本發(fā)明屬于工程結(jié)構(gòu)分析中的智能計(jì)算技術(shù)領(lǐng)域，尤其涉及一種多重定積分求解的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算方法。

背景技術(shù)：

在結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算、動(dòng)力學(xué)分析、現(xiàn)代控制工程等研究領(lǐng)域中經(jīng)常會(huì)遇到計(jì)算積分值的問題。由于通常無法找到解析解或被積函數(shù)只能以數(shù)據(jù)的形式給出，要面臨數(shù)值積分的問題。目前已有newton-cotes法、romberg方法、gauss法等數(shù)值積分計(jì)算方法，但是對于積分區(qū)域不規(guī)則的多維積分問題，利用上述方法將難以給出有效的解答。針對此問題人們提出了基于montecarlo法的積分計(jì)算方法。通過大量的計(jì)算和統(tǒng)計(jì)分析可以獲得高精度的計(jì)算結(jié)果，但是計(jì)算量大是制約該方法發(fā)展與實(shí)際應(yīng)用的主要問題。文獻(xiàn)[1]提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算方法。其基本思想是訓(xùn)練傅立葉基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來逼近被積函數(shù)，再對所得傅立葉基函數(shù)進(jìn)行積分以實(shí)現(xiàn)定積分問題的數(shù)值計(jì)算。算例仿真表明了該法的有效性，但是該方法沒有在求解多重定積分問題上取得進(jìn)展。文獻(xiàn)[2]給出了一種基于對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的積分計(jì)算方法。該方法成功解決了一重定積分和積分域?yàn)槌⒎襟w的多重定積分的計(jì)算問題，但是對于任意積分域的多重定積分問題卻沒有有效的解決方案。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的發(fā)明目的是：針對上述問題，將在文獻(xiàn)[2]給出方法的基礎(chǔ)上，提出一種通過反復(fù)使用一重對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法進(jìn)行求解以達(dá)到對任意積分域多重定積分的求解。

本發(fā)明的技術(shù)方案是：一種求解多重定積分的對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，包括以下步驟：

s1首先給出一重積分對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法。

一個(gè)對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包括a、b共2個(gè)前向型bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。其中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)a用于學(xué)習(xí)積分算式中的被積函數(shù)，另一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)b，會(huì)通過與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)a在權(quán)值和激活函數(shù)上的特定聯(lián)系，由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)a來確定，用于構(gòu)建積分被積函數(shù)的原函數(shù)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)b的結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示，網(wǎng)絡(luò)輸出與輸入變量間的函數(shù)關(guān)系如式(1)。

圖1中的g(x)為網(wǎng)絡(luò)的隱層單元激活函數(shù)。

將式(1)寫成更一般的函數(shù)形式y(tǒng)＝netb(x1，x2，…，xn)。

對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的另一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)a的結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示，其網(wǎng)絡(luò)輸出與輸入變量間的函數(shù)關(guān)系可寫為式(2)。

圖2中的h(x)為隱層單元激活函數(shù)。

將上述式(2)寫成一般函數(shù)形式為y＝neta(x1，x2，…，xn)。上述neta(x1，x2，…，xn)、netb(x1，x2，…，xn)均為具有n個(gè)自變量的多元函數(shù)。

以下給出證明，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值系數(shù)、激活函數(shù)滿足式(3)時(shí)，對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)a和b的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)關(guān)系為積分被積函數(shù)與積分原函數(shù)關(guān)系。

將式(3)帶入式(4)可得：

根據(jù)牛頓-萊布尼茲公式定義可知，函數(shù)netb(x1，x2，…，xn)是函數(shù)neta(x1，x2，…，xn)的原函數(shù)，即有下式成立。

稱神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)a與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)b為一對對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，簡稱對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

其中，

表1給出了在對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)a、b中滿足條件式(3)的隱層單元激活函數(shù)。

表1對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)激活函數(shù)表

s2、利用一重積分對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法給出任意積分上、下限多重定積分計(jì)算方法。

s21、首先構(gòu)建一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)a1用于學(xué)習(xí)被積函數(shù)f(x1，x2，…，xn)，利用對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法得到另一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)b1，用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)b1的輸入輸出函數(shù)關(guān)系netb1(x1，x2，…，xn)來近似被積函數(shù)f(x1，x2，…，xn)的原函數(shù)f(x1，x2，…，xn)，即可實(shí)現(xiàn)對x1變量的不定積分；

s22、在網(wǎng)絡(luò)b1的輸入輸出函數(shù)關(guān)系netb1(x1，x2，…，xn)的變量x1處代入積分上下限b1(x2，…，xn)和a1(x2，…，xn)形成一個(gè)新的被積函數(shù)netb1(b1(x2，…，xn)，x2，…，xn)-netb1(a1(x2，…，xn)，x2，…，xn)，然后利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)a2學(xué)習(xí)上述新得到的被積函數(shù)，再利用對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法構(gòu)建其原函數(shù)netb2(x2，x3，…，xn)；

s23、以此類推，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)ai用于學(xué)習(xí)被積函數(shù)netbi-1(bi(xi，…，xn)，xi，…，xn)-netbi-1(ai(xi，…，xn)，xi，…，xn)，另一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)bi用來構(gòu)建被積函數(shù)的原函數(shù)，直到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)an用于學(xué)習(xí)被積函數(shù)netbn-1(bn(xn)，xn)-netbn-1(an(xn)，xn)，另一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)bn用來構(gòu)建被積函數(shù)的原函數(shù)netbn(xn)，根據(jù)定積分計(jì)算原理，netbn(bn)-netbn(an)即為定積分問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解。

