專利名稱：一種基于直接投影和變分分析的非線性電路模型降階方法
技術(shù)領(lǐng)域：
本發(fā)明屬電子技術(shù)領(lǐng)域，具體涉及一種非線性電路和系統(tǒng)的模型降階方法。
背景技術(shù)：
集成電路已發(fā)展到可以將包含10億以上器件的電子系統(tǒng)集成在一塊芯片上，即系統(tǒng)芯片SOC(System on One Chip)。針對數(shù)以百萬計的大規(guī)模電路，如何在合理的時間內(nèi)，快速準確地模擬和驗證其設(shè)計的正確性已成為系統(tǒng)芯片SOC設(shè)計的瓶頸問題。據(jù)統(tǒng)計，SOC芯片模擬驗證的時間已占到整個設(shè)計時間的70％。
目前越來越多的SOC芯片是數(shù)模混合的。在模擬集成電路和數(shù)?；旌想娐吩O(shè)計中，由于模擬電路絕大多數(shù)是非線性電路，其瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)和頻譜分析所花費的時間數(shù)以月計，這使得僅占芯片面積20％的模擬電路的設(shè)計時間要占整個SOC芯片設(shè)計時間的80％。因此發(fā)明可以快速提升模擬電路模擬和驗證速度的關(guān)鍵技術(shù)，對提高SOC芯片設(shè)計的效率，縮短芯片產(chǎn)品的上市時間具有重要的應(yīng)用價值。
模型降階技術(shù)是一類非常有效的提高電路模擬和驗證速度的技術(shù)，它通過把原來大規(guī)模的電路降階為一個小規(guī)模的電路模型，大大降低求解電路的規(guī)模，從而在較短的時間內(nèi)對電路的功能和性能進行快速驗證，以便對電路的設(shè)計方案及時加以改進。針對線性電路的模型降階技術(shù)[3，4]已成為90年代以來線性電路模擬和驗證的行之有效的主流技術(shù)，并被成功應(yīng)用于大規(guī)模線性互連電路的分析。針對模擬電路的非線性系統(tǒng)模型降階技術(shù)如[1，2]的發(fā)展尚不成熟，高速、高精度的可實用的非線性系統(tǒng)模型降階技術(shù)在模擬電路的快速模擬，如射頻電路的分析；模擬電路的行為級建模、高速時鐘網(wǎng)絡(luò)的分析、數(shù)字電路的時延分析等數(shù)?；旌舷到y(tǒng)芯片設(shè)計，以及微機電系統(tǒng)設(shè)計中具有迫切的市場需求和重要的應(yīng)用前景。
現(xiàn)有技術(shù)的不足之處非線性電路的狀態(tài)方程具有如下形式x·(t)=f(x(t))+Bu(t)]]>y(t)＝Cx(t)+Du(t) (1)其中，x(t)為電路的N維狀態(tài)變量，如節(jié)點電壓或支路電流，f(x(t))是關(guān)于狀態(tài)變量x(t)的非線性向量值函數(shù)，f(x(t))和矩陣E∈RN×N，描述了節(jié)點電壓或支路電流的導(dǎo)數(shù)與自身是一個非線性的關(guān)系，這個非線性關(guān)系是由電路中各個元件的電學(xué)特性決定的。u(t)∈Rl，是進入電路的輸入信號變量，l表示電路中輸入端口的數(shù)目，指l個信號同時從l個端口進入電路。矩陣B∈RN×l，與進入電路的輸入信號變量有關(guān)。y(t)∈Rs，為描述電路的輸出信號的變量，s是輸出端口的數(shù)目，表示信號經(jīng)過電路從s個端口輸出。矩陣C∈Rs×N、Ds×l分別描述狀態(tài)變量、輸入信號與輸出信號之間的關(guān)系。
