本發(fā)明涉及超大規(guī)模集成電路(vlsi)物理設(shè)計自動化技術(shù)領(lǐng)域，特別是涉及一種用于混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元電路設(shè)計的合法化方法。

背景技術(shù)：

隨著現(xiàn)代電路設(shè)計的日益復(fù)雜，標(biāo)準(zhǔn)單元通常根據(jù)面積、功率和速度等特性產(chǎn)生不同的單元高度。例如，更高的單元能夠給予更大的驅(qū)動力和更好的可布通性，以此同時需要更大的面積和功率成本。反之，較矮的單元的驅(qū)動力和可布通性較差，但所需要耗費(fèi)的面積和功率成本較小。因此，為了滿足各種各樣的電路設(shè)計要求，混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元的電路變得越來越流行，簡單的標(biāo)準(zhǔn)單元被設(shè)計為單倍行高的結(jié)構(gòu)，而復(fù)雜的標(biāo)準(zhǔn)單元被設(shè)計為多倍行高的結(jié)構(gòu)。

一個現(xiàn)代的布局流程通常包括三個主要階段：(1)全局布局：允許單元之間有少量重疊，通過求解最小化線長及滿足一定約束的布局問題來產(chǎn)生單元的最佳位置；(2)合法化：將單元對齊到行上，并消除全局布局之后遺留的重疊，目標(biāo)是最小化單元的移動量(或線長增加)；(3)詳細(xì)布局：在合法化的基礎(chǔ)上局部移動部分單元，進(jìn)一步改善結(jié)果。由于異構(gòu)的單元結(jié)構(gòu)(較大的解空間)和額外的電源軌道的限制，多倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元布局設(shè)計產(chǎn)生了具有挑戰(zhàn)性的問題，特別是混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元的合法化問題。

一般的混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元的合法化問題是np-難問題，因為它本質(zhì)上是一個strippacking問題。tetris和abacus是用來解決傳統(tǒng)的單倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元最流行的合法化方法；然而，現(xiàn)有的工作表明，直接修改這兩種方法不能有效的來處理混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元的合法化問題。在單倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元合法化中，單元的重疊在行與行之間是互相獨(dú)立的。但是，在混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元合法化中，單元的重疊在行與行之間是不獨(dú)立的，即在一行中移動單元可能會導(dǎo)致另一行的單元重疊。因此，在合法化多倍行高的標(biāo)準(zhǔn)單元時，需要考慮多個行之間是否會有單元重疊。

現(xiàn)有的混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元的合法化方法存在下列兩個問題：(1)均是用啟發(fā)式的方法逐個對單元進(jìn)行合法化，處理問題的角度過于局部；(2)缺乏理論依據(jù)，不能很好的保證合法化的質(zhì)量。因此，為了得到更好的合法化結(jié)果，從一個更加全局的角度來考慮該合法化問題，并設(shè)計相應(yīng)的有一定理論基礎(chǔ)的高效算法是值得考慮的。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

有鑒于此，本發(fā)明的目的是提供一種用于混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元電路設(shè)計的合法化方法，其基本思想是先將混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元的合法化問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的線性互補(bǔ)問題(lcp)，并使用基于模數(shù)的矩陣分裂迭代法(mmsim)來求解轉(zhuǎn)換后的lcp，該矩陣分解不僅滿足了mmsim收斂的要求，同時也大大加快了計算時間，從而快速地得到混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元合法化問題的最優(yōu)解或接近最優(yōu)的解。

本發(fā)明采用以下方案實現(xiàn)：一種用于混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元電路設(shè)計的合法化方法，該合法化方法首先把電路表示為超圖，并根據(jù)全局布局得到的單元位置順序并松弛布局區(qū)域的右邊界約束，將混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元的合法化問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的lcp；然后，對轉(zhuǎn)換后的lcp中的矩陣以適當(dāng)?shù)姆绞竭M(jìn)行分解，并使用mmsim來求解轉(zhuǎn)換后的lcp；最后，用類似tetris的分配方法來對單元進(jìn)行放置，得到一個高質(zhì)量的合法化結(jié)果，包括如下步驟：

