本發(fā)明屬于機(jī)械系統(tǒng)可靠性工程技術(shù)領(lǐng)域，涉及一種內(nèi)嚙合齒輪軸減速器輪齒損傷故障的非線性動(dòng)力學(xué)建模方法。

背景技術(shù)：

內(nèi)嚙合齒輪軸減速器具有結(jié)構(gòu)緊湊、性能穩(wěn)定和工作高效的優(yōu)點(diǎn)，在民用、工業(yè)、航空和航天領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛，故對(duì)其工作機(jī)理的理論研究具有重要意義。減速器齒輪副工作時(shí)，即便是正常狀態(tài)，由于齒面摩擦、齒側(cè)間隙以及時(shí)變嚙合剛度的影響，齒輪振動(dòng)表現(xiàn)出很強(qiáng)的非線性特征。

為實(shí)現(xiàn)高精度、低噪聲、低振動(dòng)以及提高齒輪傳動(dòng)可控性的目標(biāo)，研究人員在齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)問題上面投入了大量的時(shí)間和精力。輪齒的齒面點(diǎn)蝕、剝落和斷齒等損傷是齒輪減速器的常見故障形式，故障的發(fā)生發(fā)展嚴(yán)重影響減速器的可靠性指標(biāo)，甚至造成嚴(yán)重的財(cái)產(chǎn)和生命安全損失，其發(fā)生和發(fā)展機(jī)理一直是科技工作人員研究的重點(diǎn)。

內(nèi)嚙合齒輪軸減速器輪齒故障的非線性動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)齒輪減速器的理論和應(yīng)用研究具有重要價(jià)值。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明為了揭示內(nèi)嚙合齒輪軸減速器的輪齒損傷故障發(fā)生發(fā)展機(jī)理的理論，通過研究減速器的齒面摩擦阻尼、齒側(cè)間隙、時(shí)變嚙合剛度對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性的影響，建立了包含齒面摩擦、非線性齒側(cè)間隙函數(shù)和時(shí)變嚙合剛度、輪齒損傷因子和嚙合粘滯阻尼的內(nèi)嚙合齒輪軸減速器動(dòng)力學(xué)模型，具體是一種內(nèi)嚙合齒輪軸減速器輪齒損傷故障的非線性動(dòng)力學(xué)建模方法。

具體步驟如下：

步驟一、針對(duì)某個(gè)內(nèi)嚙合齒輪軸減速器，設(shè)定對(duì)該減速器進(jìn)行建模的條件；

(1)該減速器的內(nèi)齒輪和外齒輪均為漸開線直齒圓柱齒輪；

(2)輪齒故障是指減速器齒輪的齒面點(diǎn)蝕、剝落和斷齒等損傷故障形式；

(3)兩齒輪齒坯視為剛體，減速器的輸入和輸出軸視為剛體；兩齒輪軸的支撐剛度足夠大，不考慮支撐的彈性變形；

(4)減速器中各零部件均不受軸向力，振動(dòng)矢量存在垂直于軸線的平面；

(5)主動(dòng)輪(外齒輪)、從動(dòng)輪(內(nèi)齒輪)的輪齒做懸臂梁考慮，存在輪齒沿嚙合線的相對(duì)滑動(dòng)位移；

(6)輪系中齒輪按照標(biāo)準(zhǔn)中心距安裝，齒輪節(jié)圓與分度圓重合；

(7)不計(jì)入零件加工誤差與安裝誤差。

步驟二、針對(duì)該內(nèi)嚙合齒輪軸減速器，利用齒輪角位移確定齒輪副嚙合線上的相對(duì)線位移；

其中：x是內(nèi)齒輪嚙合副上沿嚙合線的相對(duì)線位移；y是外齒輪嚙合副上沿嚙合線的相對(duì)線位移；r1是外齒輪的分度圓半徑；r2是內(nèi)齒輪的分度圓半徑；θ1是外齒輪的扭轉(zhuǎn)角位移；θ2是內(nèi)齒輪的扭轉(zhuǎn)角位移；t是時(shí)間變量；e(t)是齒輪副的靜態(tài)傳動(dòng)誤差，e(t)＝easinωmt，ea為誤差幅值，ωm為嚙合齒頻。

