基于系統(tǒng)矩陣Moore-Penrose偽逆的CT和PET迭代重建算法
【專利說(shuō)明】基于系統(tǒng)矩陣1^1〇〇「6-?611「〇86偽逆的01'和?￡1'迭代重建算法
[0001 ] 1.技術(shù)領(lǐng)域:本發(fā)明涉及CT (PET)成像技術(shù)領(lǐng)域，特別是CT( PET)迭代重建技術(shù)領(lǐng) 域，具體是指一種基于投影矩陣Moore-Penrose偽逆(廣義逆)的迭代CT(PET)重建技術(shù)。 2.
【背景技術(shù)】
[0002] X射線計(jì)算斷層成像(Computed Tomography，CT)因其無(wú)損、精確、快速等優(yōu)點(diǎn)廣泛 應(yīng)用于醫(yī)療、科研和工業(yè)等領(lǐng)域，成為臨床診斷、手術(shù)引導(dǎo)、科學(xué)研究和質(zhì)量監(jiān)控中不可或 缺的工具。高質(zhì)量和完備的投影數(shù)據(jù)是重建高質(zhì)量圖像的關(guān)鍵。隨著人們對(duì)X線輻射劑量越 來(lái)越多的關(guān)注，低劑量CT(或稱綠色CT)成為新的、更迫切的追求目標(biāo)。為將輻射劑量水平降 到足夠低，嚴(yán)格限制掃描密度。稀疏掃描成為降低輻射劑量的主要方式。有些場(chǎng)合受被掃描 物體形狀、探測(cè)器尺寸及現(xiàn)場(chǎng)掃描空間等條件的限制，如集成電路板成像，長(zhǎng)管狀物成像和 乳房成像，無(wú)法獲得滿足要求(如平行光(parallel-beam)掃描下180°角范圍的掃描）的投 影數(shù)據(jù)，此時(shí)為不完全投影數(shù)據(jù)CT重建。當(dāng)投影數(shù)據(jù)是不完全時(shí)，CT重建一般將成為嚴(yán)重的 病態(tài)問(wèn)題，難以精確重建斷層圖像。近年來(lái)，結(jié)合先驗(yàn)信息或正則約束（如最小化總變分， total variation minimization)的重建思路成為新的解決途徑，其實(shí)現(xiàn)通常采用迭代重 建技術(shù)。迭代重建技術(shù)具有抗噪性好，偽影抑制能力強(qiáng)，方便引入已有的先驗(yàn)信息等優(yōu)點(diǎn)。 眾多學(xué)者進(jìn)行了大量艱苦的研究工作，提出了各種改進(jìn)算法。但該類算法均存在著一定的、 甚至嚴(yán)重的缺陷，譬如巨大的計(jì)算量，重建速度慢、穩(wěn)定性差等，其實(shí)際應(yīng)用前景甚至理論 基礎(chǔ)仍然存在許多爭(zhēng)論，使其遠(yuǎn)未成為CT重建的主流算法。因此，可以認(rèn)為重建技術(shù)在提高 不完全掃描數(shù)據(jù)重建質(zhì)量的潛力還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有被充分發(fā)揮出來(lái)，實(shí)用性方面存在的問(wèn)題還遠(yuǎn) 沒(méi)解決。本發(fā)明專利將以新的角度和方法解決該類算法，也為解決其它類似問(wèn)題提供新的 途徑。 3.