步驟s1:把電路表示為超圖h＝{v,e}；

步驟s2:將單元對齊到最近且正確匹配電源軌道的行上；

步驟s3:對多倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元進(jìn)行預(yù)處理,并將混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元合法化問題用一個二次規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型表示；

步驟s4:將二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的線性互補(bǔ)問題lcp；

步驟s5:用基于模數(shù)的矩陣分裂迭代法mmsim來求解lcp；

步驟s6:對多倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元進(jìn)行復(fù)原；

步驟s7:用類似tetris的方法對單元進(jìn)行放置。

進(jìn)一步地，所述步驟s1的實現(xiàn)方式具體為：把電路表示為超圖模型h＝{v,e},其中，v＝{v1,v2,…,vn}表示電路元件的集合,e＝{e1,e2,…,en}表示線網(wǎng)集合；對于vlsi混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元合法化問題，布局區(qū)域是矩形薄板，它的左下角坐標(biāo)為(0,0)，右上角為(w,h)，對于單元vi(i＝1,2,…,n)，記wi為其寬度，hi為其高度，(xi,yi)為其左下角坐標(biāo)，(x’i,y’i)為其全局布局的左下角坐標(biāo)；同時在一個混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元的設(shè)計中，接電源線vdd和接地線vss在行間交錯排列，每個單元正確對齊，即單元的電源/接地引腳必須匹配相應(yīng)的行；對于一個奇數(shù)倍行高的標(biāo)準(zhǔn)單元，該對齊方式直接實現(xiàn)或通過垂直翻轉(zhuǎn)單元實現(xiàn)；對于偶數(shù)倍行高的標(biāo)準(zhǔn)單元，只能被對齊在一個適當(dāng)?shù)碾娫窜?，即只能直接實現(xiàn)來滿足電源軌道對齊的約束，而不能通過垂直翻轉(zhuǎn)單元實現(xiàn)。如附圖2所示，奇數(shù)倍行高的標(biāo)準(zhǔn)單元a和c可以放置到任何一行，直接或通過垂直翻轉(zhuǎn)單元來匹配正確的vdd/vss電源軌道。然而，偶數(shù)倍行高的標(biāo)準(zhǔn)單元b必須與同一類型的電源軌道對齊，因為單元b的頂部和底部都是要對齊vss的。如果單元b頂部和底部對齊到vdd線，那么該單元的放置是非法的,并且這種電源軌道不匹配并不能通過垂直翻轉(zhuǎn)單元來解決。

混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元合法化的目標(biāo)是將每個單元vi放置到坐標(biāo)(xi,yi)上，使得單元總位移量最小，并且滿足下列4個約束條件：(1)單元必須放置在芯片內(nèi)；(2)單元必須位于行上的placementsites；(3)單元之間必須沒有任何重疊；(4)單元必須與正確的電源軌道對齊，即優(yōu)化以下數(shù)學(xué)模型(1)：

進(jìn)一步地，所述步驟s2中，將單元對齊到最近且正確匹配電源軌道的行上，對于一個奇數(shù)倍行高的標(biāo)準(zhǔn)單元，它最近且正確的行是距離它的全局布局y’坐標(biāo)最近的行；而對于一個偶數(shù)倍行高的標(biāo)準(zhǔn)單元，它最近的正確的行是離全局布局y’坐標(biāo)最近并且要正確匹配電源軌道的行；如果所有的單元都被分配到最近且正確匹配電源軌道的行上了，則單元在y方向上的位移量最小，因此，假設(shè)每一行中的單元按全局布局的左下角坐標(biāo)x’排序，若在全局布局中，單元j位于單元l的右邊，則x’j≥x’l，那么，混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元的合法化的數(shù)學(xué)模型(1)松弛為以下數(shù)學(xué)模型(2)：

在上面的數(shù)學(xué)模型(2)中，因為多倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元占據(jù)多個行，所以多倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元會在約束中考慮多次；與此相反，單倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元只占用一行，所以單倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元在約束中最多會考慮兩次。