步驟三、根據(jù)內(nèi)齒輪嚙合副上沿嚙合線的相對(duì)線位移確定非線性的齒側(cè)間隙函數(shù)；

式中，b為齒側(cè)間隙常數(shù)。

步驟四、采用傅里葉級(jí)數(shù)逼近健康狀態(tài)下齒輪副的時(shí)變嚙合剛度函數(shù)km(t)；

其中，kav是齒輪副平均嚙合剛度，ka是剛度變化幅值；n取整數(shù)值。

步驟五、采用傅里葉級(jí)數(shù)逼近單個(gè)斷齒故障處的輪齒時(shí)變嚙合剛度函數(shù)k(t)

kaf是斷齒處單齒嚙合剛度變化的峰峰值，z1為外齒輪亦即主動(dòng)輪的齒數(shù)；ω1是外齒輪的名義角速度；

步驟六、利用健康狀態(tài)齒輪副的時(shí)變嚙合剛度與單一斷齒故障狀態(tài)的輪齒時(shí)變剛度做差，并結(jié)合輪齒損傷因子，對(duì)輪齒損傷故障時(shí)變嚙合剛度建模；

其中，kmf(t)是含有輪齒損傷故障的齒輪副時(shí)變嚙合剛度；

ε為齒輪齒面損傷因子；ε∈[0,1]，定義如下：

步驟七、利用該減速器的齒側(cè)間隙函數(shù)，結(jié)合輪齒損傷故障時(shí)變嚙合剛度建模，采用lagrange方法，建立齒輪副的非線性動(dòng)力學(xué)方程；

齒輪副的非線性動(dòng)力學(xué)方程包括內(nèi)嚙合齒輪副的輸入矩陣t1和輸出矩陣t2；

其中：i1是外齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；i2是內(nèi)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；是外齒輪的瞬時(shí)角加速度；是內(nèi)齒輪的瞬時(shí)角加速度；cm是嚙合粘滯阻尼系數(shù)；l1是外齒輪的嚙合摩擦阻尼力的力臂；l2是內(nèi)齒輪的嚙合摩擦阻尼力的力臂；λ是摩擦力方向系數(shù)，ω2是內(nèi)齒輪的名義角速度；是外齒輪的瞬時(shí)角速度；是內(nèi)齒輪的瞬時(shí)角速度；μ是齒面動(dòng)摩擦系數(shù)；

步驟八、對(duì)齒輪副的非線性動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行線性變換和無量綱化處理，得到最終計(jì)入摩擦和齒側(cè)間隙的輪齒損傷故障狀態(tài)下內(nèi)嚙合齒輪副無量綱非線性動(dòng)力學(xué)模型；

模型如下：

τ＝ωet；ωe是齒輪副當(dāng)量固有頻率，me是齒輪副當(dāng)量質(zhì)量，m1是外齒輪的質(zhì)量，m2是內(nèi)齒輪的質(zhì)量；

ea是輪齒綜合誤差變化的幅值，是常數(shù)；

本發(fā)明的優(yōu)點(diǎn)在于：

(1)一種內(nèi)嚙合齒輪軸減速器輪齒損傷故障的非線性動(dòng)力學(xué)建模方法，基于lagrange方法建立了內(nèi)嚙合齒輪副的非線性動(dòng)力學(xué)模型，本模型的通用性很好，可以做任意工況下的內(nèi)嚙合齒輪副的動(dòng)力學(xué)數(shù)值仿真。

(2)一種內(nèi)嚙合齒輪軸減速器輪齒損傷故障的非線性動(dòng)力學(xué)建模方法，引入輪齒損傷因子ε，可以對(duì)輪齒故障任意損傷程度的內(nèi)嚙合減速的振動(dòng)信號(hào)輸出進(jìn)行數(shù)值模擬。

(3)一種內(nèi)嚙合齒輪軸減速器輪齒損傷故障的非線性動(dòng)力學(xué)建模方法，模型中計(jì)入了摩擦阻尼效應(yīng)、非線性齒側(cè)間隙函數(shù)、時(shí)變嚙合剛度等內(nèi)部參數(shù)激勵(lì)，數(shù)值仿真精度高，模型輸出的齒輪減速器系統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)仿真程度高，非線性動(dòng)力學(xué)特性明顯。

