專利名稱：時間復(fù)雜度取決于大整數(shù)乘法的大整數(shù)除法的制作方法
技術(shù)領(lǐng)域：
本發(fā)明主要提供一種特殊的分治遞歸運算的大整數(shù)除法(包括整除的商值及整除后取余數(shù))。這種算法主要應(yīng)用于計算機領(lǐng)域，尤其是加密技術(shù)中。
背景技術(shù)：
當(dāng)前公開或使用的大整數(shù)除法即使采用Knuth的經(jīng)典名著“The Art ofComputerProgramming”的第4.3.1節(jié)中的猜商值公式來計算,也需要多次試運算，所有這些大整數(shù)除法最大的缺點是時間復(fù)雜度:T(n) =0(n2)這與大整數(shù)乘法相比差遠了。因此減少試運算的次數(shù)，降低時間復(fù)雜度對大整數(shù)除法具有特別重要的意義。本文依據(jù)全新的計算理論，構(gòu)造了獨特的大整數(shù)除法計算方法，文中實施例使試運算出現(xiàn)的概率遠低于現(xiàn)有算法，即使出現(xiàn)也只需一次加法運算，不僅如此，更為重要的是本文采用特殊的分治遞歸的方法充分利用大整數(shù)乘法，使大整數(shù)除法的時間復(fù)雜度等于大整數(shù)除法中所采用的大整數(shù)乘法的時間復(fù)雜度，例如大整數(shù)除法中采用Karatsuba乘法加速時，本文中的大整數(shù)除法時間復(fù)
雜度:T(n) =O(nlog23)，如果采用其他更快的大整數(shù)乘法，本算法會更快，這就使數(shù)值
很長的大整數(shù)除法的計算速度大幅提高，例如當(dāng)被除數(shù)的長度為4194304個四字節(jié)，除數(shù)長度為2097152個四字節(jié)時，本算法中采用Karatsuba乘法加速時的速度為現(xiàn)有大整數(shù)除法速度的30倍左右。

發(fā)明內(nèi)容
本文在這部分將推出一種全新的大整數(shù)除法計算理論，并利用該理論構(gòu)造分治的大整數(shù)除法，在分治中充分利用大整數(shù)乘法，以達到加速目的。請看下面的推理:設(shè)大整數(shù)運算過程中采用h (大于1的整數(shù))進制，正整數(shù)集合:Z = {x| x > 0并且[x] = x}集合1:H = {x | 0≤x < h并且X為整數(shù)}集合2 =H2 = {x | 1≤X < h并且X為整數(shù)}任何有限長度的大整數(shù)除法都可轉(zhuǎn)化為非負大整數(shù)的除法，因此除了最后一段夕卜，下文只涉及非負大整數(shù)除法，非負大整數(shù)除法可表示如下:C = A/B (A≥0，B>0，C≥0并且A和B都是整數(shù)) (1)當(dāng)A = O 時,顯然 C = O,(2)當(dāng)A <B時，顯然C的整數(shù)部分為0，(3)當(dāng)A≥B時，可通過將被除數(shù)和除數(shù)都乘以hm從而使A和B都轉(zhuǎn)化為不小于hm的整數(shù)，并使結(jié)果C保持不變，其中m≥2且m∈ Z，因此(1)式在排除(2)、(3)后，可轉(zhuǎn)化為下式:C = A/B (A 彡≥B，B ≥hm，m ≥ 2，C>0且A、B和 m都是正整數(shù)) (4)在⑷中A =(A1A2A3...Ai-1Ai)h可用多項式表示如下:A = Ahi-1+A3hi-2+A3hi-3+…+Ai-1h1+Ai(5)
其中
權(quán)利要求
1.種分治的大整數(shù)整除的方法，其工作流程用偽碼表示如下:void SuperDivision_Core (A, B, C，int k ) //調(diào)用時A、B都是大整數(shù)對象，分別對應(yīng){ //被除數(shù)、除數(shù)、應(yīng)在A、B后面預(yù)留F位空間，并將B中預(yù)留空間歸0,計算完成之 //后，結(jié)束時，模余在A中，商數(shù)的整數(shù)部分在C中，當(dāng)然應(yīng)用時這些參數(shù)可能就是一 //個整數(shù)類型或字符串類型的數(shù)組或指針以及相關(guān)變量(含指針)共同來實現(xiàn)，外部調(diào) //用(不含自身遞歸)該函數(shù)之前應(yīng)滿足Aj<B,且被除數(shù)的長度為2k，除數(shù)的 //長度為k，并滿足k=2' reZ, if (Al=NULL) At.pf inger=A.pfinger+ k*2；//首次調(diào)用時，設(shè)置好A中當(dāng)前高端定位點指針At.pfinger, //At最好為static對象(含指針) if(k=N)//當(dāng)數(shù)值較小時，常規(guī)除法更有效， { Ac.pfinger=AT.pfinger- (N*2+F) ; //使 Ac.pfinger 指向 A 中當(dāng)前低端定位點 I/ Ac就是從A中當(dāng)前低端定位點的數(shù)位開始向高位延伸到第I個非0數(shù)位共同構(gòu)成 //的大整數(shù)(如果沒有非0數(shù)，則Ac表示0) MinDivision(Ac, B.pfinger-F, N+F，C.pfinger );//在MinDivision中，第二個參數(shù)表示指向除數(shù)的指針，第三個參數(shù)表示 //除數(shù)長度,MinDivision函數(shù)的功能是計算C,并計算A' =Kf -E' C, //此處Ac與A'對應(yīng)，不允許給C.pfinger[N]賦值，否則就會出現(xiàn)0覆蓋 At.pfinger=A1.pfinger-N; return； } Jc/9 B二BlIi +Br ； //將 B 分割為兩半，并且 Br.pfinger=B.pfinger // Bl pfinger=B.pfinger+k/2 , Bl Length = Br Length =k/2 , Ir JOC=CiJi +Cr ； //將 C 分割為兩半，并且 Cr.pfinger=C.pfingerIl Cl.pfinger=C.pfinger+k/2 ，Cl.Length =Cr.Length ^k/2， SuperDivision_Core(NULL , Bl , Cl k/2); //遞歸 SetCurrentA (At，Al) ； // 設(shè)置 Al,如設(shè)置 Al.pfinger=AT.pfinger -k-F;使 //Al.pfinger指向A中當(dāng)前低端定位點等 AL=AL-SuperMultiply (Br.pfinger -F，k/2, Cl.pfinger , k/2);//SuperMuItiply的功能是計算兩個大整數(shù)的乘積，此處Al與A7對應(yīng)， if(AL<0) { //小概率事件Al: Al+ (Bh +Bk+ih + Bk+2h +Bk+3h + +Bk+F); Cl= Cl-1； }SuperDivision_Core(NULL, Bl, Cr，k/2) ;//遞歸 SetCurrentA (At , Ar ) ； //設(shè)置好 Ar,如設(shè)置 Ar.pfinger=AT.pfinger -k-F;使//Ar.pfinger指向A中當(dāng)前低端定位點等AR=AR-SuperMultiply(Br.pfinger ~F, k/2, Cr.pfinger , k/2); //此處Ar與A'對應(yīng)， if (Ar〈O) { //小概率事件 Ar=Ar+ (BhF+Bk+1hF_1+ Bk+2hF-2+ BMhF—3+…+Bk+P); Cr= Cr-1; } return ; }
2.種分治的大整數(shù)整除的方法，其工作流程用偽碼表示如下:void SuperDivision_Core(A, B，C，int k ) //調(diào)用時A、B都是大整數(shù)對象，分別對應(yīng){ //被除數(shù)、除數(shù)、應(yīng)在A、B后面預(yù)留F位空間，并將B中預(yù)留空間歸0，計算完成之 //后，結(jié)束時，模余在A中，商數(shù)的整數(shù)部分在C中，當(dāng)然應(yīng)用時這些參數(shù)可能就是一 //個整數(shù)類型或字符串類型的數(shù)組或指針以及相關(guān)變量(含指針)共同來實現(xiàn)，外部調(diào) //用(不含自身遞歸)該函數(shù)之前應(yīng)滿足Aj<B，且被除數(shù)的長度為2k，除數(shù)的 //長度為k，并滿足Ic==S1", reZ， if(Al=NULL) At.pfinger=A.pfinger+ k*2； //首次調(diào)用時，設(shè)置好A中當(dāng)前高端定位點指針At.pfinger， //At最好為static對象(含指針) if(k==N)//當(dāng)數(shù)值較小時，常規(guī)除法更有效， {Ac.pfinger=AT.pfinger-(N*2+F); //使 Ac.pfinger 指向 A 中當(dāng)前低端定位點// Ac就是從A中當(dāng)前低端定位點的數(shù)位開始向高位延伸到第I個非0數(shù)位共同構(gòu)成