進(jìn)一步地，所述步驟s3中，為了保證mmsim求解混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元合法化問題的收斂性，將數(shù)學(xué)模型(2)所述的合法化問題轉(zhuǎn)化為以下數(shù)學(xué)模型(3)：

其中q是單位矩陣，p是一個向量，p的第i個分量pi＝-x’i，b是約束矩陣，并且b中每行只有兩個非零元素-1和1，它的行數(shù)是約束條件的個數(shù)，列數(shù)是變量的個數(shù)。矩陣e的定義如下，如果單元i是單倍行高的，本發(fā)明引入變量xi1來表示該單元；否則，將多倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元劃分成多個單倍行高的子單元，并用變量xi1,xi2,...,xid,來表示，其中d是子單元的個數(shù)；新的約束ex＝0確保每個多倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元的子單元坐標(biāo)是相等的。

對于數(shù)學(xué)模型(3)，本方明引入一個罰因子λ來將等式約束加到目標(biāo)函數(shù)中，則數(shù)學(xué)模型(3)可以被改寫為以下數(shù)學(xué)模型(4)：

數(shù)學(xué)模型(4)中罰因子λ影響多倍行高的標(biāo)準(zhǔn)單元所分成的子單元之間的距離，如果λ的值足夠大時，理論上一個多倍行高單元分成的子單元都會位于同一位置。

進(jìn)一步地，所述步驟s4中，由于矩陣q+λe^te是對稱正定的，所以由karushkuhntucker(kkt)條件得到，如果x是數(shù)學(xué)模型(4)的全局最優(yōu)解，則存在向量r和u，使得(x,r,u)滿足以下方程(5)所示的kkt條件：

方程(5)改寫為以下方程(6)所示的線性互補(bǔ)問題：

ω＝az+q≥0,z≥0andz^tω≥0.(6)

其中

進(jìn)一步地，所述步驟s5中，基于模數(shù)的迭代法求解lcp(q,a)的過程如下：令a＝m-n是矩陣a的一種分裂，給定一個初始向量對于k＝0，1，2，…，直到迭代序列收斂，計算通過求解以下方程(7)所示的線性系統(tǒng)得到：

(m+ω)s^(k+1)＝ns^(k)+(ω-a)|s^(k)|-γq(7)

其中

ω是正對角矩陣，γ是一個正常數(shù)。

選取的分裂矩陣m，n如下方程(9)所示：

其中d＝tridiag(b(q+λe^te)^-1b^t)是一個三對角矩陣，用來近似矩陣a的舒爾補(bǔ)碼b(q+λe^te)^-1b^t，β^*和θ^*是兩個正的常數(shù)，且其值應(yīng)滿足0μmax表示矩陣γ＝d^-1b^t(q+λe^te)^-1b的最大特征值；其中矩陣q+λe^te是對稱正定的且b是行滿秩矩陣，所以采用該分裂矩陣m，n的mmsim來求解該lcp是收斂的；

在方程(9)中，需要計算矩陣q+λe^te的逆來得到矩陣d，但是計算矩陣的逆非常耗時；為了加快運(yùn)算速度，使用sherman-morrison公式來獲得矩陣d；假設(shè)w是一個n×n矩陣，u是一個n×k矩陣，v是一個k×n矩陣，并且y＝w+uv，則sherman-morrison公式如下方程(10)所示：

y^-1＝w^-1-w^-1u(ik+vw^-1u)^-1vw^-1.(10)

運(yùn)用方程(10)中的sherman-morrison的公式，得到

(q+λe^te)^-1＝q^-1-q^-1λe^t(ik+eq^-1λe^t)^-1eq^-1.