文獻[1]提出了基于控制理論中的變分分析[Wilson J.Rugh，《Nonlinear System Theory》，Johns Hopkins University Press，Baltimore，1981.]的非線性電路模型降階技術(shù)。該技術(shù)首先對原來的非線性系統(tǒng)(1)的輸入加入一個擾動，即把輸入u(t)變?yōu)棣羥(t)，其中α是變分常數(shù)，通常α＜＜1。那么原系統(tǒng)(1)變?yōu)镋x·(t)=f(x(t))+Bαu(t)]]>y(t)＝Cx(t)+Du(t) (1*)經(jīng)變分分析，(1*)就轉(zhuǎn)化為k(一般k≤4)個子線性系統(tǒng)，如一級子系統(tǒng)(2)、二級子系統(tǒng)(3)、三級子系統(tǒng)(4)，四級子線性系統(tǒng)(5)…。
Ex·1=A1x1+Bu(t)----(2)]]>Ex·2=A1x2+A2(x1⊗x1)---(3)]]>Ex·3=A1x3+A2(x1⊗x2+x2⊗x1)+A3(x1⊗x1⊗x1)--(4)]]>Ex·4=A1x4+A2(x1⊗x3+x2⊗x2+x3⊗x1)]]>+A3(x1⊗x1⊗x2+x1⊗x2⊗x1+x2⊗x1⊗x1)+A4(x1⊗x1⊗x1⊗x1)--(5)]]>其中，“”是向量或矩陣之間的一種乘積運算，舉例說明對于兩個向量g＝(g1，g2，…gn)T∈Rn和h＝(h1，h2，…h(huán)n)T∈Rn，gh＝(g1h1，g1h2，…，g1hn，g2h1，g2h2，…，g2hn，…，gnh1，gnh2，…，gnhn)T例如當n取3時，具體寫出就是gh＝(g1h1，g1h2，g1hn，g2h1，g2h2，g2h3，g3h1，g3h2，g3h3)T因此Kronecker乘積后的向量的維數(shù)比原來的向量的維數(shù)高很多。
得到各級子線性系統(tǒng)后，然后對每個線性子系統(tǒng)(2)，(3)，(4)，(5)...分別采用線性系統(tǒng)模型降階技術(shù)進行降階。最后再用以下線性疊加公式得到非線性系統(tǒng)(1*)的近似解
x≈αx1+α2x2+α3x3+… (6)原來的非線性系統(tǒng)(1)的解可以采取下面的技巧得到注意到，原來的非線性系統(tǒng)(1)與非線性系統(tǒng)(1*)的區(qū)別僅在輸入信號不同，而且輸入信號只是信號的幅度不同。因此，如果原來的非線性系統(tǒng)(1)的輸入是 我們只要把非線性系統(tǒng)(1*)的輸入信號取為u(t)=1αu^(t),]]>那么非線性線性系統(tǒng)(1*)在輸入信號u(t)=1αu^(t)]]>下的解就是原來的非線性系統(tǒng)(1)在輸入 下的解。
該技術(shù)在實現(xiàn)非線性系統(tǒng)模型降階方面，存在以下兩個缺點1、級子系統(tǒng)降階誤差通過輸入傳遞給高級子系統(tǒng)，造成降階誤差積累。線性系統(tǒng)(2)(3)(4)是相互關(guān)聯(lián)的，即二級子系統(tǒng)(3)的輸入是一級子系統(tǒng)(2)的解x1的組合，三級子系統(tǒng)(4)的輸入是低級子系統(tǒng)(2)和(3)的解x1和x2的組合。一級子系統(tǒng)(2)降階后，得到x1的近似解 該近似解與原系統(tǒng)的真實解存在降階誤差ϵ1=x1-x~1.]]>當 作為二級子系統(tǒng)(3)的輸入時，即便子系統(tǒng)(3)不降階，其解也存在由于二級子系統(tǒng)降階誤差ε1的輸入引起的誤差。同理，低級子系統(tǒng)(2)(3)的降階誤差，還將匱入高級子系統(tǒng)(4)，引起誤差的積累，造成降階系統(tǒng)的精度很差。
2、高級子系統(tǒng)輸入維數(shù)的指數(shù)增長造成原非線性系統(tǒng)不能降階到較低維數(shù)。子系(3)(4)中的“?！币馕吨蛄康木S數(shù)將呈冪次方增長。如果一級子系統(tǒng)(2)降階以后x1的維數(shù)是q，則二級子系統(tǒng)(3)的輸入x1x1的維數(shù)就是q2，三級子系統(tǒng)(4)的輸入x1x1x1的維數(shù)就是q3。因此，冪次方增長的輸入端口數(shù)將相當龐大，使得基于子系統(tǒng)分別降階的攝動分析技術(shù)難以對原非線性系統(tǒng)降階到較低維數(shù)，尤其是對降階精度要求較高的應(yīng)用。
