本發(fā)明屬于圖像處理技術(shù)領(lǐng)域，特別是一種基于分數(shù)階偏微分方程的圖像去噪方法。

背景技術(shù)：

隨著模式識別、人工智能、遙感科學、計算機視覺等研究領(lǐng)域的不斷深入，圖像處理問題已經(jīng)成為當前倍受關(guān)注的熱點，它是圖像分析和圖像理解的前提和基礎(chǔ)。圖像處理主要包括圖像去噪、圖像增強、圖像復原、圖像分割、圖像壓縮、圖像融合、圖像超分辨率、圖像特征提取等問題。在獲取和傳輸過程中，由于傳感器元器件的缺陷，傳輸信道受到干擾，環(huán)境的變化如光線和天氣的影響，以及后續(xù)傳輸中的人為因素等，會造成信號受到噪聲污染。雖然這些噪聲的來源和形成因素不同，但它們都會導致原始圖像細節(jié)模糊，從而進一步影響圖像的后續(xù)處理，如圖像特征提取、圖像理解等。因此，對圖像進行去噪成為了圖像處理的重要步驟之一。

傳統(tǒng)的圖像去噪方法在去除圖像噪聲的同時，往往會模糊圖像的細節(jié)，主要是因為圖像的紋理細節(jié)和噪聲區(qū)分不夠準確，此外好的去噪方法一般需要復雜的運算消耗大量資源。為了能夠達到很好的去噪效果同時又能夠提高運算速度和降低資源消耗，就需要引入一些新穎的數(shù)學思想和算法，例如分數(shù)階微積分，快速fourier變換等等，來研究新的圖像去噪方法。

圖像去噪對圖像處理的其他分支也有影響。近年來一些人工智能領(lǐng)域的研究熱點例如基于計算機視覺的無人駕駛、即時定位與地圖構(gòu)建、人臉識別、指紋識別等，都和圖像去噪中使用的方法有一定的聯(lián)系。因此，一個好的圖像去噪方法往往具有啟發(fā)性的影響，可以進一步推廣到圖像處理的其他領(lǐng)域。從這個角度考慮，深入研究圖像去噪中一些根本性問題，提出新穎的圖像去噪方法，對于促進圖像處理的其它分支的發(fā)展，也具有重要意義。

偏微分方程應(yīng)用到圖像處理領(lǐng)域最早可以追溯到物理學中的熱擴散現(xiàn)象，它描述一個區(qū)域內(nèi)的溫度如何隨時間的變化，熱傳導方程用于圖像去噪可以表述為隨著時間的變化圖像的噪聲點逐漸趨近于平滑，即達到去噪效果。傳統(tǒng)的熱傳導方程在去噪的同時會導致圖像的邊緣模糊紋理細節(jié)丟失。為了克服這一缺點，perona和malik在1990年提出了基于邊緣擴散的各向異性擴散模型即著名的p-m擴散模型

該模型利用灰度圖像梯度的模|▽u|作為檢測圖像邊緣的工具，同時設(shè)計了基于變量|▽u|單調(diào)遞減的擴散函數(shù)g(|▽u|)，對圖像的不同區(qū)域進行不同程度的擴散。在圖像的平坦區(qū)域，|▽u|的值一般較小，此時對應(yīng)的g(|▽u|)較大，因此在平坦區(qū)域具有較強的去噪能力同時不影響紋理細節(jié)；在圖像的邊緣區(qū)域，|▽u|的值一般較大，此時對應(yīng)的g(|▽u|)很小，因而在邊緣區(qū)域去噪能力較弱，因此能夠最大程度地保留原圖像的紋理細節(jié)。但p-m擴散模型的解過度依賴于參數(shù)的設(shè)定和初始條件，參數(shù)設(shè)定不當或者特殊的初始條件會導致方程解的不穩(wěn)定，另外p-m擴散模型在邊緣檢測時容易出現(xiàn)虛假邊緣容易導致去噪處理后的圖像存在階梯效應(yīng)。

針對求解的問題，yu-liyou等人分析了p-m擴散方程解的穩(wěn)定性條件，同時給出了求解穩(wěn)定的數(shù)值計算方法[3]。catte等人針對p-m擴散模型存在階梯效應(yīng)的問題，對該模型進行了一些改進，提出了正則化后的p-m方程。patrick等人提出了兩種改進的四階偏微分方程模型，重新設(shè)計了擴散函數(shù)并討論了參數(shù)的影響，一定程度上提升了保留邊緣的能力并抑制了階梯效應(yīng)，但該方法的去噪效果比較一般；現(xiàn)有技術(shù)還未解決在去除噪聲的同時盡可能地保留原圖像的紋理信息的圖像去噪方法，本發(fā)明解決這樣的問題。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