因為矩陣q是單位矩陣，是對角陣且所有的對角元素都為2，所以有

因此，方程(9)中的矩陣d的計算方式如下：

方程(7)中要求矩陣ω是正對角矩陣，為了簡化計算，將ω取為一個n×n的單位陣i；為了更快地計算向量s^(k+1)，使用高斯消去法將矩陣(m+ω)轉(zhuǎn)化為一個下三角矩陣，并記錄下轉(zhuǎn)化的過程，然后每次迭代再對等式右邊進(jìn)行相應(yīng)的變換。

進(jìn)一步地，所述步驟s6中，對多倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元進(jìn)行復(fù)原，即先計算多倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元的所有子單元的x坐標(biāo)的中位數(shù)xmid，然后將該多倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元的所有子單元的x坐標(biāo)賦為xmid。

進(jìn)一步地，所述步驟s7中，類似tetris的分配方法放置單元的具體算法流程如附圖4所示，說明如下：類似tetris的分配方法來放置單元首先將每個單元對齊到最近的placementsites；然后根據(jù)單元的優(yōu)先級對單元進(jìn)行排序，依次對單元進(jìn)行放置，若單元的移動距離超過了給定的最大移動距離，則標(biāo)記該單元為非法單元；否則，放置該單元；最后，對于每個非法單元，找最近且合法的位置來放置該單元。

相較于現(xiàn)有技術(shù)，本發(fā)明的優(yōu)點(diǎn)如下：(1)本發(fā)明根據(jù)全局布局得到的單元位置順序并松弛布局區(qū)域的右邊界約束，將混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元的合法化問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的lcp，它可以被現(xiàn)有的優(yōu)化方法有效地解決；(2)本發(fā)明對轉(zhuǎn)換后的lcp中的矩陣以適當(dāng)?shù)姆绞竭M(jìn)行分解，并使用mmsim來求解轉(zhuǎn)換后的lcp，該適當(dāng)?shù)木仃嚪纸獠粌H滿足了mmsim收斂的要求，同時也大大加快了計算時間；(3)本發(fā)明是同時對所有的單元進(jìn)行優(yōu)化，而不是逐個單元進(jìn)行優(yōu)化，從一個更加全局的角度來考慮了該合法化問題；(4)本發(fā)明可以高效的解決vlsi混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元的合法化問題，并提供實用的合法化結(jié)果。經(jīng)與修改后的ispd2015競賽的標(biāo)準(zhǔn)測試實例集比較，本發(fā)明能夠快速地得到所有測試?yán)拥淖顑?yōu)解或近似最優(yōu)解，其結(jié)果相較與其他方法得到的結(jié)果有了明顯地改善，可滿足目前vlsi混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元合法化階段的需求。

附圖說明

圖1是該混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元電路設(shè)計的合法化方法的總流程圖。

圖2是電源軌道約束的舉例說明。

圖3是mmsim求解器的算法框架。

圖4是類似tetris的分配方法來放置單元的流程圖。

具體實施方式

下面結(jié)合附圖及實施例對本發(fā)明做進(jìn)一步說明。

本實施例提供一種用于混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元電路設(shè)計的合法化方法，如圖1所示，包括如下步驟：

步驟s1:把電路表示為超圖h＝{v,e}；

步驟s2:將單元對齊到最近且正確匹配電源軌道的行上；

步驟s3:對多倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元進(jìn)行預(yù)處理,并將混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元合法化問題用一個二次規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型表示；

