本發(fā)明屬于土木工程技術(shù)領(lǐng)域,涉及一種橫向荷載作用下倒階梯形變截面單樁內(nèi)力計算方法。
背景技術(shù):隨著樁基礎(chǔ)在實(shí)際工程中的應(yīng)用越來越多,樁基礎(chǔ)的變形問題、承載力問題以及工程造價也逐漸成為建筑領(lǐng)域中非常令人關(guān)注的問題。在這種背景下,眾多的學(xué)者和工程技術(shù)人員對樁基礎(chǔ)的研究與應(yīng)用進(jìn)行了不斷地探索與創(chuàng)新,許多新樁型也不斷涌現(xiàn)出來,倒階梯形變截面樁就是其中一種。變截面樁在減小沉降、增加樁基安全性、降低基礎(chǔ)工程造價等方面都取得了較為顯著的社會效益和經(jīng)濟(jì)效益,南昌八一大橋、蘇通大橋、大勝關(guān)橋等均有采用,但日前關(guān)于變截面樁的理論研究成果還相對較少。倒階梯形變截面樁分析仍舊建立在傳統(tǒng)的橫向受力樁基分析方法的基礎(chǔ)上,以m法為例,根據(jù)材料力學(xué),常規(guī)彈性樁主要是求解樁的四階彈性微分方程:式中:E、I——分別為樁的彈性模量及截面慣矩;b1——樁的計算寬度;xz——樁在深度z處的橫向位移(即樁的撓度)。m——地基系數(shù)隨土的種類而變的比例系數(shù);令代入(1)式:式中:α——樁的變形系數(shù)(m-1),按照微分方程的解析理論,可采用冪級數(shù)展開的方法求出樁撓曲微分方程(2)的通解。當(dāng)z=0時,即地面處(或局部沖刷線處):根據(jù)通解結(jié)果和量綱平衡,樁的軸線撓曲方程:根據(jù)材料力學(xué)知識,可知:式中:A1、B1、……C4、D4——無量綱系數(shù),也稱作影響函數(shù),現(xiàn)行規(guī)范已經(jīng)將這些系數(shù)根據(jù)不同的換算深度匯成表格,詳見附表1。上述內(nèi)力計算方法僅適用于等截面樁,對于分段變截面樁水平向外力和彎矩的作用下,樁身內(nèi)力、變形和樁側(cè)土應(yīng)力的計算方法尚出現(xiàn)。
技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素:本發(fā)明的目的是提供一種倒階梯形變截面單樁內(nèi)力計算方法,精確度高。本發(fā)明所采用的技術(shù)方案是,一種倒階梯形變截面單樁內(nèi)力計算方法,按照以下步驟進(jìn)行:1)、單位剪力作用下倒階梯形變截面單樁在地面或最大沖刷線處的橫向位移和轉(zhuǎn)角:當(dāng)樁在地面或最大沖刷線處受單位剪力Q0=1,M0=0作用時,變截面處的剪力Ql=X1,彎矩Ml=X2,聯(lián)立方程解得:式中:δQQ——樁在地面或最大沖刷線處受單位剪力作用時,樁在地面或最大沖刷線處的橫向位移;δMQ——樁在地面或最大沖刷線處受單位剪力作用時,樁在地面或最大沖刷線處的轉(zhuǎn)角;A3l、B3l、C3l、D3l、A4l、B4l、C4l、D4l——換算深度對應(yīng)的影響函數(shù)A3、B3、C3、D3、A4、B4、C4、D4;2)、單位彎矩作用下倒階梯形變截面單樁在地面或最大沖刷線處的橫向位移和轉(zhuǎn)角:當(dāng)樁在地面或最大沖刷線處受單位彎矩Q0=0,M0=1作用時,變截面處的剪力Ql=X1,彎矩Ml=X2,聯(lián)立方程解得:式中:δQM——樁在地面或最大沖刷線處受