為解決現(xiàn)有技術(shù)的不足，本發(fā)明的目的在于提供一種基于分數(shù)階偏微分方程的各向異性擴散的圖像還原方法，本方法根據(jù)綜合分數(shù)階導數(shù)的非局部特性以及各向異性擴散模型的保邊緣特性，在去除噪聲的同時盡可能地保留原圖像的紋理信息，極大地提升了圖像還原效果。

為了實現(xiàn)上述目標，本發(fā)明采用如下的技術(shù)方案：

基于分數(shù)階偏微分方程的圖像去噪方法，包括如下步驟：

步驟一，輸入一幅被噪聲污染的圖像u0(x,y)，圖像大小為m×n，設(shè)定時間間隔δt＝0.25；

步驟二，將圖像進行對稱處理，處理后圖像的大小為原圖像的4倍，計算公式如下：

forx＝1:m

fory＝1:n

u(x,2*n+1-y)＝u0(x,y)

u(2*m+1-x,y)＝u0(x,y)

u(2*m+1-x,2*n+1-y)＝u0(x,y)

end

end；

步驟三，利用matlab商業(yè)數(shù)學軟件自帶的快速傅立葉變換函數(shù)對圖像進行傅立葉變換，公式如下：

步驟四，獲得圖像的分數(shù)階微分；

計算圖像的分數(shù)階微分的計算過程如下：

其中p(m1)＝(1-exp(-j2πm1/n))^α，p(m2)＝(1-exp(-j2πm2/n))^α，p(mi)表示在頻域上對圖像的第i行或者第i列的微分算子；

步驟五，獲得圖像分數(shù)階梯度的模，計算過程如下：

將步驟四中頻域上分數(shù)階微分進行傅立葉反變換，得到空間域上的圖像的分數(shù)階微分，并將參數(shù)α換為擴散函數(shù)的參數(shù)β，

根據(jù)梯度的模的計算公式得到分數(shù)階梯度的模：

步驟六，根據(jù)步驟五中求得的分數(shù)階梯度的模計算擴散函數(shù)：

g(x)＝1/(1+x²)，

步驟七，計算微分算子的共軛算子，計算過程如下：

p^*(m1)＝conj((1-exp(-j2πm1/n))^α)，

輸出一次迭代求解的結(jié)果：

其中：

步驟九，將步驟八中所得結(jié)果進行傅立葉反變換，

步驟十，將uⁿ⁺¹還原到原圖像大小，計算過程如下：

forx＝1:m

fory＝1:n

end

end；

步驟十一，利用下式計算所得結(jié)果與原圖像進行峰值信噪比計算，判斷是否滿足終止條件；

其中f為無噪聲圖像，u為一次迭代還原后的圖像，若符合終止條件：δpsnr≤ε，其中，δpsnr表示兩次迭代結(jié)果的峰值信噪比的變化絕對值，ε取0.01，則執(zhí)行步驟十三；若δpsnr＞ε，則執(zhí)行步驟十二；

步驟十二，重新迭代求解，將上一次的迭代結(jié)果作為下一次迭代的輸入，繼續(xù)執(zhí)行步驟四至步驟十一；

步驟十三，輸出還原后的結(jié)果則為最優(yōu)的去噪圖像。

前述的基于分數(shù)階偏微分方程的圖像去噪方法，步驟一，輸入一幅被噪聲污染的圖像u0(x,y)，圖像大小為m×n，設(shè)定時間間隔δt≤0.25。

前述的基于分數(shù)階偏微分方程的圖像去噪方法，步驟四，獲得圖像的分數(shù)階微分；

計算圖像的分數(shù)階微分的計算過程如下：

其中p(m1)＝(1-exp(-j2πm1/n))^α，p(m2)＝(1-exp(-j2πm2/n))^α，p(mi)表示在頻域上對圖像的第i行或者第i列的微分算子；

圖像中，某一點對x方向的一階偏導數(shù)可以寫成差分形式：

相應(yīng)的，根據(jù)分數(shù)階導數(shù)的定義，某一點對x方向的α階導數(shù)可以表示為：

對上式兩邊同時進行傅立葉變換可得該點對x方向和y方向的α階導數(shù)的傅立葉變換，公式如下：

其中p(m1)＝(1-exp(-j2πm1/n))^α，p(m2)＝(1-exp(-j2πm2/n))^α。

前述的基于分數(shù)階偏微分方程的圖像去噪方法，本發(fā)明采用的軟件是matlab。

前述的基于分數(shù)階偏微分方程的圖像去噪方法，本發(fā)明需要的最低配置的處理器為：i3-2100處理器。

前述的基于分數(shù)階偏微分方程的圖像去噪方法，本發(fā)明采用的處理器為：intel(r)core(tm)i5-6500cpu@3.20ghz處理器。

前述的基于分數(shù)階偏微分方程的圖像去噪方法，本發(fā)明需要的最低內(nèi)存是1gbram。

前述的基于分數(shù)階偏微分方程的圖像去噪方法，本發(fā)明采用的內(nèi)存為16gbram。

本發(fā)明的有益之處在于：

第一，本發(fā)明根據(jù)分數(shù)階導數(shù)的非局部性質(zhì)，在檢測邊緣時能夠減弱噪聲的干擾，結(jié)合偏微分方程得到一種基于分數(shù)階偏微分方程的圖像去噪方法，能夠在去噪的同時盡可能地保留原圖像的紋理細節(jié)。