本發(fā)明的優(yōu)點(diǎn)是：本發(fā)明的一種求解多重定積分的對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，利用一種新穎的求解被積函數(shù)原函數(shù)的對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算原理，給出了任意積分上下限的多重定積分的數(shù)值計(jì)算，實(shí)現(xiàn)了多重定積分的高精度求解。本發(fā)明方法是一種不受積分重?cái)?shù)限制的數(shù)值積分算法。

附圖說明

圖1是對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中用于構(gòu)造被積函數(shù)原函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)b的結(jié)構(gòu)框圖

圖2是對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中用于學(xué)習(xí)被積函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)a的結(jié)構(gòu)框圖

圖3是求解多重定積分的對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法計(jì)算流程圖

具體實(shí)施方式

為了說明本發(fā)明的計(jì)算效果，下面以兩個(gè)算例加以示范。

算例1

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的累計(jì)分布函數(shù)的計(jì)算

通過本算例，一方面進(jìn)一步驗(yàn)證本發(fā)明的有效性，另外想說明本發(fā)明可以同時(shí)計(jì)算出積分區(qū)域內(nèi)任意積分區(qū)間的積分值。

本算例以dlogsig()/logsig()為激活函數(shù)對，隱層單元個(gè)數(shù)設(shè)定為20。考慮到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)在[-55]以外區(qū)域的總概率不足1e-6，可以將[-55]設(shè)為整個(gè)積分域，等間距劃分100等份，構(gòu)造正態(tài)分布概率密度函數(shù)的樣本點(diǎn)集，以此訓(xùn)練被積函數(shù)網(wǎng)絡(luò)a，網(wǎng)絡(luò)均方誤差設(shè)定為mse＝1e-12，最大訓(xùn)練步數(shù)設(shè)為2000，待網(wǎng)絡(luò)收斂后，利用被積函數(shù)原函數(shù)網(wǎng)絡(luò)b計(jì)算x取0～4內(nèi)40個(gè)等分點(diǎn)上的分布函數(shù)值，計(jì)算結(jié)果列于表1。計(jì)算結(jié)果表明，在給定點(diǎn)上的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算值與理論值在小數(shù)點(diǎn)后4位均相等。同時(shí)可以看出，對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，可以通過一次訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)，可以實(shí)現(xiàn)對積分區(qū)域內(nèi)任意積分區(qū)間的高精度求解，體現(xiàn)了本方法的高效性。

表1

算例2

本例主要說明對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法在多重積分計(jì)算中的應(yīng)用示范以及考察其求解精度。首先，在x＝1、x＝2、y＝1、y＝2圍成的區(qū)域內(nèi)構(gòu)建樣本數(shù)據(jù)集。具體為，分別在x∈[12]、y∈[12]區(qū)間上n等分，將數(shù)據(jù)交叉構(gòu)成(n+1)×(n+1)個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)作為網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本集合的輸入數(shù)據(jù)(xi，yj)(i，j＝1，2，...21)，對應(yīng)的ti，j＝xixj作為網(wǎng)絡(luò)輸出的樣本集合。其次確定對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)。由問題可知網(wǎng)絡(luò)的輸入為2個(gè)單元、網(wǎng)絡(luò)輸出為1個(gè)單元，單隱層單元個(gè)數(shù)初步定為30，網(wǎng)絡(luò)隱層單元的激活函數(shù)選為dlogsig()/logsig()。然后利用樣本點(diǎn)集合，按照圖3所示計(jì)算流程進(jìn)行求解計(jì)算。網(wǎng)絡(luò)誤差分別取不同的值mse＝1e-8、1e-6，等分?jǐn)?shù)n分別取100、50、20、10、5時(shí)，將得到的計(jì)算結(jié)果列于表2。其中，由于mse＝1e-8時(shí)，除n＝5時(shí)，計(jì)算誤差較大以外，其它情況下的計(jì)算結(jié)果與理論解一致。而當(dāng)mse＝1e-6時(shí)即使取相對較密的網(wǎng)格構(gòu)造樣本集合，由于網(wǎng)絡(luò)誤差取值較大而會(huì)出現(xiàn)較大的計(jì)算誤差，此時(shí)隨著n的取值減小誤差會(huì)進(jìn)一步增大，故在表2中沒有列出。通過上述分析可知，較高誤差設(shè)定以及相對較密的網(wǎng)格樣本點(diǎn)可以得到精確的計(jì)算結(jié)果。而網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練誤差較大時(shí)，將導(dǎo)致對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算結(jié)果會(huì)出現(xiàn)較大計(jì)算誤差。

表2

參考文獻(xiàn)

[1]徐理英，李立軍.數(shù)值積分的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法研究.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2008，20(7)：1922～1924.

[2]haibinli，yunhe，xiaobonie.structuralreliabilitycalculationmethodbasedonthedualneuralnetworkanddirectintegrationmethod[j].neuralcomput&applic.2017，doi10.1007/s00521-016-2554-7.