3.種分治的大整數(shù)整除的方法，其工作流程用偽碼表示如下:SuperDivision(A, B, C, Y )//調(diào)用時，A為被除數(shù)，B為除數(shù)，{//結(jié)束時，C保存整除的商數(shù)、Y保存模余 if(FormatReady (A, B) =FALSE) return 0; // 若參數(shù)非法，則返回 0; //FormatReady的功能主要是分配空間，將預(yù)留空間清0,并將A、B的數(shù)據(jù)復(fù) //制到新空間上合適位置，并使A.pfinger、B.pfinger指向所對應(yīng)的新空間， //并且A.pfinger、B.pfinger之后都至少有F個預(yù)留空間，如果B.Length不等 //于2的整數(shù)次幕，則應(yīng)將從A、B復(fù)制到新空間上的數(shù)據(jù)都向高端移動相同個基數(shù) //位(騰空位置應(yīng)清0)，相當(dāng)于將A、B都乘以一個整數(shù)，以確保B.Length等于2 //的整數(shù)次冪，并對A作出修剪處理，以使(Aj<B&&A.Length%B.Length==CM //B.pf inger [B.Length-1] !=0)成立，所述修剪可通過向A前加0或調(diào)用 //BigDivision函數(shù)對A的部分高端數(shù)據(jù)進行處理，算出部分高端商數(shù) pAf inger=A.pfinger;C.pfinger= C.pf inger+A.Length-B.Length；A.pf inger= A.pf inger+A.Length-B.Length；while (A.pf inger >pAf inger) { A.pfinger= A.pfinger - B.Length； C.pfinger= C.p f inger-B.Length； SuperDivision一Core(A, B, C, B.Length)； } Y=A; //得到余數(shù)Clear (A, B); //釋放 FormatReady (A, B)時，所分配的空間 return C.Length;}
4.據(jù)權(quán)利要求3所述大整數(shù)整除的方法,其特征是:SuperDivision_Core算法采用權(quán)利要求1中所述的方法。
5.據(jù)權(quán)利要求3所述大整數(shù)整除的方法,其特征是:SuperDivision_Core算法采用權(quán)利要求2中所述的方法。
6.種大整數(shù)整除的方法，其工作流程用偽碼表示如下:BigDivision(A, B，C )//調(diào)用時A，B,都是大整數(shù)對象，分別對應(yīng)被除數(shù)、除{//數(shù)、應(yīng)在A前面至少預(yù)留I位空間，如果會出現(xiàn)A.Length=-1,則A后面至 //少預(yù)留I位空間，如果會出現(xiàn)B.Length==I,則B后面也至少預(yù)留I位空間， //并將預(yù)留空間歸(h計算完成之后，結(jié)束時模余在A中，商數(shù)的整數(shù)部分在C中， //當(dāng)然應(yīng)用時這些參數(shù)可能就是一個整數(shù)類型或字符串類型的數(shù)組或指針， i=A.Length; Il得到 A 長度 if (B. Length<=0| | i<=0) return O //非法返回 O pCWorkFinger=C.pfinger+i— B.Length； k%.pA2f inger=A.pf inger+i—2; Ac.pf inger ~ A.pf inger + 1-B.Length; //Ac就是指當(dāng)前A中處于工作狀態(tài)的數(shù)據(jù) while (Ac.pfinger〉= A.pfinger) {Ci=*(( unsigned CPUInteger *) kz.pf inger) /Bi ; //其中unsigned CPUInteger *表示在計算機中CPU帶寬無符號整數(shù)類型的數(shù)據(jù)， //如在 64 比特計算機用 * (unsigned _int64*(A2.pfinger))獲取(Ai*h+A2) Y=*(( unsigned CPUInteger *)A2.pfinger) _ Ci*Bi ;Y= (U/2) ； //U為CPU帶寬值，如在64比特計算機中U=64Y+= *( kz.pfinger-1) ； // 