單位彎矩作用時,樁在地面或最大沖刷線處的橫向位移;δMM——樁在地面或最大沖刷線處受單位彎矩作用時,樁在地面或最大沖刷線處的轉(zhuǎn)角;A3l、B3l、C3l、D3l、A4l、B4l、C4l、D4l——換算深度對應(yīng)的影響函數(shù)A3、B3、C3、D3、A4、B4、C4、D4;因?yàn)棣腗Q=δQM,其值可任意從式(30)或式(32)求得;3)、剪力Q0和彎矩M0作用下倒階梯形變截面單樁在地面或最大沖刷線處的橫向位移和轉(zhuǎn)角:根據(jù)疊加原理,當(dāng)樁在地面或最大沖刷線處受到剪力Q0和彎矩M0作用時,倒階梯形變截面單樁在地面或最大沖刷線處的橫向位移和轉(zhuǎn)角:x0=M0δQM+Q0δQQ(34)φ0=-(M0δMM+Q0δMQ)(35)4)、上段基樁直徑d1樁身內(nèi)力計算:在深度z處土的側(cè)向應(yīng)力σx:式中:A1z、B1z、C1z、D1z、A3z、B3z、C3z、D3z、A4z、B4z、C4z、D4z——換算深度對應(yīng)的影響函數(shù)A1、B1、C1、D1、A3、B3、C3、D3、A4、B4、C4、D4;5)、下段基直徑d2樁身內(nèi)力計算:變截面處即上段基樁底、上段基樁頂部內(nèi)力和變位為:在樁的下段直徑d2長度范圍內(nèi)任意深度z處樁身截面內(nèi)的彎矩Mz和橫向力Qz以及在樁側(cè)土的側(cè)向應(yīng)力σx按下面公式計算:式中:A1z、B1z、C1z、D1z、A3z、B3z、C3z、D3z、A4z、B4z、C4z、D4z——換算深度對應(yīng)的影響函數(shù)A1、B1、C1、D1、A3、B3、C3、D3、A4、B4、C4、D4。本發(fā)明的有益效果是,將現(xiàn)有樁身內(nèi)力算法從等截面樁推廣到了倒階梯形變截面樁,該算法可以精確算出變截面樁的內(nèi)力分布,從而根據(jù)樁身的內(nèi)力計算結(jié)果對變截面樁進(jìn)行配筋,提高樁身的承載能力。附圖說明圖1是變截面樁計算簡圖。圖2是地面處承受單位橫向力和單位力矩作用下地面處所產(chǎn)生的位移和轉(zhuǎn)角示意圖。圖2a是樁端承于非巖石地基中,單位橫向力作用下樁在地面處所產(chǎn)生的位移和轉(zhuǎn)角。圖2b是樁端承于非巖石地基中,單位彎矩作用下樁在地面處所產(chǎn)生的位移和轉(zhuǎn)角。圖2c是樁端承于巖石地基中,單位橫向力作用下樁在地面處所產(chǎn)生的位移和轉(zhuǎn)角。圖2d是樁端承于巖石地基中,單位彎矩作用下樁在地面處所產(chǎn)生的位移和轉(zhuǎn)角。圖3是變截面處未知力示意圖。圖3a是樁端承于非巖石地基中,單位橫向力作用下樁在變截面處的剪力和彎矩。圖3b是樁端承于非巖石地基中,單位彎矩作用下樁在變截面處的剪力和彎矩。圖3c是樁端承于巖石地基中,單位橫向力作用下樁在變截面處的剪力和彎矩。圖3d是樁端承于巖石地基中,單位彎矩作用下樁在變截面處的剪力和彎矩。圖4是地面處和切開面處單位橫向力和單位力矩作用下地面處所產(chǎn)生的位移和轉(zhuǎn)角示意圖。圖4a是樁端承于非巖石地基中,變截面處作用有單位剪力時變截面處的位移和轉(zhuǎn)角。圖4b是樁端承于非巖石地基中,變截面處作用有單位彎矩時變截面處的位移和轉(zhuǎn)角。圖4c是樁端承于巖石地基中,變截面處作用有單位剪力時變截面處的位移和轉(zhuǎn)角。