基于三角函數(shù)正交基的隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷分解技術(shù)的制作方法
【專利摘要】本發(fā)明公開了一種基于三角函數(shù)正交基的隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷分解技術(shù)，包括以下步驟：1、確定隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷的均值和自協(xié)方差矩陣；2、選擇三角函數(shù)作為正交基求解第二類Fredholm積分方程，計(jì)算自協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量，并獲得特征值的截?cái)鄶?shù)；3、將自協(xié)方差矩陣的特征向量采用三角函數(shù)正交基進(jìn)行分解，并計(jì)算正交基的參與因子；4、基于KL展開將隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷進(jìn)行分解。本發(fā)明公開的方法可以進(jìn)行平穩(wěn)和非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷的分解，同時(shí)該方法可以在保證分解精度的基礎(chǔ)上提高分解效率。
【專利說明】
基于三角函數(shù)正交基的隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷分解技術(shù)
技術(shù)領(lǐng)域
[0001] 本發(fā)明涉及隨機(jī)動(dòng)載荷分解技術(shù)領(lǐng)域，具體涉及一種基于三角函數(shù)正交基的隨機(jī) 動(dòng)載荷分解技術(shù)。
【背景技術(shù)】
[0002] 工程結(jié)構(gòu)不僅承受確定性靜載荷和動(dòng)載荷，而且承受不確定性隨機(jī)動(dòng)載荷，例如： 大氣湍流、噪聲、路面不平度、地震及風(fēng)載荷等。隨機(jī)動(dòng)載荷通常可分為平穩(wěn)隨機(jī)載荷和非 平穩(wěn)隨機(jī)載荷。工程中絕大部分隨機(jī)激勵(lì)為非平穩(wěn)激勵(lì)，但為了便于計(jì)算分析，同時(shí)也由于 計(jì)算分析方法的局限性，常把非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)簡(jiǎn)化為平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)，然而這樣的簡(jiǎn)化方式 會(huì)對(duì)后續(xù)的隨機(jī)動(dòng)響應(yīng)分析帶來(lái)顯著誤差。
[0003] 為了便于隨機(jī)動(dòng)響應(yīng)分析，特別是非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)響應(yīng)分析，常將隨機(jī)動(dòng)載荷分解 為一系列的確定性隨機(jī)變量。目前，隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷的分解常采用Karhunen-L 〇eve(KL)和 Polynomial Chaos (PC)展開等譜隨機(jī)有限元技術(shù)，其中KL展開又是常用的方法之一。當(dāng)采 用KL展開技術(shù)對(duì)隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷的自協(xié)方差函數(shù)進(jìn)行分解時(shí)，正交基函數(shù)常用來(lái)求解第二類 Fredholm積分。然而采用不同的基函數(shù)時(shí)，第二類Fredholm積分的求解精度和效率會(huì)截然 不同。因此，基函數(shù)的選擇對(duì)于隨機(jī)動(dòng)載荷的分解精度和效率有較大的影響，選擇合適的基 函數(shù)對(duì)于隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷的分解來(lái)說至關(guān)重要。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0004] 發(fā)明目的：針對(duì)現(xiàn)有技術(shù)中存在的問題，本發(fā)明公開了一種在保證分解精度基礎(chǔ) 上又能提高分解效率的隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷分解技術(shù)，該技術(shù)可用于平穩(wěn)和非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷 的分解。
[0005] 技術(shù)方案:本發(fā)明公開了一種隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷分解技術(shù)，包括如下步驟：
[0006] (1)確定隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷的均值和自協(xié)方差矩陣；
[0007] (2)選擇三角函數(shù)作為正交基，求解第二類Fredholm積分方程，獲得自協(xié)方差矩陣 的特征值和特征向量以及特征值的截?cái)鄶?shù)；
[0008] (3)將自協(xié)方差矩陣的特征向量采用正交基進(jìn)行分解，并計(jì)算正交基的參與因子；
[0009] (4)基于KL展開將隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷進(jìn)行分解。
[0010] 進(jìn)一步地，所述步驟(1)中隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷X(t)的均值μ(〇和自協(xié)方差矩陣 計(jì)算公式為：