參考文獻[1]J.Phillips，“Automated extraction of nonlinear circuit macro-models，”in Proc.CustomIntegrated Circuits Conference，May 2000. Y.Chen，″Model order reduction for nonlinear systems″，M.S.Thesis，MassachusettsInstitute of Technology，September 1999. Lawrence T.Piliage and Ronald A.Rohrer，″Asymptotic Waveform Evaluation for TimingAnalysis″，IEEE Trans.on CAD，Vol.9，No.4，Appil 1990. Peter Feldmann and Roland W.Freund，″Efficient Linear Circuit Analysis by PadeApproximation via the Lanczos Process″，IEEE Trans.on CAD，Vol.14，No.5，May 1995.

發(fā)明內(nèi)容
本發(fā)明的目的在于提出一種降階系統(tǒng)精度高、計算量小的非線性電路模型的降階方法。
本發(fā)明提出的非線性電路模型降階是采用直接投影和變分分析相結(jié)合的一種降階方法。具體步驟如下。
第一步把關(guān)于電路的狀態(tài)變量x(t)(簡寫為x)的非線性向量值函數(shù)f(x)用Taylor級數(shù)展開f(x)＝A1x+A2(xx)+A3(xxx)+...+Anx(n)+o(x(n)) (7)其中 o(x(n))是級數(shù)的余項。
其中A1=∂f(x)∂x,A2=∂2f(x)∂x2,A3=∂3f(x)∂x3,...,An=∂nf(x)∂xn,]]>即分別對應(yīng)f(x)關(guān)于狀態(tài)變量的各階導(dǎo)數(shù)矩陣。根據(jù)具體應(yīng)用的精度需要，f(x)可以由Taylor級數(shù)的前n項來近似，從計算的復(fù)雜度和實際電路應(yīng)用的需求考慮，n的取值范圍是n≤4。對于一個非線性電路系統(tǒng)(1)，如果系統(tǒng)的非線性比較弱，n一般取2；如果非線性比較強，為了保持較高的精度，n一般取為3。對于非線性很強的系統(tǒng)，如果精度同時要求很高，n可以考慮取為4。當f(x)用Taylor級數(shù)(5)中的前n項來逼近時，即為f(x)≈A1x+A2(xx)+...+Anx(n)(8)第二步用f(x)的Taylor近似(8)逼近原來的非線性系統(tǒng)(1)，得到近似系統(tǒng)(9)。
x·=A1x+A2(x⊗x)+...+Anx(n)+Bu(t)--(9)]]> 為x的導(dǎo)數(shù)。
第三步設(shè)計一個統(tǒng)一的映射矩陣VV原理上由n部分構(gòu)成，先計算V^=V1∪V2∪...∪Vn,]]>V中的列是由 中所有的列向量經(jīng)正交化處理后得到的。即V是一個正交矩陣，其特點是滿足VTV＝I，I指的是單位矩陣。正交化的過程一般用比較成熟的算法Arnoldi過程或奇異值分解來實現(xiàn)。V和 的關(guān)系可以用下式來表示
