面向頻域稀疏信號的信號重構方法
【專利摘要】面向頻域稀疏信號的信號重構方法，涉及一種頻域稀疏信號重構方法，屬于信號處理【技術領域】。本發(fā)明為了解決現(xiàn)有的方法計算量大、耗費時間長，所需數(shù)據(jù)存儲空間大、功耗大，實時性不高、效率不高的問題。提出了面向頻域稀疏信號的信號重構方法，該方法利用離散傅里葉變換矩陣的對稱性和矩陣運算的一些特性，對壓縮感知模型中計算感知矩陣的方式進行了改進，設計出一種新的感知矩陣計算方法，然后引入FFT變換，從而實現(xiàn)了計算量的減小和速度的提升。本發(fā)明可應用于信號處理領域。
【專利說明】【技術領域】
[〇〇〇1] 本發(fā)明涉及一種基于FFT的壓縮矩陣構造方法，尤其涉及面向頻域稀疏信號的信 號重構方法，屬于信號處理【技術領域】。 面向頻域稀疏信號的信號重構方法 【背景技術】
[0002] 傳統(tǒng)的信息獲取和處理過程必須遵循奈奎斯特采樣定理，即采樣速率至少要大于 原信號最高頻率的2倍，這樣才能從采樣得到的離散信號中不失真地恢復出原始信號。然 而隨著信息技術的發(fā)展，這種以奈奎斯特采樣定理為基礎的信息獲取和處理模式的弊端逐 漸暴露出來。如對前端ADC的采樣速率和處理速度要求高，采樣數(shù)據(jù)量大，冗余度高等。
[0003] 近年來出現(xiàn)的壓縮感知（Compressed Sensing, CS)理論指出，在信號滿足稀疏性 的條件下，能夠對信號進行全局觀測，通過將壓縮和采樣合并進行的方式降低對信號的采 樣速率的要求，以遠低于奈奎斯特采樣率的速率進行采集，然后通過適當?shù)闹貥嬎惴ɑ謴?出原信號。CS理論是一個充分利用信號稀疏性或可壓縮性的全新信號采集、編解碼理論，為 突破奈奎斯特采樣定理的限制提供了一個新思路。CS理論的特殊思想對傳統(tǒng)采樣理論提出 了巨大挑戰(zhàn)，在信號處理領域帶來了一場大的變革，引起廣大信號處理專家以及數(shù)學家的 重視，迅速成為信號處理領域的一個研究熱點，在最近幾年里壓縮感知系統(tǒng)的設計吸引了 大量國內(nèi)外相關科研人員的廣泛關注。
[0004] 下面是對壓縮感知基本原理的介紹。
[0005] 對一個模擬信號經(jīng)行奈奎斯特采樣采樣可以得到一列采樣值，奈奎斯特采樣定理 指出，從這一列采樣值可以無失真地恢復原模擬信號，所以這一列采樣值組成的離散時間 信號向量就是原模擬信號的等價表示。對于一個實值的有限長一維離散時間信號X，可以看 作為一個^空間NX1維（即N行1列）的列向量，它可以在一個基矩陣下進行展開，即：
[0006] X = Ψ α (1)
[0007] 其中α是X被展開后的稀疏系數(shù)向量，Ψ是基矩陣。
[0008] X和α是同一個信號的等價表示，X是信號在時域的表示，α是信號在Ψ域的表 示。如果α的非零個數(shù)比Ν小很多，則表明該信號是可壓縮的。這里我們研究的是頻域稀 疏信號，即信號經(jīng)過傅里葉變換后在頻域是稀疏的，稀疏系數(shù)向量α就是信號的頻譜，而 且α中只有少量的若干值非零。對于頻域稀疏信號而言，基矩陣Ψ就是離散傅里葉逆變 換（Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT)矩陣。
[0009] 在信號具有頻域稀疏性的前提下，可以用一個與IDFT矩陣Ψ不相關的觀測矩陣 Φ對信號X執(zhí)行壓縮觀測，如公式（2)所示。觀測矩陣Φ的維數(shù)為ΜΧΝ(Μ<<Ν)，那么 壓縮觀測后就可以得到Μ個觀測值ye以、這些少量觀測值中包含了重構信號X的足夠信 肩、。