步驟s4:將二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的線性互補(bǔ)問題lcp；

步驟s5:用基于模數(shù)的矩陣分裂迭代法mmsim來求解lcp；

步驟s6:對多倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元進(jìn)行復(fù)原；

步驟s7:用類似tetris的方法對單元進(jìn)行放置。

在本實施例中，所述步驟s1的實現(xiàn)方式具體為：把電路表示為超圖模型h＝{v,e},其中，v＝{v1,v2,…,vn}表示電路元件的集合,e＝{e1,e2,…,en}表示線網(wǎng)集合；對于vlsi混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元合法化問題，布局區(qū)域是矩形薄板，它的左下角坐標(biāo)為(0,0)，右上角為(w,h)，對于單元vi(i＝1,2,…,n)，記wi為其寬度，hi為其高度，(xi,yi)為其左下角坐標(biāo)，(x’i,y’i)為其全局布局的左下角坐標(biāo)；同時在一個混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元的設(shè)計中，接電源線vdd和接地線vss在行間交錯排列，每個單元正確對齊，即單元的電源/接地引腳必須匹配相應(yīng)的行；對于一個奇數(shù)倍行高的標(biāo)準(zhǔn)單元，該對齊方式直接實現(xiàn)或通過垂直翻轉(zhuǎn)單元實現(xiàn)；對于偶數(shù)倍行高的標(biāo)準(zhǔn)單元，只能被對齊在一個適當(dāng)?shù)碾娫窜?，即只能直接實現(xiàn)來滿足電源軌道對齊的約束，而不能通過垂直翻轉(zhuǎn)單元實現(xiàn)。如附圖2所示，奇數(shù)倍行高的標(biāo)準(zhǔn)單元a和c可以放置到任何一行，直接或通過垂直翻轉(zhuǎn)單元來匹配正確的vdd/vss電源軌道。然而，偶數(shù)倍行高的標(biāo)準(zhǔn)單元b必須與同一類型的電源軌道對齊，因為單元b的頂部和底部都是要對齊vss的。如果單元b頂部和底部對齊到vdd線，那么該單元的放置是非法的,并且這種電源軌道不匹配并不能通過垂直翻轉(zhuǎn)單元來解決。

混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元合法化的目標(biāo)是將每個單元vi放置到坐標(biāo)(xi,yi)上，使得單元總位移量最小，并且滿足下列4個約束條件：(1)單元必須放置在芯片內(nèi)；(2)單元必須位于行上的placementsites；(3)單元之間必須沒有任何重疊；(4)單元必須與正確的電源軌道對齊，即優(yōu)化以下數(shù)學(xué)模型(1)：

在本實施例中，圖1中“將單元對齊到最近且正確的行上”部分具體如下：

將單元對齊到最近且正確匹配電源軌道的行上，對于一個奇數(shù)倍行高的標(biāo)準(zhǔn)單元，它最近且正確的行是距離它的全局布局y’坐標(biāo)最近的行；而對于一個偶數(shù)倍行高的標(biāo)準(zhǔn)單元，它最近的正確的行是離全局布局y’坐標(biāo)最近并且要正確匹配電源軌道的行。如果所有的單元都被分配到最近且正確匹配電源軌道的行上了，則單元在y方向上的位移量最小，因此，假設(shè)每一行中的單元按全局布局的左下角坐標(biāo)x’排序，若在全局布局中，單元j位于單元l的右邊，則x’j≥x’l，那么，混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元的合法化的數(shù)學(xué)模型(1)可以松弛為以下數(shù)學(xué)模型(2)：

在上面的數(shù)學(xué)模型(2)中，因為多倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元占據(jù)多個行，所以多倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元會在約束中考慮多次。與此相反，單倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元只占用一行，所以單倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元在約束中最多會考慮兩次。

在本實施例中，圖1中“多倍高度標(biāo)準(zhǔn)單元的預(yù)處理”部分，具體方式如下：

為了保證mmsim求解混合高度標(biāo)準(zhǔn)單元合法化問題的收斂性，將數(shù)學(xué)模型(2)所述的合法化問題轉(zhuǎn)化為以下數(shù)學(xué)模型(3)：

其中q是單位矩陣，p是一個向量，p的第i個分量pi＝-x’i，b是約束矩陣，并且b中每行只有兩個非零元素-1和1，它的行數(shù)是約束條件的個數(shù)，列數(shù)是變量的個數(shù)。矩陣e的定義如下，如果單元i是單倍行高的，本發(fā)明引入變量xi1來表示該單元；否則，將多倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元劃分成多個單倍行高的子單元，并用變量xi1,xi2,...,xid,來表示，其中d是子單元的個數(shù)。新的約束ex＝0確保每個多倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元的子單元坐標(biāo)是相等的。

對于數(shù)學(xué)模型(3)，引入一個罰因子λ來將等式約束加到目標(biāo)函數(shù)中，則數(shù)學(xué)模型(3)可以被改寫為以下數(shù)學(xué)模型(4)：

數(shù)學(xué)模型(4)中罰因子λ影響多倍行高的標(biāo)準(zhǔn)單元所分成的子單元之間的距離，如果λ的值足夠大時，理論上一個多倍行高單元分成的子單元都會位于同一位置。

在本實施例中，圖1中“將二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為lcp”部分，具體方式如下：