附圖說明

圖1是本發(fā)明采用的內(nèi)嚙合齒輪軸減速器的結(jié)構(gòu)示意圖；

圖2是本發(fā)明內(nèi)嚙合齒輪軸減速器輪齒故障非線性動(dòng)力學(xué)模型原理示意圖；

圖3是本發(fā)明帶有輪齒損傷故障的齒輪副時(shí)變嚙合剛度波形示意圖；

圖4是本發(fā)明內(nèi)嚙合齒輪軸減速器輪齒損傷故障的非線性動(dòng)力學(xué)建模方法流程圖；

圖5是本發(fā)明內(nèi)嚙合齒輪軸減速器輪齒健康狀態(tài)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的相跡圖；

圖6是本發(fā)明本發(fā)明內(nèi)嚙合齒輪軸減速器輪齒健康狀態(tài)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的時(shí)域圖；

圖7是本發(fā)明內(nèi)嚙合齒輪軸減速器輪齒健康狀態(tài)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的頻域圖；

圖8是本發(fā)明內(nèi)嚙合齒輪軸減速器輪齒輕微故障狀態(tài)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的相跡圖；

圖9是本發(fā)明內(nèi)嚙合齒輪軸減速器輪齒輕微故障狀態(tài)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的時(shí)域圖；

圖10是本發(fā)明內(nèi)嚙合齒輪軸減速器輪齒輕微故障狀態(tài)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的頻域圖；

圖11是本發(fā)明內(nèi)嚙合齒輪軸減速器斷齒狀態(tài)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的相跡圖；

圖12是本發(fā)明內(nèi)嚙合齒輪軸減速器斷齒狀態(tài)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的時(shí)域圖；

圖13是本發(fā)明內(nèi)嚙合齒輪軸減速器斷齒狀態(tài)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的頻域圖。

具體實(shí)施方式

下面將結(jié)合附圖和實(shí)施例對(duì)本發(fā)明作進(jìn)一步的詳細(xì)說明。

本發(fā)明設(shè)計(jì)了一種包含齒面摩擦、非線性齒側(cè)間隙函數(shù)、輪齒時(shí)變嚙合剛度、輪齒損傷因子和嚙合粘滯阻尼等因素的內(nèi)嚙合齒輪軸減速器的非線性動(dòng)力學(xué)模型，針對(duì)的對(duì)象是某型內(nèi)嚙合齒輪軸減速器，基于lagrange方法，提出了計(jì)入摩擦和齒側(cè)間隙的內(nèi)嚙合齒輪軸減速器輪齒損傷故障的非線性動(dòng)力學(xué)建模方法。

如圖1所示，為本實(shí)施例采用的某型內(nèi)嚙合齒輪軸減速器結(jié)構(gòu)；建立的計(jì)入摩擦和齒側(cè)間隙的輪齒損傷故障非線性動(dòng)力學(xué)模型原理圖如圖2所示，