spancolum(V)=spancolum(V^)-----(10)]]>即V和 張成同一個子空間，V中的向量是這個子空間的一組正交基向量。這組正交的基向量是通過把 中多余的，即線性相關(guān)的向量刪除的同時對剩下的向量進行正交化得到的。
其中(1)、矩陣V1如下計算V1中的列向量由下面的向量經(jīng)正交化處理后得到A1-1B,A1-2B,A1-3B,...,A1-j1B-----(11)]]>即，spancolum(V1)=spancolum{A1-1B,A1-2B,A1-3B,···,A1-j1B}-----(12)]]>下面我們給定參數(shù)j1的取值范圍由(5)可知，當α＜＜1時，x1對最后的解x的貢獻最大，因此在選取投影子空間時，V1在最后的投影子空間V中所占比例也應(yīng)最大。所以如果q1是V1中列向量的個數(shù)，那么一般取q1≤34q--(13)]]>q是最后希望的降階系統(tǒng)的階數(shù)，它與原非線性系統(tǒng)(1)的階數(shù)和對降階系統(tǒng)的精度要求有關(guān)。而q1是由(11)式中j1的選取決定的，即q1≤j1cB(14)cB指的是矩陣B中列向量的個數(shù)。因此j1的選取應(yīng)按照(13)(14)式?jīng)Q定。
(2)、矩陣V2如下計算V2中的列向量由下面的向量經(jīng)正交化處理后得到A1-1A2,A1-2A2,A1-3A2,...,A1-j2A2-----(15)]]>即，spancolum(V2)=spancolum(A1-1A2,A1-2A2,A1-3A2,...,A1-j2A2)]]>由于A2含有較多的列向量，在實際計算時，為了節(jié)省計算量，首先對A2的列向量進行正交化處理，把A2中的冗余列向量刪除，只保留那些線性無關(guān)的列向量后得到矩陣 這樣就保證了A-11A2中的列向量的個數(shù)不會很多，使得V2中的列向量的個數(shù)比較少，從而保證最后的投影矩陣V中的列向量的個數(shù)比較少，達到降階的目的。
j2的確定方法同j1。即滿足q2≤j2cA~2,]]>q2≤14q,]]> 為 中列向量的個數(shù)。
(3)、矩陣V3如下計算由于子系統(tǒng)(4)的輸入有兩項，因此在計算V3之前，要首先對子系統(tǒng)(4)作一個變換，使其輸入合并為一項。為此引入附助向量x3e＝A2(x1x2+x2x1)這樣子系統(tǒng)(4)就等價于下面的系統(tǒng)I000x·3x·3e=A100-Ix3x3e+A3A20A2x1⊗x1⊗x1x1⊗x2+x2⊗x1----(16)]]>可以看到子系統(tǒng)(4)中的輸入已經(jīng)合并為一項，即U3=x1⊗x2+x2⊗x1x1⊗x1⊗x1]]>記A=A1000,B3=A2A300]]>那么V3中的列向量由下面的向量經(jīng)正交化處理后得到A-1B3,A-2B3,A-3B3,...,A-j3B3]]>即，spancolum{V3}={A-1B3,A-2B3,A-3B3,...,A-j3B3}]]>j3的確定方法同j1。即滿足q3≤j3cB~3,]]>q3≤14q,]]> 為 中列向量的個數(shù)。 是矩陣B3中的列向量經(jīng)正交化處理后得到的矩陣。在實際計算中，一方面由于α＜＜1，由(6)式可知，x3對x的貢獻很小，即第三個子系統(tǒng)及以后的子系統(tǒng)對原來非線性系統(tǒng)的貢獻很小。而從實際的非線性電路中得到的系統(tǒng)的非線性一般不是很強，因此Vi，i≥3可以忽略不計算。另一方面，由于“?！笔沟肂3中所包含的列向量的個數(shù)是原來的非線性系統(tǒng)的階數(shù)的指數(shù)倍，即使進行正交化處理后會刪除許多線性相關(guān)的向量，但所剩的線性無關(guān)的向量也比較多，這樣使得V3中包含的列向量的個數(shù)必然也會比較多，因此用V3構(gòu)造投影子空間對于非線性比較弱的系統(tǒng)來說不合理。而對于非線性比較強的系統(tǒng)，V3的取舍也要根據(jù)精度的要求和原系統(tǒng)的階數(shù)而定。