[0010] y = Φχ (2)
[0011] 將公式（1)代入公式（2)得到公式（3)，其中Θ = ΦΨ，稱為壓縮矩陣。這樣，對 一個信號X進行壓縮觀測的過程就可以表示為圖1的矩陣形式。
[0012] γ=φψα=Θα (3)
[0013] 從信號的壓縮觀測中實現(xiàn)信號的恢復可以通過求解如下問題，獲得一個唯一確定 的解，即稀疏系數(shù)向量α，然后以將它與基矩陣Ψ相乘，就可以得到信號χ= Ψα。
[0014] arg min | | a | | 〇 subject to y = Θα (4)
[0015] 上述只是從理論方面進行的闡述，在實際應用中，隨機解調(diào)是一種將壓縮感知理 論拓展到模擬域的技術和方法。其的結構如圖2所示，將模擬信號x(t)與一個MLS序列 P。(t)相乘，即進行混頻，然后經(jīng)過一個模擬低通濾波器h (t)，最后，通過一個傳統(tǒng)的低速 ADC進行采樣得到觀測數(shù)據(jù)y (η)。
[0016] 首先，在混頻階段，原信號X⑴與一個高速MLS序列p (t)在模擬乘法器（AD633) 中相乘。我們實驗采用的被測原信號是常見的多頻點信號，其頻譜由若干離散的頻率分量 組成，如圖3、圖4。我們所用的MLS序列是一種偽隨機二值序列，其幅值近似隨機地跳變?yōu)?1或-1，跳變速率至少為信號最高頻率的二倍。MLS序列的隨機特性和高速的變化頻率使其 頻譜看起來近似于帶寬很寬的噪聲，幾乎覆蓋整個頻率軸，如圖5、圖6所示。這種頻譜特點 正好與原信號相反。眾所周知，兩個信號在時域相乘，在頻域表現(xiàn)為頻譜的卷積，頻譜卷積 后的帶寬等于這兩個信號的帶寬之和。這樣的寬帶、類噪聲頻譜與原信號的稀疏頻譜進行 卷積就使得原信號的頻譜被展開。形象地說，就好像將信號的頻譜信息在整個頻率軸上進 行涂抹，這樣頻率軸上每一點都含有原信號的全局信息，并且由于MLS序列的參與，這一過 程還對原信號進行了編碼，這樣，頻率軸上每一點處的信息都具有了獨特的標識。顯然低頻 部分也包含信號的頻譜信息，因此我們只需要濾除高頻部分，采集低頻信號這部分就能獲 得原信號的所有頻譜信息并恢復原信號。
[0017] 然后，在濾波階段對混頻之后的信號進行模擬低通濾波，濾掉高頻部分，留下低頻 部分，使得信號的帶寬變窄，這樣，就可以用較低的采樣率采集信號；接著，對濾波后的信號 進行低速均勻采樣，采樣率需大于低通濾波器的截止頻率的2倍；采樣獲得的數(shù)據(jù)值就構 成觀測值向量；最后利用MLS序列、系統(tǒng)的單位脈沖響應h(t)，IDFT矩陣構造壓縮觀測過程 的壓縮矩陣?，獲得壓縮矩陣Θ和采樣數(shù)據(jù)以后，就可以信號重構算法恢復出原信號的波 形和頻譜了。
[0018] 綜上所述，混頻和低通濾波的過程就是對信號進行壓縮觀測的過程，均勻采樣環(huán) 節(jié)是獲取觀測值的過程，信號重構環(huán)節(jié)則是利用壓縮感知的一些重構算法實現(xiàn)對原信號的 解調(diào)，恢復出原信號。通過隨機解調(diào)可以實現(xiàn)對模擬信號的全局觀測，大大降低信號的采樣 率。而壓縮矩陣?是壓縮感知模型中非常關鍵的一個部分，它決定了對原信號進行何種壓 縮觀測，以及能否高概率重構出原信號。只有求得壓縮觀測過程的壓縮矩陣?，才能利用一 些優(yōu)化算法從觀測值y中恢復原信號。