[0011] y(t)=E[X(t)] (1)
[0012] C(ti,t2)=E[(X(ti)-y(ti))(X(t2)-y(t2))] (2)
[0013] 其中均為時(shí)間變量，E[ ·]表示求期望。
[0014] 進(jìn)一步地，所述步驟(2)包括以下步驟：
[0015] 201、選擇三角函數(shù)hk(t)作為正交基；
[0016] 202、求解第二類Fredholm積分方程，獲得自協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量;其 中第二類Fredholm積分方程為：
[0017] ΜΦ = ΛΝΦ (3)
[0018] 式中，矩陣Μ的元素為?,, =Γ1~('(認(rèn)，矩陣Ν中的元素為巧=Γ咕)/;,⑴di， -mm .1 丨〇 矩陣λ的元素為Λυ = δ?」λ?，矩陣φ = [ ΦΚΟ, <i>2(t), · · ·，· · ·，<K(t)]T，<i>i(t)為 自協(xié)方差矩陣C ( 11，12 )的第i階特征向量，λ?是φ i ( t )對(duì)應(yīng)的特征值，tmin和tmax分別為分析 時(shí)間的上下界，3ij為克羅內(nèi)克函數(shù)，定義如式(4) ;i，j = l，2,......，m，m為隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷的時(shí) 間步數(shù)；
[0020] 203、獲得特征值的截?cái)鄶?shù)n，即自大到小的前η個(gè)特征值之和大于所有特征值之和 的95%時(shí)，在第η階處截?cái)唷?br>[0021] 進(jìn)一步地，所述三角函數(shù)hk(t)為半正弦和半余弦函數(shù)，其表達(dá)式為：
[0023]其中L為分析時(shí)間的一半;m為隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷的時(shí)間步數(shù)。
[0024] 進(jìn)一步地，所述三角函數(shù)hk(t)為全正弦和全余弦函數(shù)，其表達(dá)式為：
[0026]其中L為分析時(shí)間的一半;m為隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷的時(shí)間步數(shù)。
[0027] 進(jìn)一步地，步驟(3)中特征向量Φ i (t)采用正交基hk(t)進(jìn)行分解，計(jì)算正交基的參 與因子dkl采用式(7):
[0029]進(jìn)一步地，步驟(4)中基于KL展開將隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷X(t)分解為式(8):
[0031] 其中〖:表示一組標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的隨機(jī)變量，具有均值為0、方差為1的性質(zhì)。
[0032] 有益效果:本發(fā)明公開了一種基于三角函數(shù)正交基的隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷分解技術(shù)，是 一種既能保證分解精度又能提高分解效率的隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷分解技術(shù)，同時(shí)是一種既能分解 平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷又能分解非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷的分解技術(shù)。
【附圖說明】
[0033]圖1是本發(fā)明方法的邏輯流程框圖。
【具體實(shí)施方式】
[0034]下面結(jié)合附圖和【具體實(shí)施方式】，進(jìn)一步闡明本發(fā)明。
[0035] 以均值為零，自協(xié)方差為指數(shù)形式，時(shí)長(zhǎng)為ls，時(shí)間步數(shù)為1000的隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷為 例，采用本發(fā)明的基于三角函數(shù)正交基的隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷分解技術(shù)分解，包括以下步驟：
[0036] 步驟1:確定隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷X(t)的均值μ(t)和自協(xié)方差矩陣C(t，t2)，分別如式(9) 和式(10):
[0037] y(t)=0 (9)
[0038] €(/,,/,)-!0〇 10,1 <10)
[0039]步驟2:選擇三角函數(shù)hk(t)作為正交基求解第二類Fredholm積分方程，獲得自協(xié) 方差矩陣的特征值Μ和特征向量(tdt)以及特征值的截?cái)鄶?shù)n，具體步驟如下：
[0040] 201、三角函數(shù)正交基可以選擇式（5)所示的半正弦和半余弦函數(shù)，表達(dá)式如式 (11)：
[0042] 三角函數(shù)正交基還可以選擇式(6)所示的全正弦和全余弦函數(shù)，表達(dá)式如式（12):
[0044] 式（11)和式（12)中分析時(shí)間為Is，L為0.5。
[0045] 202、求解第二類Fredholm積分方程，獲得自協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量;第 二類Fredholm積分方程如下：
[0046] ΜΦ = ΛΝΦ
[0047] 其中矩陣Μ的元素為乂 =0>c-噸，矩陣N中的元素為丨。、(?)/# 矩陣 Λ 的兀素為 Λ = 矩陣 Φ = i_(t) ]τ，Φ i(t) 為自協(xié)方差矩陣C(h，t2)的第i階特征向量，人1是φ i(t)對(duì)應(yīng)的特征值；i，j = 1，2，……， 1000ο