圖4d是樁端承于巖石地基中,變截面處作用有單位彎矩時變截面處的位移和轉(zhuǎn)角。圖4e是樁在地面或局部沖刷線處受單位水平力作用時,變截面處的橫向位移。圖4f是樁在地面或局部沖刷線處受單位水平力作用時,變截面處的轉(zhuǎn)角。具體實(shí)施方式基于既有彈性樁設(shè)計理論,根據(jù)變截面處樁身變形連續(xù)性,按結(jié)構(gòu)力學(xué)原理組成力法正則方程,分別考慮了下部支撐于巖石地基和非巖石地基上的兩種邊界條件,推導(dǎo)了在水平力Q和彎矩M的作用下樁身的內(nèi)力及變形計算公式。本發(fā)明采用m法計算樁側(cè)土抗力。一、基本假設(shè)假設(shè)樁側(cè)土的橫軸向彈性抗力與樁的橫向位移成正比。pzx=Cxz式中:pzx——土的橫軸向彈性抗力(kPa);C——橫軸向地基系數(shù)(kN/m3)xz——深度z處樁的橫軸向位移。假設(shè)地基系數(shù)C隨深度呈正比例增加(m法)。C=mz式中:m——地基比例系數(shù)(kN/m4)。二、力法正則方程一倒階梯形樁,樁在地面或局部沖刷線以上的長度為l0,以下的長度為h。樁在地面下l深度處變徑,上段樁的直徑為d1,下段樁的直徑為d2,如圖1所示。樁在地面或局部沖刷線處分別承受單位橫向力Q0=1(圖2a、圖2c)和單位力矩M0=1(圖2b、圖2d)的作用?,F(xiàn)將樁身沿變截面處切開,如圖3所示。按結(jié)構(gòu)力學(xué)原理組成力法正則方程:當(dāng)?shù)孛嫣幊惺軉挝粰M向力Q0=1作用時:當(dāng)?shù)孛嫣幊惺軉挝粰M向力M0=1作用時:式中:X1——當(dāng)樁在地面或局部沖刷線處受單位水平力作用時,變截面處的剪力,如圖3(a)所示;X2——當(dāng)樁在地面或局部沖刷線處受單位水平力作用時,變截面處的彎矩,如圖3(c)所示;X′1——當(dāng)樁在地面或局部沖刷線處受單位彎矩作用時,變截面處的剪力,如圖3(b)所示;X′2——當(dāng)樁在地面或局部沖刷線處受單位彎矩作用時,變截面處的彎矩,如圖3(d)所示;δ11——當(dāng)變截面處作用有單位剪力時,變截面處的橫向位移,如圖4(a)所示δ12——當(dāng)變截面處作用有單位彎矩時,變截面處的橫向位移,如圖4(c)所示;δ21——當(dāng)變截面處作用有單位剪力時,變截面處的轉(zhuǎn)角,如圖4(b)所示,δ21=δ12;δ22——當(dāng)變截面處作用有單位彎矩時,變截面處的轉(zhuǎn)角,如圖4(d)所示;Δ1Q——當(dāng)樁在地面或局部沖刷線處受單位水平力作用時,變截面處的橫向位移,如圖4(e)所示;Δ2Q——當(dāng)樁在地面或局部沖刷線處受單位水平力作用時,變截面處的轉(zhuǎn)角,如圖4(e)所示;Δ1M——當(dāng)樁在地面或局部沖刷線處受單位彎矩作用時,變截面處的橫向位移,如圖4(f)所示;Δ2M——當(dāng)樁在地面或局部沖刷線處受單位彎矩作用時,變截面處的轉(zhuǎn)角,如圖4(f)所示;式中:δ′11——當(dāng)變截面處作用有單位剪力時,上段基樁引起的橫向位移;δ″11——當(dāng)變截面處作用有單位剪力時,下段基樁引起的橫向位移;δ′22——當(dāng)變截面處作用有單位彎矩時,上段基樁引起的轉(zhuǎn)角;δ″22——當(dāng)變截面處作用有單位彎矩時,下段基樁引起的轉(zhuǎn)