【發(fā)明內(nèi)容】

[0003] 3.1基本算法
[0004] X射線CT的投影過(guò)程可以用線性代數(shù)模型為：
[0005] X = PI (1)
[0006] 其中I為矢量表示的待重建圖像，P為投影矩陣，X是矢量表示的投影數(shù)據(jù)。由于平 行光(parallel-beam)、扇形光(fan-beam)和錐束光（cone-beam)X射線掃描的投影過(guò)程均 可以由公式（1)表示。由于正電子放射斷層造影術(shù)(positron emission tomography，PET) 的射線是直線傳播，其射線發(fā)射投影過(guò)程也可以由公式(1)表示。
[0007] 根據(jù)數(shù)學(xué)理論，重建圖像為
[0008] I = P+X (2)
[0009] 其中P+表示P的Moore-Penrose偽逆(廣義逆）。矩陣論中相關(guān)理論表明該重建圖像 是線性代數(shù)模型的最小二乘法最小范數(shù)解，是僅根據(jù)投影數(shù)據(jù)重建時(shí)，能夠得到的最好圖 像。
[0010] 實(shí)際中，由于其非常大，投影矩陣P是難以獲得、存儲(chǔ)和使用的，更不要說(shuō)它的 Moore-Penrose偽逆。如當(dāng)圖像有1024* 1024像素，掃描角度數(shù)為360,投影矩陣包括 10243萬(wàn)*360個(gè)實(shí)數(shù)。當(dāng)采用雙精度存儲(chǔ)時(shí)，大約4.3TB(terabyte)，大于一般工作站存儲(chǔ)容 量。因此必須避免直接計(jì)算和使用P和P+。應(yīng)用以下定理可以避免直接計(jì)算P+。
[0011 ] 定理:設(shè)P e RN ·M矣〇，根據(jù)矩陣論有關(guān)定理，又設(shè)To = PTY〇PT，Y〇 e RN ·M，滿足
[0012] p(R〇)=p(Pr(p)-PTo)<1 (3)
[0013]其中p(RQ)是R〇的譜半徑(矩陣特征值的模的最大值），PR(P)是P的正交投影矩陣，P T 表示P的轉(zhuǎn)置矩陣，則當(dāng)時(shí)，序列
[0014] Tk+i = Tk+T〇-ToPTk (4)
[0015] 收斂到p+，Bpj^T； =戶+。殘差| |pR(P)-PTk+i| | < | |PR(p)-PTk| 11 |Pr(p)-pt〇| |<| pR(P)-PTk| I，其中N · 11表示任何乘性范數(shù)。
[0016] To為迭代計(jì)算P+的初始估計(jì)，其選擇應(yīng)滿足公式(3)。一種簡(jiǎn)單選擇方法是
[0017] Το = βΡ* (5)
[0018]其中β是正常數(shù)滿足
[0019]
(6)
[0020]其中λΚΡΡ"是ppt的最大非零特征值。
[0021] 該定理表明通過(guò)矩陣的乘、加和減等運(yùn)算可以近似計(jì)算（逼近）矩陣的Moore- Penrose逆。但是，由于投影矩陣P可以大到無(wú)法獲得或存儲(chǔ)，因此，仍然不能直接使用公式 ⑷。
[0022] 現(xiàn)在對(duì)公式(4)兩邊同乘以投影數(shù)據(jù)X，得到
[0023] Tk+iX = TkX+ToX-ToPTkX (7)
[0024] 其中TkX可以看作厶，=厶，即第k次迭代得到的重建圖像;rQX = f。，第0次迭 代得到的重津圖像，即初始的重津圖像。公式(7)可以表示為
[0025]
(8)
[0026] 公式(8)表示中間重建結(jié)果^經(jīng)過(guò)投影得到投影數(shù)據(jù)對(duì)其再用原來(lái)重建技術(shù) 和參數(shù)進(jìn)行重建得到最后應(yīng)用公式(8)計(jì)算可以得到新的重建結(jié)果f A+1。式(8)中的To 表示某種已知的、便于實(shí)現(xiàn)的非迭代重建過(guò)程。為了滿足公式(3)，根據(jù)公式(6)，可選擇濾 波反投影(Filtered Back Projection，F(xiàn)BP)重建過(guò)程作為重建過(guò)程(矩陣），記為B(也可 以選擇為沒(méi)有濾波的反投影(Back Projection，BP)重建過(guò)程），設(shè)α>〇為一個(gè)常數(shù)，使p (PR(P)-aPB) <1，即滿足公式(3)，則迭代重建技術(shù)可表示為
[0027] ........
(9)
[0028] 其中&和表示第0步、第k步和第k+Ι步的圖像估計(jì)值;B表示某種已知的、便 于實(shí)現(xiàn)的非迭代重建過(guò)程;a>〇為取決于P和B的常數(shù)。
[0029] 可以證明，當(dāng)?shù)銐虼螘r(shí)，重建圖像趨近于在僅有投影數(shù)據(jù)條件下能夠得到的 最佳圖像。
[0030] 3.2算法擴(kuò)展
[0031] 當(dāng)需要附加約束條件時(shí)，所述方法投影過(guò)程的線性代數(shù)模型可以表示為：
[0032]
(10)
[0033] 其中I、P和X與公式（1 )相同，F(xiàn)表示附加的約束條件，如正則約束，變分 (variation)矩陣（算子）等。根據(jù)數(shù)學(xué)理論，該方程的解近似基于總變分（total variation)最小化的重建結(jié)果，其中β表示正則化約束的權(quán)重。在此條件下，公式（10)表示