因為數(shù)學(xué)模型(4)中的矩陣q+λe^te是對稱正定的，所以由karushkuhntucker(kkt)條件可知，如果x是數(shù)學(xué)模型(4)的全局最優(yōu)解，則存在向量r和u，使得(x,r,u)滿足以下方程(5)所示的kkt條件：

方程(5)可以改寫為以下方程(6)所示的線性互補(bǔ)問題：

ω＝az+q≥0,z≥0andz^tω≥0.(6)

其中

在本實施例中，圖1中“mmsim求解lcp”部分，具體算法如圖3所示，說明如下：

基于模數(shù)的迭代法求解lcp(q,a)的過程如下。令a＝m-n是矩陣a的一種分裂，給定一個初始向量對于k＝0，1，2，…，直到迭代序列收斂，計算通過求解以下方程(7)所示的線性系統(tǒng)得到：

(m+ω)s^(k+1)＝ns^(k)+(ω-a)|s^(k)|-γq(7)

其中

ω是正對角矩陣，γ是一個正常數(shù)。

本發(fā)明選取的分裂矩陣m，n如下方程(9)所示：

其中d＝tridiag(b(q+λe^te)^-1b^t)是一個三對角矩陣，用來近似矩陣a的舒爾補(bǔ)碼b(q+λe^te)^-1b^t，β^*和θ^*是兩個正的常數(shù)，且其值應(yīng)滿足0μmax表示矩陣γ＝d^-1b^t(q+λe^te)^-1b的最大特征值。因為矩陣q+λe^te是對稱正定的且b是行滿秩矩陣，所以采用該分裂矩陣m，n的mmsim來求解該lcp是收斂的。

在方程(9)中，需要計算矩陣q+λe^te的逆來得到矩陣d，但是計算矩陣的逆非常耗時。為了加快運(yùn)算速度，本發(fā)明使用sherman-morrison公式來獲得矩陣d。假設(shè)w是一個n×n矩陣，u是一個n×k矩陣，v是一個k×n矩陣，并且y＝w+uv，則sherman-morrison公式如下方程(10)所示：

y^-1＝w^-1-w^-1u(ik+vw^-1u)^-1vw^-1.(10)

運(yùn)用方程(10)中的sherman-morrison的公式，可以得到

(q+λe^te)^-1＝q^-1-q^-1λe^t(ik+eq^-1λe^t)^-1eq^-1.

因為矩陣q是單位矩陣，是對角陣且所有的對角元素都為2，所以有

因此，方程(9)中的矩陣d的計算方式如下：

方程(7)中要求矩陣ω是正對角矩陣，為了簡化計算，本發(fā)明將ω取為一個n×n的單位陣i。為了更快地計算向量s^(k+1)，本發(fā)明使用高斯消去法將矩陣(m+ω)轉(zhuǎn)化為一個下三角矩陣，并記錄下轉(zhuǎn)化的過程，然后每次迭代再對等式右邊進(jìn)行相應(yīng)的變換。

在本實施例中，圖1中“多倍高度標(biāo)準(zhǔn)單元的還原”部分，具體方式如下：

對多倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元進(jìn)行復(fù)原，即先計算多倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元的所有子單元的x坐標(biāo)的中位數(shù)xmid，然后將該多倍行高標(biāo)準(zhǔn)單元的所有子單元的x坐標(biāo)賦為xmid。

在本實施例中，圖1中“類似tetris的分配方法來放置單元”部分，具體算法流程如圖4所示，說明如下：類似tetris的分配方法來放置單元首先將每個單元對齊到最近的placementsites；然后根據(jù)單元的優(yōu)先級對單元進(jìn)行排序，依次對單元進(jìn)行放置，若單元的移動距離超過了給定的最大移動距離，則標(biāo)記該單元為非法單元；否則，放置該單元；最后，對于每個非法單元，找最近且合法的位置來放置該單元。

以上所述僅為本發(fā)明的較佳實施例，凡依本發(fā)明申請專利范圍所做的均等變化與修飾，皆應(yīng)屬本發(fā)明的涵蓋范圍。