角;δ′21——當(dāng)變截面處作用有單位剪力時,上段基樁引起的轉(zhuǎn)角;或當(dāng)變截面處作用有單位彎矩時,上段基樁引起的橫向位移;δ″21——當(dāng)變截面處作用有單位剪力時,下段基樁引起的轉(zhuǎn)角;或當(dāng)變截面處作用有單位彎矩時,下段基樁引起的橫向位移;三、δ11、δ12、δ21和δ22求解1、δ′11、δ′21求解δ′11、δ′21即為當(dāng)樁身變截面處受單位剪力時,上段基樁引起的橫向位移、轉(zhuǎn)角。樁在地面或最大沖刷線處自由,不考慮其受力,即水平力Q0=0和彎矩M0=0。代入公式(4)、(5)得:式中:xl——變截面處樁身橫向位移;φl——變截面處樁身轉(zhuǎn)角;α1——上段基樁變形系數(shù),m——土體地基比例系數(shù);b1——上段基樁計算寬度;E1——上段基樁混凝土彈性模量;I1——上段基樁轉(zhuǎn)動慣量;A1、B1、A2、B2——換算深度對應(yīng)的影響函數(shù),查附表1確定;x0——基樁在地面或局部沖刷線處的橫向位移;φ0——基樁在地面或局部沖刷線處的轉(zhuǎn)角;樁身在變截面處(z=l)的剪力X1=1,彎矩X2=0。代入公式(6)、(7)得:式中:A3、B3、A4、B4——換算深度對應(yīng)的影響函數(shù),查附表1確定;其余符號同上式。求解方程(12)得將式(13)代入式(11),此時xl=-δ′11,φl=δ′21,即2、δ′12、δ′22求解同理可求得樁身在變截面處(z=l)的剪力X1=0、彎矩X2=1時,變截面處樁身的橫向位移δ′12和轉(zhuǎn)角δ′22。因?yàn)棣摹?1=δ′12,其值可任意按式(10)或式(11)計算。3、δ″11、δ″21求解假設(shè)樁身直徑全部為d2(下段基樁的直徑),樁長h=l+L,周圍土體地基比例系數(shù)為m,δ″11、δ″21即為當(dāng)樁身變截面處受單位剪力時,下段基樁引起的橫向位移和轉(zhuǎn)角。(1)樁身底部支承于非巖石地基上變截面處z=l,該處的彎矩Ml=X2=0,剪力Ql=X1=1;樁端處z=h,此處的邊界條件為:彎矩Mh=-C0φhI0,剪力Qh=0。式中:C0——樁端處土體的地基系數(shù),C0=mh;φh——樁端處的轉(zhuǎn)角;I0——樁底面積對其重心的慣性矩;將上述邊界條件代入式(4)、(5)、(6)、(7)得:式中:A3l、B3l、C3l、D3l、A4l、B4l、C4l、D4l——換算深度對應(yīng)的影響函數(shù)A3、B3、C3、D3、A4、B4、C4、D4,其值查附表1確定。A2h、B2h、C2h、D2h——換算深度對應(yīng)的影響函數(shù)A2、B2、C2、D2,其值查附表1確定。A3h、B3h、C3h、D3h、A4h、B4h、C4h、D4h——換算深度對應(yīng)的影響函數(shù)A3、B3、C3、D3、A4、B4、C4、D4,其值查附表1確定。Kh——系數(shù),當(dāng)α2h≥4時,Kh=0。α2——直徑為d2基樁的變形系數(shù),b2——下段基樁計算寬度;E2——下段基樁混凝土彈性模量;I2——下段基樁轉(zhuǎn)動慣量;x01、φ01、M01、Q01——當(dāng)變截面處作用于單位剪力(X1=1)時,樁在地面或局部沖刷線處的橫向位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力。