。

具體實(shí)施方式

下面以函數(shù)為例，取采樣間隔為1，構(gòu)造一組仿真數(shù)據(jù)，如表1所示，采用本發(fā)明生成差值曲線的駐點(diǎn)，對(duì)其解算步驟做詳細(xì)說(shuō)明。

表1仿真數(shù)據(jù)及其擬合結(jié)果(采樣間隔為1)

首先，對(duì)于表1中的仿真數(shù)據(jù)采用最小二乘法進(jìn)行三次多項(xiàng)式擬合，得多項(xiàng)式系數(shù)為a0＝87930.5764041047、a1＝1179.64364180695、a2＝-38.8902213731512、a3＝0.434351684895417，將擬合值列入表1，并將擬合值與仿真數(shù)據(jù)做差，將其差值y繪入圖2。

如表1和圖2所示，差值曲線極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)是t＝32、35、39。以橫坐標(biāo)為37的點(diǎn)為例，將s＝0.00001、ti＝37、ti+1＝38、ti-1＝36、a3＝0.434351684895417代入式中對(duì)a2進(jìn)行調(diào)整，得調(diào)整后的二次項(xiàng)系數(shù)a2≤-38.936792，取a2的值為-38.936793。將上述各值代入不等式中，得1181.986669≤1181.986712，不等式成立，取a1＝1181.986691。至此，完成了解算橫坐標(biāo)為37的點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)時(shí)三次多項(xiàng)式一次項(xiàng)系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)的調(diào)整。

將a0＝87930.5764041047、a1＝1181.986691、a2＝-38.936793、a3＝0.434351684895417作為擬合多項(xiàng)式系數(shù)代入式a0+a1t+a2t²+a3t³中進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果列入表2，并將差值繪入圖3。

由表2和圖3可看出，對(duì)擬合多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行調(diào)整后，仿真數(shù)據(jù)與擬合多項(xiàng)式的差值曲線在t＝37處以微小的差別獲得了極大值點(diǎn)，即駐點(diǎn)。其一階導(dǎo)數(shù)的解算結(jié)果為a1+2a2t+3a3t²＝84.546379，誤差為0.144710，解算效果良好。

表2以t＝37為待解算點(diǎn)調(diào)整多項(xiàng)式系數(shù)后的擬合結(jié)果