第二，在求解的過程中采用了快速fourier變換的方法，避免了復雜的分數(shù)階導數(shù)展開運算的同時加快了求解速度。

第三，本發(fā)明將擴散函數(shù)的變量單獨設(shè)定了分數(shù)階導數(shù)，對于不同的圖像變化微分階數(shù)可以獲得較好的去噪效果，并且收斂速度也較快，所需的迭代次數(shù)較少。

附圖說明

圖1是本發(fā)明的一種實施例的流程圖；

圖2(a)是無噪聲的lena圖像；

圖2(b)是添加標準差δ＝25高斯白噪聲后的lena圖像；

圖2(c)使用本發(fā)明在實驗中得到的去除噪聲后的lena圖像；

圖3(a)是無噪聲的barbara圖像；

圖3(b)是添加標準差δ＝25高斯白噪聲后的barbara圖像；

圖3(c)使用本發(fā)明在實驗中得到的去除噪聲后的barbara圖像；

圖4(a)是無噪聲的boat圖像；

圖4(b)是添加標準差δ＝25高斯白噪聲后的boat圖像；

圖4(c)使用本發(fā)明在實驗中得到的去除噪聲后的boat圖像。

具體實施方式

以下結(jié)合附圖和具體實施例對本發(fā)明作具體的介紹。

基于分數(shù)階偏微分方程的圖像去噪方法，包括如下步驟：

步驟一，輸入一幅被噪聲污染的圖像u0(x,y)，圖像大小為m×n，設(shè)定時間間隔δt≤0.25；需要說明的是，若時間間隔大于0.25會使得去噪不穩(wěn)定，所以優(yōu)選δt≤0.25；作為一種實施例，如圖2所示，圖像大小為512*512像素；

步驟二，將圖像進行對稱處理，處理后圖像的大小為原圖像的4倍；圖像邊界區(qū)域的點在求導的時候會由于邊界區(qū)域的有界而產(chǎn)生較大的偏差，將待處理的噪聲圖像翻轉(zhuǎn)對稱為1024*1024像素；計算公式如下：

forx＝1:m

fory＝1:n

u(x,2*n+1-y)＝u0(x,y)

u(2*m+1-x,y)＝u0(x,y)

u(2*m+1-x,2*n+1-y)＝u0(x,y)

end

end；

步驟三，利用matlab商業(yè)數(shù)學軟件自帶的快速傅立葉變換函數(shù)對圖像進行傅立葉變換，公式如下：

步驟四，獲得圖像的分數(shù)階微分；由于數(shù)字圖像為離散信號，其微分只能用差分來近似，圖像中，某一點對x的一階偏導數(shù)可以寫成差分形式；

計算圖像的分數(shù)階微分的計算過程如下：

由分數(shù)階導數(shù)的表達式可以發(fā)現(xiàn)，分數(shù)階導數(shù)的展開形式比較復雜，因此本發(fā)明采用快速fourier變換的方法來避免繁瑣的展開計算，對上式兩邊同時進行fourier變換可得該點對x方向和y方向的α階導數(shù)的fourier變換：

其中p(m1)＝(1-exp(-j2πm1/n))^α，p(m2)＝(1-exp(-j2πm2/n))^α，p(mi)表示在頻域上對圖像的第i行或者第i列的微分算子；