(4)、我們可以用與構(gòu)造V3相似的方法來構(gòu)造V4，即先把子系統(tǒng)(5)的輸入經(jīng)引入附助變量后合并為一個輸入。同樣可以構(gòu)造對應(yīng)第四個子線性系統(tǒng)的投影子空間V4。在實際應(yīng)用中，是否要計算V4，也要根據(jù)精度的要求及原系統(tǒng)的階數(shù)而定。經(jīng)驗證明，即使對于非線性較強的系統(tǒng)，只計算到V3就已經(jīng)達到很高的精度。
至此，我們已完成對映射矩陣V的計算。
第四步直接對近似的非線性系統(tǒng)(9)進行投影降階，首先做近似的變量替換x＝Vz，即把高維空間的向量投影到底維空間得到Vz·=A1Vz+A2(Vz⊗Vz)+···+An(Vz)(n)+Bu(t)--(17)]]>然后兩邊分別乘VT后得到VTVz·=VTA1Vz+VTA2(Vz⊗Vz)+···+VTAn(Vz)(n)+VTBu(t)--(18)]]>由于矩陣V是正交矩陣，因此VTV＝I，即單位矩陣。所以最后的非線性降階模型是z·=VTA1Vz+VTA2(Vz⊗Vz)+···+VTAn(Vz)(n)+VTBu(t)--(19)]]>發(fā)明原理的特點是原來的基于變分分析的間接降階技術(shù)[1]，是將原非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為幾個線性子系統(tǒng)，然后分別對各個子系統(tǒng)進行降階，通過降階后各子系統(tǒng)解的線性組合得到降階系統(tǒng)的解。
本發(fā)明采用直接投影降階技術(shù)，首先獲得原非線性系統(tǒng)的n階Taylor近似系統(tǒng)，通過[1]中的若干個子系統(tǒng)的投影矩陣的線性組合和正交化處理，構(gòu)造統(tǒng)一的投影矩陣，最后對n階Taylor近似系統(tǒng)直接投影降階。
本發(fā)明具有如下優(yōu)點
1、高的降階精度本發(fā)明對n階Taylor近似系統(tǒng)(9)直接投影降階，(9)的輸入始終是原始輸入u(t)，由于直接降階并不引入其他的輸入，這樣就避免了間接降階技術(shù)[1]中由子線性系統(tǒng)降階誤差通過輸入傳遞到高級子系統(tǒng)導(dǎo)致的誤差，從而大大提高了降階的精度。
2、低的降階系統(tǒng)維數(shù)本發(fā)明以統(tǒng)一的投影矩陣，對Taylor近似系統(tǒng)(9)直接投影降階，由于不引入其他的輸入，這樣就避免了間接降階技術(shù)[1]中由高級子線性系統(tǒng)輸入維數(shù)指數(shù)增長造成的降階系統(tǒng)維數(shù)不能很低的問題，可以獲得精度高階數(shù)低的降階系統(tǒng)，大大提高降階的效率。
3、低的計算量和存貯量本發(fā)明大大節(jié)省了計算量和存貯量。一方面本發(fā)明的近似非線性系統(tǒng)(9)中的各個矩陣與傳統(tǒng)技術(shù)[1]的線性子系統(tǒng)(2)(3)(4)中的矩陣是一樣的，并沒有引入額外的矩陣，所以沒有增加所需的存貯空間。另一方面，本發(fā)明只需對一個系統(tǒng)(9)進行降階，只需作一次投影，投影降階后，只需求解一個降階系統(tǒng)(19)。而技術(shù)[1]要對幾個線性子系統(tǒng)分別進行投影降階，最后還要求解幾個降階后的模型，從而要存貯相應(yīng)的幾個模型的數(shù)據(jù)。因此本發(fā)明大大節(jié)省了計算量和降階后的模型的存貯量以及投影矩陣的存貯量。


圖1為100階電路圖。
圖2為階躍輸入信號。