模型過程中用到的符號(hào)如表1所示：

表1

具體建模步驟如圖4所示，包括如下：

步驟一、針對(duì)某個(gè)內(nèi)嚙合齒輪軸減速器，設(shè)定對(duì)該減速器進(jìn)行建模的條件；

(1)該減速器的內(nèi)齒輪和外齒輪均為漸開線直齒圓柱齒輪；

(2)輪齒故障是指減速器齒輪的齒面點(diǎn)蝕、剝落和斷齒等損傷故障形式；

(3)兩齒輪齒坯視為剛體，減速器的輸入和輸出軸視為剛性體；兩齒輪軸的支撐剛度足夠大，不考慮支撐的彈性變形；

(4)減速器中各零部件均不受軸向力，振動(dòng)矢量存在垂直于軸線的平面；

(5)主動(dòng)輪(外齒輪)、從動(dòng)輪(內(nèi)齒輪)的輪齒做懸臂梁考慮，存在輪齒沿嚙合線的相對(duì)滑動(dòng)位移；

(6)輪系中齒輪按照標(biāo)準(zhǔn)中心距安裝，齒輪節(jié)圓與分度圓重合；

(7)不計(jì)入零件加工誤差與安裝誤差。

步驟二、針對(duì)該內(nèi)嚙合齒輪軸減速器，利用齒輪角位移確定齒輪副嚙合線上的相對(duì)線位移；

表示內(nèi)嚙合齒輪副的嚙合線如圖2中的n1n2；

其中：x是內(nèi)齒輪嚙合副上沿嚙合線的相對(duì)線位移；y是外齒輪嚙合副上沿嚙合線的相對(duì)線位移；r1是外齒輪的分度圓半徑，是常值；r2是內(nèi)齒輪的分度圓半徑，是常值；θ1是外齒輪的瞬時(shí)角位移，是關(guān)于t的函數(shù)；θ2是內(nèi)齒輪的瞬時(shí)角位移，是關(guān)于t的函數(shù)；t是時(shí)間變量；e(t)是齒輪副的靜態(tài)傳動(dòng)誤差，e(t)＝easinωmt，ea為誤差幅值，ωm為嚙合齒頻。

步驟三、根據(jù)內(nèi)齒輪嚙合副上沿嚙合線的相對(duì)線位移確定非線性的齒側(cè)間隙函數(shù)；

式中，b為齒側(cè)間隙常數(shù)。

步驟四、采用傅里葉級(jí)數(shù)逼近健康狀態(tài)下齒輪副的時(shí)變嚙合剛度函數(shù)km(t)；

其中，kav是齒輪副平均嚙合剛度，ka是剛度變化幅值；n取整數(shù)值。

如圖3a所示，正常狀態(tài)齒輪嚙合剛度，嚙合周期t0下，嚙合剛度變化的峰峰值ka；嚙合剛度變化的平均值為kav；

步驟五、采用傅里葉級(jí)數(shù)逼近單個(gè)斷齒故障處的輪齒時(shí)變嚙合剛度函數(shù)k(t)

kaf是斷齒處單齒嚙合剛度變化的峰峰值，z1為外齒輪也是主動(dòng)輪的齒數(shù)，為常值；ω1是外齒輪的名義角速度，為常值；

如圖3b所示，齒面單一斷齒故障時(shí)的嚙合剛度，旋轉(zhuǎn)周期tz下，z1為主動(dòng)齒輪的齒數(shù)；斷齒嚙合剛度變化的平均值為kav1；

步驟六、利用健康狀態(tài)齒輪副時(shí)變嚙合剛度與單一斷齒故障狀態(tài)的輪齒時(shí)變剛度做差，并結(jié)合輪齒損傷因子，對(duì)輪齒損傷故障時(shí)變嚙合剛度建模；

其中，kmf(t)是含有輪齒損傷故障的齒輪副時(shí)變嚙合剛度；

ε為齒輪齒面損傷因子；ε∈[0,1]，定義如下：

如圖3c所示，斷齒處單齒嚙合剛度變化的峰峰值kavf＝kav-kav1。

步驟七、利用該減速器的齒側(cè)間隙函數(shù)，結(jié)合輪齒損傷故障時(shí)變嚙合剛度建模，采用lagrange方法，建立齒輪副的非線性動(dòng)力學(xué)方程；

齒輪副的非線性動(dòng)力學(xué)方程包括內(nèi)嚙合齒輪副的輸入矩陣t1和輸出矩陣t2；輸入矩陣也是驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩用；輸出矩陣也是負(fù)載轉(zhuǎn)矩用；

其中：i1是外齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為常值；i2是內(nèi)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為常值；是外齒輪的瞬時(shí)角加速度；是內(nèi)齒輪的瞬時(shí)角加速度；cm是嚙合粘滯阻尼系數(shù)；l1是外齒輪的嚙合摩擦阻尼力的力臂，為常值；l2是內(nèi)齒輪的嚙合摩擦阻尼力的力臂，為常值；λ是摩擦力方向系數(shù)，ω2是內(nèi)齒輪的名義角速度；是外齒輪的瞬時(shí)角速度，是t的函數(shù)；是內(nèi)齒輪的瞬時(shí)角速度，是t的函數(shù)；μ是齒面動(dòng)摩擦系數(shù)；