[0019] 頻域稀疏信號，即信號經(jīng)過離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform, DFT) 后，幅值較大的頻譜分量個數(shù)較少。這樣的信號在生活中較常見，例如AM信號，雷達信號， 音樂信號等等。當信號在傅里葉變換域中具有稀疏性時，上面壓縮感知理論模型中的正交 基矩陣Ψ就是離散傅里葉逆變換（IDFT)矩陣。壓縮矩陣Θ的獲取則是通過上面提到的 公式〇 = φψ進行計算。IDFT矩陣ψ的維數(shù)是NXN，觀測矩陣Φ的維數(shù)是MXN，那 么計算壓縮矩陣〇就需要MXN 2次復數(shù)乘法運算，MXNX (N-1)次加法運算。其計算量為 〇(MXN2)，尤其是當N增大時，計算量，存儲空間，運算時間將按幾何級數(shù)急劇增加。例如， 當信號X長度為1〇〇〇,觀測值y的點數(shù)為200時，則觀測矩陣Φ的維數(shù)是200X1000,離散 傅里葉變換矩陣Ψ的維數(shù)1000X1000,最后求得的壓縮矩陣Θ維數(shù)為200X1000。取數(shù) 據(jù)類型為double型，則需要的存儲空間為5. 6X 106Byte。在實際問題中，信號的長度N通 常都較大，所以有必要開發(fā)快速算法，減小計算量。
[0020] 壓縮矩陣Θ是壓縮感知模型中非常關鍵的一個部分，它是高概率重構原信號的 條件之一。按照舊有的壓縮矩陣計算公式（5)，需要計算觀測矩陣Φ和IDFT矩陣Ψ的相 乘，這種直接矩陣相乘的運算是將矩陣Φ的每一行元素與矩陣Ψ的每一列元素對應相乘 再相加，當信號長度增加時，各個矩陣的維數(shù)也會隨之增加，此時需要的計算量和內(nèi)存會以 幾何級數(shù)的速度增加。在實際問題中，信號的長度通常都較大，這就意味著觀測矩陣Φ和 IDFT矩陣Ψ的都較大，從而暴露出原有的壓縮矩陣存在計算量大，耗時，占用內(nèi)存多等等 一系列弊端。
[0021] Θ = ΦΨ (5)
[0022] 其中，Ψ為IDFT矩陣，如（6)所示。觀測矩陣Φ，如（7)所示。 '1 1 1 1 ··· 1 1 w w2 iv- ··· ?ΓΛ ' I w2 ?ν3 訪3 …記2(Λ,-υ
[〇〇23] Ψ= 1 # # 妒…,-υ ;丨Τ （6) II 識2(W-? W3(W-? …樂供―1ΧΛΓ-D Φ?,\ Φ\2 Φ\3 ^1,4 Φ\,Ν
[0024] Φ= ： Τ' ? ： . ( 7) ** ? * * * · * ? _Φμ_\ Φμ,2 ΦλΙ,? ΦμΑ ' "Φμ,Ν _
[0025] 為了解決這些弊端，現(xiàn)利用DFT矩陣和IDFT矩陣的共軛關系、DFT矩陣的對稱性 和矩陣轉置運算的規(guī)則，設計新的壓縮矩陣?計算方法，然后引入FFT變換，從而實現(xiàn)了計 算量的減小和速度的提升。
【發(fā)明內(nèi)容】

[0026] 本發(fā)明的目的是提出一種基于快速感知矩陣的頻域稀疏信號重構方法，以解決現(xiàn) 有的方法計算量大、耗費時間長，所需數(shù)據(jù)存儲空間大、功耗大，實時性不高、效率不高的問 題。
[0027] 本發(fā)明為解決上述技術問題所采用的技術方案是：
[0028] 本發(fā)明所述的一種基于快速感知矩陣的頻域稀疏信號重構方法，包括以下步 驟：步驟一、用模數(shù)轉換器采集濾波器的輸出信號，獲得一系列采樣值，記為y(m)，（m = 1，2,. . .，M)，根據(jù)MLS序列本身的產(chǎn)生模式和輸出采樣率fs，計算出采樣時間t內(nèi)輸入給乘 法器的MLS序列的一系列值，記為ρ (η)，（η = 1，2, · · ·，N)，