圖3為本發(fā)明直接降階技術(shù)與傳統(tǒng)間接降階的比較，間接降階系統(tǒng)為28階，直接降階系統(tǒng)為10階。
圖4為本發(fā)明直接降階技術(shù)與傳統(tǒng)間接降階的比較，間接降階系統(tǒng)為65階，直接降階系統(tǒng)為10階。
具體實施例方式
下面通過具體實施例進一步說明本發(fā)明。
以圖1中的電路為例，電路中節(jié)點個數(shù)取N＝100，由此電路得到的非線性電路模型(1)的階數(shù)是n＝100。輸入信號選用階躍信號，見圖2。
對此非線性系統(tǒng)進行降階，首先用非線性的近似系統(tǒng)(9)逼近(1)，然后計算投影矩陣。先計算矩陣V1，其中q1取7，即我們對以下7個向量進行正交化處理A-11B，A-21B，…A-71B
正交化的技術(shù)是采用已有的算法Anorldi過程來實現(xiàn)的。正交化后我們得到V1。
對于V2，首先把A2中的列進行正交化處理后得到 注意由于通常A2中線性相關(guān)的列向量很多，從而經(jīng)正交化處理后， 中的列向量的個數(shù)要比A2中少得多。
然后從 中提取前面少量的列，在這里取 中的前3列，即B2是由 中的前三列組成的，j2取1，也即A-11B2，中有3列，且只對進行A-11B2正交化處理后得到V2，V3不需計算。得到，V1，V2后就可得 即V^=V1∪V2,]]>最后對 進行正交化處理得到投影矩陣V，此時V中有10列向量。這里指出雖然在計算投影矩陣V的過程中要進行多次正交化處理，但正交化處理的過程只有矩陣乘向量的計算，因此運算速度很快，即使對十萬個向量進行正交化處理，也只需幾秒時間。得到矩陣V后，進行變量替換x＝Vz，按照(17)(18)(19)式進行降階，由于V中有10列向量，從而z是一個10維的向量，那么得到的降階模型的階數(shù)就是q＝10。圖3，圖4是實驗結(jié)果。
在圖3、圖4中，我們分別采用本發(fā)明與間接投影技術(shù)[1]對該非線性電路進行降階，并將降階結(jié)果進行比較。圖3中，實線(c)是原100階系統(tǒng)的真實解。虛線(b)是采用本發(fā)明直接投影技術(shù)得到的階數(shù)為10的降階系統(tǒng)的解。加號線(a)是采用間接投影技術(shù)[1]的降階結(jié)果。為了獲得較低的降階系統(tǒng)維數(shù)，我們將一級子系統(tǒng)(2)降階到6階，二級子系統(tǒng)(3)降階到10階，由于輸入維數(shù)的增加，三級子系統(tǒng)(4)只能降階到28階?？梢钥吹介g接投影技術(shù)得到的一個28階的降階系統(tǒng)的精度遠遠不如本發(fā)明直接投影技術(shù)所獲得的10階系統(tǒng)的精度高。
為了獲得高的降階精度，間接法必須進一步提高降階的階數(shù)，為此我們將一級子系統(tǒng)(2)的降階階數(shù)提高到12階，由于輸入維數(shù)的增加，此時二級子系統(tǒng)(3)只能降階到22階，同樣三級子系統(tǒng)(4)只能降階到65階。圖4中，我們將采用本發(fā)明直接投影技術(shù)得到的階數(shù)為10的降階系統(tǒng)的解(虛線(o))和采用間接投影技術(shù)[1]的獲得的65階系統(tǒng)的解(加號線(e))進行比較，其中實線(c)仍是原100階系統(tǒng)的真實解。可以看到間接投影技術(shù)要得到較高的降階精度，其降階階數(shù)必須很高。在本例中，即便間接法把階數(shù)提到65階，其精度仍然不如本發(fā)明直接投影技術(shù)所獲得的一個真正低階的10階系統(tǒng)。
本電路實例表明，本發(fā)明可以獲得高精度的低階非線性系統(tǒng)模型，是一種高效的非線性模型降階技術(shù)，可以應(yīng)用于模擬電路、數(shù)?；旌想娐泛臀C電等非線性電路和系統(tǒng)的降階。