步驟八、對(duì)齒輪副的非線性動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行線性變換和無量綱化處理，得到最終計(jì)入摩擦和齒側(cè)間隙的輪齒損傷故障狀態(tài)下內(nèi)嚙合齒輪副無量綱非線性動(dòng)力學(xué)模型；

無量綱化過程常用到的代數(shù)表示包括τ、ζ1、ζ2、k2、fav、fe；符號(hào)和參數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如表2所示；

表2

模型如下：

τ＝ωet；ωe是齒輪副當(dāng)量固有頻率，me是齒輪副當(dāng)量質(zhì)量，m1是外齒輪的質(zhì)量，m2是內(nèi)齒輪的質(zhì)量；

ea是輪齒綜合誤差變化的幅值，是常數(shù)；

實(shí)施例

對(duì)某型帶有輪齒損傷故障的內(nèi)嚙合齒輪軸減速器進(jìn)行了建模仿真試驗(yàn)，得到了其純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的仿真結(jié)果，獲得了傳動(dòng)系統(tǒng)的相跡圖、時(shí)域圖和頻域圖，并據(jù)此研究了摩擦和嚙合剛度對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響。根據(jù)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)曲線，提取到了故障的特征值并描繪出特征值曲線。仿真實(shí)例的參數(shù)如下表所示。

內(nèi)嚙合齒輪減速器仿真實(shí)例參數(shù)取值表

在實(shí)際仿真過程中，輪齒損傷因子ε分別取值0/0.2/1，模擬輪齒正常狀態(tài)/齒面輕微損傷/輪齒折斷共3種健康/故障狀態(tài)；得到了3種狀態(tài)下內(nèi)嚙合齒輪減速器振動(dòng)的相跡、時(shí)域和頻域曲線，較好地反映的各狀態(tài)下的振動(dòng)特性。

1)ε＝0時(shí)正常齒輪振動(dòng)

ε＝0時(shí)，輪齒健康狀態(tài)良好，齒輪副無齒面損傷故障，此時(shí)齒輪振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相跡如圖5所示，由健康狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)曲線圖中可以看出，正常齒輪振動(dòng)時(shí)，如圖6所示，時(shí)域曲線平穩(wěn)嚙合周期為20，頻域圖如圖7所示，只有嚙合頻率0.048及其高次倍頻，沒有邊頻帶，相跡周期運(yùn)動(dòng)。

2)ε＝0.2齒面輕微損傷

ε＝0.2時(shí)，即表示輪齒早期裂紋、點(diǎn)蝕和剝落等輕微故障，此時(shí)齒輪系統(tǒng)的數(shù)值求解曲線中表現(xiàn)出齒輪齒面輕微故障穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，其相跡如圖8所示。由輕微故障狀態(tài)下的穩(wěn)態(tài)曲線圖中可以看出齒輪點(diǎn)蝕振動(dòng)時(shí)，時(shí)域圖如圖9所示，時(shí)域曲線出現(xiàn)低頻波動(dòng)，頻域圖如圖10所示，有嚙合頻率0.111及其高次倍頻，嚙合頻率處出現(xiàn)輕微邊頻帶，邊頻帶間隔為轉(zhuǎn)頻0.008，相跡周期運(yùn)動(dòng)。

3)ε＝1斷齒故障

ε＝1時(shí)，表示有齒輪系統(tǒng)中存在斷齒故障。此時(shí)齒輪系統(tǒng)的數(shù)值求解曲線中表現(xiàn)出斷齒故障狀態(tài)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。其相跡如圖11所示，由斷齒狀態(tài)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線可以看出，齒輪斷齒振動(dòng)時(shí)，時(shí)域曲線如圖12所示，時(shí)域曲線出現(xiàn)明顯沖擊調(diào)制現(xiàn)象，周期即為旋轉(zhuǎn)周期，頻域曲線如圖13所示，頻域圖中有嚙合頻率0.111及其高次倍頻，嚙合頻率處出現(xiàn)明顯的邊頻帶，邊頻帶間隔為轉(zhuǎn)頻0.2586，相跡周期運(yùn)動(dòng)不明顯。