[0029] 步驟二、給乘法器的一個輸入端輸入IV直流信號，給另一個輸入端輸入矩形脈沖 信號，信號的低電平為〇ν，高電平為IV，且高電平持續(xù)時間為0. lms ;與此同時，用模數(shù)轉換 器采集低通濾波器的輸出信號，采樣率和采樣時間與步驟一中的fs和t相同，采集的結果 為乘法器和低通濾波器的脈沖響應，記為h(n), (η = 1，2,. . . N), N = fsXt ;
[0030] 步驟三、用脈沖響應h (η)構造矩陣H，用MLS序列ρ (η)構造矩陣P ;將矩陣Η和矩 陣Ρ相乘，計算觀測矩陣Φ，方法如下：
[0031] 步驟三一、定義一個Ν行Ν列的全零矩陣Η0,用h (η)的第1個元素替換掉矩陣Η0 的第一行的第1個零元素；然后將h (η)前2個元素倒序排列，替換掉矩陣Η0的第二行的前 2個零元素；以此類推，將h (η)前i個元素倒序排列，替換掉矩陣Η0的第i行的前i個零 元素，如下面的公式所示：
[0032]
【權利要求】
1.面向頻域稀疏信號的信號重構方法，其特征在于所述方法包括以下步驟： 步驟一、用模數(shù)轉換器采集濾波器的輸出信號，獲得一系列采樣值，記為y(m)，（m = 1，2,. . .，M)，根據(jù)MLS序列本身的產(chǎn)生模式和輸出采樣率fs，計算出采樣時間t內(nèi)輸入給乘 法器的MLS序列的一系列值，記為ρ (η)，（η = 1，2, · · ·，N)， 步驟二、給乘法器的一個輸入端輸入IV直流信號，給另一個輸入端輸入矩形脈沖信 號，且高電平持續(xù)時間為〇. lms ;與此同時，用模數(shù)轉換器采集低通濾波器的輸出信號，采 樣率和采樣時間與步驟一中的fs和t相同，采集的結果為乘法器和低通濾波器的脈沖響 應，記為 h(n)，（η = 1，2, · · · N)，N = fsXt ; 步驟三、用脈沖響應h (η)構造矩陣H，用MLS序列ρ (η)構造矩陣Ρ ;將矩陣Η和矩陣Ρ 相乘，計算觀測矩陣Φ，方法如下： 步驟三一、定義一個Ν行Ν列的全零矩陣Η0,用h (η)的第1個元素替換掉矩陣Η0的 第一行的第1個零元素；然后將h (η)前2個元素倒序排列，替換掉矩陣Η0的第二行的前2 個零元素；以此類推，將h (η)前i個元素倒序排列，替換掉矩陣Η0的第i行的前i個零元 素，如下面的公式所示：
步驟三二、定義一個N行N列的全零矩陣P0,用p(l)到p(n)代替P中的對角線元素， 結果如下所示：
步驟三三、將矩陣Η和P相乘得到觀測矩陣Φ，S卩Φ = HP ; 步驟四、對NXN的觀測矩陣Φ進行如下處理：每隔C行抽取一行，共抽取Μ行，組成新 的MXΝ的觀測矩陣Φ，C與步驟一中的是同一個變量； 步驟五、根據(jù)公式（1)得到傅里葉逆變換矩陣即IDFT矩陣Ψ :
步驟六、利用IDFT矩陣Ψ和DFT矩陣ψ的共軛性質(zhì)將IDFT矩陣轉換為DFT矩陣，在 式（2)的左右兩邊同時進行共軛操作，得到式（3) Θ = ΦΨ (2) 其中〇是感知矩陣， Θ=ΦΨ Π ) 其中Ψ為離散傅里葉變換矩陣，如式（4)所示，
步驟七、在式（3)兩邊同時進行轉置操作，得到式（5)， ΘΤ=(ΦΨ)Τ (5) 再根據(jù)矩陣的轉置運算規(guī)則，將式（5)變?yōu)槭剑?)， Θ^ΨΦ' (6) 其中γΤ是ψ的轉置矩陣，φΤ是φ的轉置矩陣； 步驟八、由式（4)可知，DFT矩陣ψ是對稱陣，故有式（7)所示關系， Ψ1 =ψ Π ) 將式（7)帶入式（6)后可得式（8)， Θ=ΨΦΤ (8)； 步驟九、對Φτ的每一列都進行FFT操作，結果就是; 步驟十、對步驟四得到的0Τ進行共軛轉置得到壓縮矩陣〇,如式（9)所示，其中（· r 表示共軛轉置，