聯(lián)解式(18)可求得x01、φ01、M01和Q01。變截面處z=l,此時,該處樁身的水平位移xl=δ″11,轉(zhuǎn)角φl=-δ″21,代入式(4)、(5)得:式中:A1l、B1l、C1l、D1l、A2l、B2l、C2l、D2l——換算深度對應(yīng)的影響函數(shù)A1、B1、C1、D1、A2、B2、C2、D2,其值查附表1確定。(2)樁身底部嵌固于巖石內(nèi)變截面處z=l,該處的彎矩Ml=X2=0,剪力Ql=X1=1;樁端處z=h,此處的邊界條件為:轉(zhuǎn)角φh=0,橫向位移xh=0。將上述邊界條件代入式(4)、(5)、(6)、(7)得:式中符號的意義與前面相同。聯(lián)解式(21)可求得x01、φ01、M01和Q01。代入式(19)和(20),可求得樁身底部嵌固于巖石時的δ″11和δ″21。4、δ″12、δ″22求解δ″12、δ″22即為當(dāng)樁身變截面處受單位彎矩時,下段基樁引起的橫向位移和轉(zhuǎn)角。(1)樁身底部支承于非巖石地基上變截面處z=l,該處的彎矩Ml=X2=1,剪力Ql=X1=0;樁端處z=h,此處的邊界條件為:彎矩Mh=-C0φhI0,剪力Qh=0。將上述邊界條件代入式(4)、(5)、(6)、(7)得:式中:x02、φ02、M02、Q02——當(dāng)變截面處作用于單位彎矩(X2=1)時,樁在地面或局部沖刷線處的橫向位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力。其余符號意義同前。聯(lián)解式(22)可求得x02、φ02、M02和Q02。變截面處z=l,此時,該處樁身的水平位移xl=δ″12,轉(zhuǎn)角φl=-δ″22,將x02、φ02、M02和Q02代入式(4)、(5)得:因?yàn)棣摹?1=δ″12,故其值可任意從式(15)或式(18)求得。(2)樁身底部嵌固于巖石內(nèi)變截面處z=l,該處的彎矩Ml=X2=1,剪力Ql=X1=0;樁端處z=h,此處的邊界條件為:轉(zhuǎn)角φh=0,橫向位移xh=0。將上述邊界條件代入式(4)、(5)、(6)、(7)得:聯(lián)解式(20)可求得x02、φ02、M02和Q02。代入式(23)和(24),可求得δ″12和δ″22。求得δ′11、δ′21、δ′12、δ′22、δ″11、δ″21、δ″12、δ″22后,將計算結(jié)果代入式(10),即可求得系數(shù)δ11、δ12、δ21和δ22。四、Δ1Q、Δ2Q、Δ1M和Δ2M求解將上段基樁考慮為自由體,樁上段自由體在地面處橫向力Q0=1、彎矩M0=0作用下,下端自由,剪力Ql=0,彎矩Ml=0,如圖4(e)所示。此時,Δ1Q=-xl,將邊界條件代入式(4)、(5)、(6)、(7),聯(lián)立方程解得:式中,A1l、B1l、D1l、A2l、B2l、D2l、A3l、B3l、D3l、A4l、B4l、D4l為換算深度對應(yīng)的影響函數(shù)A1、B1、D1、A2、B2、D2、A3、B3、D3、A4、B4、D4,其值查附表1確定。將上段基樁考慮為自由體,樁上段自由體在地面處橫向力Q0=0、彎矩M0=1作用下,下端自由,剪力Ql=0,彎矩Ml=0,如圖4(f)所示??紤]到B3lC4l-B4lC3l=A3lD4l-A4lD3l,將上邊界條件代入式(4)、(5)、(6)、(7),聯(lián)立方程解得:五、X1、X2、X′1、X′2求解根據(jù)式(10)求得δ11、δ12、δ21和δ22。