[0048] 203、在此實(shí)施例中前40階特征值之和為0.95,所以η取40。
[0049]步驟3:將自協(xié)方差矩陣的特征向量(tdt)采用正交基hk(t)進(jìn)行分解，并計(jì)算正交 基的參與因子dki，如式（13);
[0051 ] 步驟4:基于Karhunen-Loeve(KL)展開將隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷X(t)按式(8)進(jìn)行分解，如 下式：
[0053]其中，〖:表示一組標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的隨機(jī)變量，具有均值為0、方差為1的性質(zhì)。
【主權(quán)項(xiàng)】
1. 一種基于Ξ角函數(shù)正交基的隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷分解技術(shù)，其特征在于包括W下步驟： (1) 確定隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷的均值和自協(xié)方差矩陣； (2) 選擇Ξ角函數(shù)作為正交基，求解第二類Fre化olm積分方程，獲得自協(xié)方差矩陣的特 征值和特征向量W及特征值的截?cái)鄶?shù)； (3) 將自協(xié)方差矩陣的特征向量采用正交基進(jìn)行分解，并計(jì)算正交基的參與因子； (4) 基于化展開將隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷進(jìn)行分解。2. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷分解技術(shù)，其特征在于所述步驟(1)中隨機(jī)動(dòng)態(tài) 載荷X(t)的均值μ(υ和自協(xié)方差矩陣C(ti，t2)計(jì)算公式為： y(t)=E[X(t)] C(tl,t2)=E[(X(tl)-y(tl))(X(t2)-]i(t2))] 其中均為時(shí)間變量，E[ ·]表示求期望。3. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷分解技術(shù)，其特征在于所述步驟(2)包括W下步 驟： 201、 選擇Ξ角函數(shù)hk(t)作為正交基； 202、 求解第二類Fre化olm積分方程，獲得自協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量;其中第 二類Rre化olm積分方程為： Μ巫=ΛΝ巫 式中，矩陣Μ的元素夫矩陣Λ的元素為 Aij = SijAi，矩陣Φ = [ φι(?), Φ2(1:)，. . .，<l)i(t)，. . .，<K(t)]T，(l)i(t)為 自協(xié)方差矩陣C ( tl，t2 )的第i階特征向量，λι是Φ i ( t )對(duì)應(yīng)的特征值，tmin和tmax分別為分析 時(shí)間的上下界，Su為克羅內(nèi)克函數(shù);i，j = l，2,……，m，m為隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷的時(shí)間步數(shù)； 203、 獲得特征值的截?cái)鄶?shù)n，即自大到小的前η個(gè)特征值之和大于所有特征值之和的 95%時(shí)，在第η階處截?cái)唷?. 根據(jù)權(quán)利要求3所述的隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷分解技術(shù)，其特征在于所述Ξ角函數(shù)hk(t)為半 正弦和半余弦函數(shù)，其表達(dá)式為：其中L為分析時(shí)間的一半;m為隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷的時(shí)間步數(shù)。5. 根據(jù)權(quán)利要求3所述的隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷分解技術(shù)，其特征在于所述Ξ角函數(shù)hk(t)為全 正弦和全余弦函數(shù)，其表達(dá)式為：其中L為分析時(shí)間的一半;m為隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷的時(shí)間步數(shù)。6. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷分解技術(shù)，其特征在于所述步驟(3)中特征向量 Φι(υ采用正交基hk(t)進(jìn)行分解，計(jì)算正交基的參與因子dki采用下式：7. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷分解技術(shù)，其特征在于所述步驟(4)中基于化展 開將隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷X(t)分解為下式：其中，ξι表示一組標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的隨機(jī)變量，具有均值為0,方差為1的性質(zhì)。
【文檔編號(hào)】G06F19/00GK106096239SQ201610384243
【公開日】2016年11月9日
【申請(qǐng)日】2016年6月2日 公開號(hào)201610384243.9, CN 106096239 A, CN 106096239A, CN 201610384243, CN-A-106096239, CN106096239 A, CN106096239A, CN201610384243, CN201610384243.9
【發(fā)明人】李彥斌, 費(fèi)慶國(guó), 廖濤, 吳邵慶, 張鵬
【申請(qǐng)人】東南大學(xué)