步驟十一、將步驟一中獲得的采樣值y(m)和步驟十中獲得的感知矩陣Θ作為參數(shù)，利 用正交匹配追蹤算法重構出原信號系數(shù)向量?;正交匹配追蹤算法的步驟如下： (1) 初始化各參數(shù)，殘差A = y，信號支撐集Λ" = 0，支撐矩陣= 0，計數(shù)變量i = 1 ; (2) 解決如下優(yōu)化問題， λ 1 = argmaXjq.'JCrH，θ』> | (10) 其中叫(j = 1，"·，Ν)是感知矩陣Θ的第j列元素組成的列向量，問題解決過程為： 計算殘差Γη和感知矩陣Θ每一列（θ^的內(nèi)積，記錄最大內(nèi)積對應的列向量叫和0』在 的〇中的位置j，位置j即為本次找到的支撐集元素 λ i ; (3) 將找到的支撐集元素 λ i添加到信號支撐集中，如（11)式所示，將叫添加到支撐 矩陣中，如（12)式所示， Λ 1 = Λ 1-1 U { λ (11) Θ\ =Θν, U{0Z} (12) (4) 更新殘差，如（13)式所示， r，=y-?υ) (13) 其中 < 是Θλ;的偽逆，)-1; (5) 計數(shù)變量1加1，若1彡K，則跳回到（2)，否則，執(zhí)行（6); (6) 輸出重構信號的系數(shù)向量 a=0^.y,and α{ι,-.ν}-Λ; = 0 (14) 步驟十二、利用步驟十一中重構出的系數(shù)向量和基矩陣Ψ得到重構信號i， i = Ta (15)。
2. 如權利要求1所述的面向頻域稀疏信號的信號重構方法，其特征在于步驟一中的 y(m)的獲取過程為： 將一路被測模擬信號x(t)與一路MLS序列p(t)輸入到乘法器中進行相乘，相乘后的 信號經(jīng)過低通濾波器濾波，濾波后的信號被模數(shù)轉換器采樣，采樣時所用的采樣率為fc，采 樣時間為t，得到一系列采樣值，記為y(m)，m = 1，2,. . .，M，M = fcXt。
3. 如權利要求2所述的面向頻域稀疏信號的信號重構方法，其特征在于步驟一中的 Ρ (η)的獲取過程為： MLS序列是根據(jù)設定好的模式計算出來的一系列數(shù)值，然后借助任意波形發(fā)生器將這 些數(shù)值按設定的采樣率fs逐個輸出，形成一路MLS序列，故采樣時間t內(nèi)MLS序列的所有 值都能計算出來，記為Ρ(η), (η = 1，2, . . .，N)，N = fsXt ; MLS序列的輸出采樣率fs和采樣濾波器輸出信號所用的采樣率fc有如下關系：fs = CXfc，同時自然有如下關系N = CXM，C是一個整數(shù)。
4. 如權利要求3所述的面向頻域稀疏信號的信號重構方法，其特征在于步驟九的操作 過程為： 步驟九一、定義i為循環(huán)次數(shù)變量，給i賦初值1，即i = 1 ; 步驟九二、判斷i是否大于M，如果小于等于M，順序執(zhí)行步驟九三和步驟九四，否則執(zhí) 行步驟九五，其中Μ為觀測矩陣Φ的行數(shù)； 步驟九三、[1…^]T=FFT([^…lY]T)，其中歹和歹的下標表示該元素對 應Θ1^ΡΦΤ中的第幾列第幾行； 步驟九四、將i的值加1，即i = i+Ι，然后跳到步驟九二； 步驟九五、退出此循環(huán)。
【文檔編號】H03M7/30GK104052494SQ201410323500
【公開日】2014年9月17日 申請日期:2014年7月8日 優(yōu)先權日:2014年7月8日
【發(fā)明者】付寧, 張京超, 宋平凡, 喬立巖 申請人:哈爾濱工業(yè)大學