權(quán)利要求
1.一種非線性電路模型的降階方法，該非線性電路的狀態(tài)方程具有如下形式Ex·(t)=f(x(t))+Bu(t)]]>y(t)=Cx(t)+Du(t)---(1)]]>其中，x(t)為電路的N維狀態(tài)變量，f(x(t))是關(guān)于狀態(tài)變量x(t)的非線性向量值函數(shù)，簡記為f(x)，f(x(t))和矩陣E∈RN×N，u(t)∈Rl，是進入電路的輸入信號變量，l表示電路中輸入端口的數(shù)目，矩陣B∈RN×l，與進入電路的輸入信號變量有關(guān)，y(t)∈Rs，為描述電路的輸出信號的變量，s是輸出端口的數(shù)目，矩陣C∈Rs×N、Ds×l分別描述狀態(tài)變量、輸入信號與輸出信號之間的關(guān)系，“”是向量或矩陣之間的一種乘積運算符，其特征在于采用直接投影和變分分析相結(jié)合的方法，具體步驟如下第一步，把f(x)用Taylor級數(shù)展開，然后用級數(shù)的前n項逼近f(x)f(x)≈A1x+A2(x⊗x)+...+Anx(n)--(8)]]>這里，A1=∂f(x)∂x,A2=∂2f(x)∂x2,A3=∂3f(x)∂x3,...,An=∂nf(x)∂xn,]]>即分別對應(yīng)f(x)關(guān)于狀態(tài)變量的各階導(dǎo)數(shù)矩陣，n取2、3或4。第二步用f(x)的Taylor近似(8)逼近原來非線性系統(tǒng)(1)，得到近似的系統(tǒng)(9)x·=A1x+A2(x⊗x)+...+Anx(n)+Bu(t)--(9)]]>第三步構(gòu)建一個統(tǒng)一的映射矩陣V(1)、構(gòu)建矩陣V1，V1中的列向量由下面的向量經(jīng)正交化處理后得到A1-1B,A1-2B,A1-3B,...,A1-j1B--(11)]]>其中，j1滿足，q1≤j1cB，q1≤34q,]]>q1是V1中列向量的個數(shù)，q是最后希望的降階系統(tǒng)的階數(shù)，cB指的是矩陣B中列向量的個數(shù)；(2)、構(gòu)建矩陣V2，V2中的列向量由下面的向量經(jīng)正交化處理后得到A1-1A2,A1-2A2,A1-3A2,...,A1-j2A2--(15)]]>j2的確定方法同j1；(3)、構(gòu)建矩陣V3，V3中的列向量由下面的向量經(jīng)正交化處理后得到A-1B3,A-2B3,A-3B3,...,A-j3B3]]>其中，A=A1000]]>B3=A2A300]]>j3的確定方法同j1；(4)、構(gòu)建矩陣V4，方法同V3的構(gòu)建；(5)、計算V1，V2，...，Vn的并集V^=V1∪V2∪...∪Vn,]]>再構(gòu)建VV中的列向量由 中所有列向量經(jīng)正交化處理后得到；第四步直接對近似的非線性系統(tǒng)(9)進行投影降階，首先做近似的變量替換x＝Vz，得到Vz·=A1Vz+A2(Vz⊗Vz)+···+An(Vz)(n)+Bu(t)--(17)]]>兩邊分別乘VT后得到z·=VTA1Vz+VTA2(Vz⊗Vz)+···+VTAn(Vz)(n)+VTBu(t)--(18)]]>
全文摘要
模型降階技術(shù)是一類非常有效的提高電路模擬和驗證速度的技術(shù)，以便對電路的設(shè)計方案及時加以改進。本發(fā)明建立了一種直接投影的非線性電路模型降階方法。其特征在于采用直接投影和變分分析相結(jié)合的方法，利用控制理論中的變分分析得到的子系統(tǒng)構(gòu)建子投影矩陣V
文檔編號H01L21/70GK1527228SQ0315119
公開日2004年9月8日 申請日期2003年9月25日 優(yōu)先權(quán)日2003年9月25日
發(fā)明者曾璇, 馮麗紅, 曾 璇 申請人:復(fù)旦大學(xué)