圖像中，某一點對x方向的一階偏導數(shù)可以寫成差分形式：

相應(yīng)的，根據(jù)分數(shù)階導數(shù)的定義，某一點對x方向的α階導數(shù)可以表示為：

對上式兩邊同時進行傅立葉變換可得該點對x方向和y方向的α階導數(shù)的傅立葉變換，公式如下：

其中p(m1)＝(1-exp(-j2πm1/n))^α，p(m2)＝(1-exp(-j2πm2/n))^α；

步驟五，獲得圖像分數(shù)階梯度的模，計算過程如下：

將步驟四中頻域上分數(shù)階微分進行傅立葉反變換，得到空間域上的圖像的分數(shù)階微分，并將參數(shù)α換為擴散函數(shù)的參數(shù)β，

根據(jù)梯度的模的計算公式得到分數(shù)階梯度的模：

步驟六，根據(jù)步驟五中求得的分數(shù)階梯度的模計算擴散函數(shù)：

g(x)＝1/(1+x²)，

步驟七，計算微分算子的共軛算子，計算過程如下：

p^*(m1)＝conj((1-exp(-j2πm1/n))^α)，

輸出一次迭代求解的結(jié)果：

其中：

步驟九，將步驟八中所得結(jié)果進行傅立葉反變換，步驟十，將uⁿ⁺¹還原到原圖像大小，計算過程如下：

forx＝1:m

fory＝1:n

end

end；

步驟十一，利用下式計算所得結(jié)果與原圖像進行峰值信噪比計算，判斷是否滿足終止條件；

其中f為無噪聲圖像，u為一次迭代還原后的圖像，若符合終止條件：δpsnr≤ε，其中，δpsnr表示兩次迭代結(jié)果的峰值信噪比的變化絕對值，ε取0.01，則執(zhí)行步驟十三；若δpsnr＞ε，則執(zhí)行步驟十二；

步驟十二，重新迭代求解，將上一次的迭代結(jié)果作為下一次迭代的輸入，繼續(xù)執(zhí)行步驟四至步驟十一；

步驟十三，輸出還原后的結(jié)果則為最優(yōu)的去噪圖像。

本發(fā)明采用的軟件是matlab；本發(fā)明需要的最低配置的處理器為：i3-2100處理器；本發(fā)明需要的最低內(nèi)存是1gbram。

本發(fā)明的效果可以通過以下仿真實驗進一步說明；

1.實驗條件：

本發(fā)明的實驗仿真環(huán)境為：

軟件：matlabr2015a

處理器：intel(r)core(tm)i5-6500cpu@3.20ghz

內(nèi)存：16gbram

本發(fā)明的實驗所用到的圖像來源于標準圖像庫。

2.實驗內(nèi)容：

本發(fā)明的實驗具體分為三個實驗。

實驗一：利用本發(fā)明對含有標準差δ＝25的噪聲的lena圖像進行去噪，結(jié)果如圖2所示。

實驗二：利用本發(fā)明對含有標準差δ＝25的噪聲的barbara圖像進行去噪，結(jié)果如圖3所示。

實驗三：利用本發(fā)明對含有標準差δ＝25的噪聲的boat圖像進行去噪，結(jié)果如圖4所示。

實驗中，使用峰值信噪比psnr評價指標來評價去噪結(jié)果的優(yōu)劣，其psnr定義為：

其中，f表示原始無噪聲圖像，u表示去噪后的圖像，圖像大小為nxn。

在添加δ＝15,20,25不同噪聲的情況下，將本發(fā)明與現(xiàn)有的基于偏微分方程的方法進行對比，結(jié)果如表1所示：

表1添加不同噪聲時本方法與其他方法去噪效果對比結(jié)果

3.實驗結(jié)果分析

從表1的實驗數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，本發(fā)明與其他方法相比，psnr有了明顯的提升，主要原因是擴散函數(shù)g(x)在去噪過程中起了極為重要的最用，檢測邊緣區(qū)分圖像的紋理區(qū)域和平坦區(qū)域，傳統(tǒng)方法中用|▽u|作為邊緣檢測算子，但由于受噪聲的影響會產(chǎn)生很多虛假邊緣，而分數(shù)階導數(shù)的非局部性可以減弱噪聲的影響，即|d^βu|比|▽u|在噪聲干擾的情況下具有更好的邊緣檢測準確度。另外，分數(shù)階微分的非局部性也有效地抑制了階梯效應(yīng)，去噪之后圖像的視覺效果也有所提升。

本發(fā)明提供一種基于分數(shù)階偏微分方程的各向異性擴散的圖像還原方法，本發(fā)明根據(jù)分數(shù)階導數(shù)的非局部性質(zhì)，在檢測邊緣時能夠減弱噪聲的干擾，結(jié)合偏微分方程得到一種基于分數(shù)階偏微分方程的圖像去噪方法，能夠在去噪的同時盡可能地保留原圖像的紋理細節(jié)。在求解的過程中采用了快速fourier變換的方法，避免了復雜的分數(shù)階導數(shù)展開運算的同時加快了求解速度。本發(fā)明將擴散函數(shù)的變量單獨設(shè)定了分數(shù)階導數(shù)，對于不同的圖像變化微分階數(shù)可以獲得較好的去噪效果，并且收斂速度也較快，所需的迭代次數(shù)較少。

以上顯示和描述了本發(fā)明的基本原理、主要特征和優(yōu)點。本行業(yè)的技術(shù)人員應(yīng)該了解，上述實施例不以任何形式限制本發(fā)明，凡采用等同替換或等效變換的方式所獲得的技術(shù)方案，均落在本發(fā)明的保護范圍內(nèi)。