即 Y+= A3 ； X= B2Ci if(X>Y) //這是由于C1大于正確值 {X=X-Y5 //此時 X=C1 (Bih+B2)- (Aih2+A2hi+A3) Cl= Cl- X/(Bih+B2) ； //這行和下面一行扣除C1超出部分， ifpC%(Bi*h+B2)) Ci= C1-1 ； } Ic-1 Ac=Ac-BxC1 ； //計算 A=A—B*Cih ； if (Ac <0)//即 if (ACO) { Ac = Ac+B ; //計算 A-A+Bh*4 1 ；C1=C1-1;} *pCWoikFinger=Ci ； pCWorkFinger- = 1 ； //每循環(huán)一次pCWorkFinger就在C上向低端滑動一個基數(shù)位 A2.pfinger -=1; //每循環(huán)一次A2就就在A上向低端滑動一個基數(shù)位 Ac.pfinger -=1; //每循環(huán)一次Ac就在A上向低端滑動一個基數(shù)位} }
7.種大整數(shù)整除的方法，其工作流程用偽碼表示如下:BigDivision(A, B，C )//調(diào)用時A，B，都是大整數(shù)對象，分別對應(yīng)被除數(shù)、除[//數(shù)、應(yīng)在A前面至少預(yù)留I位空間，如果會出現(xiàn)A.Length==1,則A后面至 //少預(yù)留1位空間，如果會出現(xiàn)B.Length==1,則B后面也至少預(yù)留1位空間， //并將預(yù)留空間歸0，計算完成之后，結(jié)束時模余在A中，商數(shù)的整數(shù)部分在C中， //當(dāng)然應(yīng)用時這些參數(shù)可能就是一個整數(shù)類型或字符串類型的數(shù)組或指針， i=A.Length; //得到 A 長度 if (B.LengtK=O丨丨 i<=0) return 0 //非法返回 0 pCWorkFinger=C.pfinger+i- B.Length; A2.pA2finger=A.pfinger+1-2； Ac.pfinger = A.pf inger+1-B.Length; //Ac就是指當(dāng)前A中處于工作狀態(tài)的數(shù)據(jù) while (Ac.pfinger〉= A.pfinger){C1=*(( unsigned CPUInteger *)A2.pfinger) /B1 ; //其中unsigned CPUInteger *表示在計算機中CPU帶寬無符號整數(shù)類型的數(shù)據(jù)， //如在 64 比特計算機用 * (unsigned —int64*(A2.pfinger))獲取(A1*h+A2) Y=*(( unsigned CPUInteger *)A2.pfinger)— C1*B1 ； Y= (U/2) ; // U為CPU帶寬值，如在64比特計算機中U=64 Y+= *( A2.pfinger-1) ; // 即 Y+= A3 ; X= B2*C1 if(X>Y) //這是由于C1大于正確值 {
8.據(jù)權(quán)利要求1、2、3、4、5、6、7所述大整數(shù)整除的方法，其特征是:用于計算商值的整數(shù)部分，去掉保存余數(shù)的相關(guān)代碼。
9.據(jù)權(quán)利要求1、2、3、4、5、6、7所述大整數(shù)整除的方法，其特征是:用于計算整除后的余數(shù),去掉保存商值整數(shù)的相關(guān)代碼。
10.據(jù)權(quán)利要求1、2、3、4、5、6、7所述大整數(shù)整除的方法，其特征是:用迭代或循環(huán)替代遞歸。
全文摘要
本發(fā)明提供一種時間復(fù)雜度取決于大整數(shù)乘法的大整數(shù)除法(含整除及求余數(shù))，主要應(yīng)用于計算機領(lǐng)域，尤其是加密技術(shù)中。該方法，通過特殊的分治及預(yù)先處理高位數(shù)據(jù)，頂多一次試運算就可鎖定高位的商數(shù)，并且在算出多位高位商數(shù)后采用快速的大整數(shù)乘法來消項，這樣使大整數(shù)除法的計算效率得到大幅地提高，并且使大整數(shù)除法的時間復(fù)雜度取決于所采用的大整數(shù)乘法。
文檔編號G06F9/30GK103092568SQ20111035509
公開日2013年5月8日 申請日期2011年11月1日 優(yōu)先權(quán)日2011年11月1日
發(fā)明者劉海云 申請人:劉海云