根據(jù)式(26)、(27)、(28)、(29)求得Δ1Q、Δ2Q、Δ1M和Δ2M。將上述結(jié)果代入方程(3)、(4),聯(lián)解求出X1、X2、X′1、X′2。六、倒階梯形變截面單樁內(nèi)力計算1、單位剪力作用下倒階梯形變截面單樁在地面或最大沖刷線處的橫向位移和轉(zhuǎn)角當(dāng)樁在地面或最大沖刷線處受單位剪力(Q0=1,M0=0)作用時,變截面處的剪力Ql=X1,彎矩Ml=X2,如圖3a、圖3c所示。將上邊界條件代入式(6)、(7),聯(lián)立方程解得:式中:δQQ——樁在地面或最大沖刷線處受單位剪力(Q0=1,M0=0)作用時,樁在地面或最大沖刷線處的橫向位移。δMQ——樁在地面或最大沖刷線處受單位剪力(Q0=1,M0=0)作用時,樁在地面或最大沖刷線處的轉(zhuǎn)角。A3l、B3l、C3l、D3l、A4l、B4l、C4l、D4l——換算深度對應(yīng)的影響函數(shù)A3、B3、C3、D3、A4、B4、C4、D4,其值查附表1確定。2、單位彎矩作用下倒階梯形變截面單樁在地面或最大沖刷線處的橫向位移和轉(zhuǎn)角當(dāng)樁在地面或最大沖刷線處受單位彎矩(Q0=0,M0=1)作用時,變截面處的剪力Ql=X1,彎矩Ml=X2,如圖3a、圖3c所示。將上邊界條件代入式(6)、(7),聯(lián)立方程解得:式中:δQM——樁在地面或最大沖刷線處受單位彎矩(Q0=0,M0=1)作用時,樁在地面或最大沖刷線處的橫向位移。δMM——樁在地面或最大沖刷線處受單位彎矩(Q0=0,M0=1)作用時,樁在地面或最大沖刷線處的轉(zhuǎn)角。A3l、B3l、C3l、D3l、A4l、B4l、C4l、D4l——換算深度對應(yīng)的影響函數(shù)A3、B3、C3、D3、A4、B4、C4、D4,其值查附表1確定。因?yàn)棣腗Q=δQM,其值可任意從式(30)或式(32)求得。3、剪力Q0和彎矩M0作用下倒階梯形變截面單樁在地面或最大沖刷線處的橫向位移和轉(zhuǎn)角根據(jù)疊加原理,當(dāng)樁在地面或最大沖刷線處受到剪力Q0和彎矩M0作用時,倒階梯形變截面單樁在地面或最大沖刷線處的橫向位移和轉(zhuǎn)角:x0=M0δQM+Q0δQQ(34)φ0=-(M0δMM+Q0δMQ)(35)4、上段基樁(直徑d1)樁身內(nèi)力計算根據(jù)公式(6)、(7)可知:在深度z處土的側(cè)向應(yīng)力σx:式中:A1z、B1z、C1z、D1z、A3z、B3z、C3z、D3z、A4z、B4z、C4z、D4z——換算深度對應(yīng)的影響函數(shù)A1、B1、C1、D1、A3、B3、C3、D3、A4、B4、C4、D4,其值查附表1確定。5、下段基樁(直徑d2)樁身內(nèi)力計算變截面處(即上段基樁底、上段基樁頂部)內(nèi)力和變位為在樁的下段(直徑d2)長度范圍內(nèi)任意深度z處樁身截面內(nèi)的彎矩Mz和橫向力Qz以及在樁側(cè)土的側(cè)向應(yīng)力σx可按下面公式計算:式中:A1z、B1z、C1z、D1z、A3z、B3z、C3z、D3z、A4z、B4z、C4z、D4z——換算深度對應(yīng)的影響函數(shù)A1、B1、C1、D1、A3、B3、C3、D3、A4、B4、C4、D4,其值查附表1確定。