一種最優(yōu)積分滑?？刂品椒?br>【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001] 本發(fā)明設(shè)及一種積分滑?？刂品椒ǎ绕湓O(shè)及一種最優(yōu)積分滑?？刂品椒?，屬于 控制技術(shù)領(lǐng)域。
【背景技術(shù)】
[0002] 最優(yōu)控制作為現(xiàn)代控制理論的一個(gè)重要分支，取得了巨大發(fā)展。該控制方法利用 尋優(yōu)策略，得到滿足特定性能指標(biāo)的控制量，能夠獲取期望系統(tǒng)動(dòng)態(tài)，有效地改善了系統(tǒng)的 響應(yīng)特性。針對(duì)線性系統(tǒng)，基于二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制算法研究已經(jīng)得到了充分的發(fā) 展，積累了豐富的理論基礎(chǔ)與設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)。但是針對(duì)非線性系統(tǒng)，由于系統(tǒng)形式的復(fù)雜性，對(duì) 于一般的二次型性能指標(biāo)優(yōu)化問題，無法通過代數(shù)方法獲取最優(yōu)問題解析解，同時(shí)，難W直 接采用求解HJB來進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。
[0003]因此，針對(duì)非線性系統(tǒng)的次優(yōu)控制策略得到了極大的發(fā)展。1962年，Pearson率先 提出了基于狀態(tài)相關(guān)黎卡提方程（State-Dependent I^iccati Equation, SDRE)的次優(yōu)控制 策略，較之線性系統(tǒng)LQR控制方法，SDRE控制方法在犧牲一定的最優(yōu)性的前提下，將優(yōu)化策 略擴(kuò)展至非線性系統(tǒng)，將簡(jiǎn)單的線性化算法應(yīng)用于復(fù)雜非線性系統(tǒng)中，降低了控制器的實(shí) 現(xiàn)代價(jià)，獲得了較高的控制品質(zhì)。SDRE控制算法中，系統(tǒng)狀態(tài)矩陣與性能指標(biāo)矩陣均可包 含狀態(tài)量與時(shí)間，給控制律的設(shè)計(jì)帶來了極大靈活性，通過設(shè)計(jì)狀態(tài)相關(guān)加權(quán)矩陣，實(shí)現(xiàn)權(quán) 重矩陣在線調(diào)整，有效地改善了系統(tǒng)的響應(yīng)特性，獲取所需的控制性能。同時(shí)狀態(tài)依賴系數(shù) (SDC)參數(shù)化不具有唯一性，增加了控制器的設(shè)計(jì)自由度。該方法不僅能夠充分保留系統(tǒng)非 線性，同時(shí)大大簡(jiǎn)化了非線性HJB方程的求解。
[0004] SDRE控制作為最優(yōu)控制的一種拓展延伸，是一種基于準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型的控制算 法。當(dāng)系統(tǒng)中存在參數(shù)不確定性或外部干擾時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)將很有可能偏離最優(yōu)控制下的期 望軌線?；？刂谱鳛橐环N新型變結(jié)構(gòu)控制策略，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，同時(shí)能夠大大提高系統(tǒng)在匹配 干擾下的魯椿性。采用積分滑模與SDRE控制相結(jié)合，將SDRE控制律作為標(biāo)稱控制律，實(shí)現(xiàn) 了對(duì)具有強(qiáng)不確定性系統(tǒng)的魯椿控制器設(shè)計(jì)。該種方法在很大程度上，結(jié)合了兩種控制器 的優(yōu)勢(shì)，在確?？刂菩阅艽蝺?yōu)的前提下減小了系統(tǒng)對(duì)外部擾動(dòng)及系統(tǒng)不確定性的敏感性。
[0005] 常規(guī)無限時(shí)間狀態(tài)相關(guān)黎卡提方程（SDR巧控制方法只能保證系統(tǒng)狀態(tài)實(shí)現(xiàn)漸進(jìn) 收斂，無法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間收斂；同時(shí)無法有效折衷系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間與超調(diào)量之間的 矛盾。因此需要設(shè)計(jì)控制器，具有如下特征；（1)能夠確保系統(tǒng)誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂；似 有效折衷系統(tǒng)響應(yīng)速度與超調(diào)量之間的矛盾，獲得快速、小超調(diào)量的響應(yīng)特性；（3)對(duì)于外 部擾動(dòng)W及系統(tǒng)不確定性具有較好的魯椿性。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0006] 本發(fā)明公開的一種最優(yōu)積分滑?？刂品椒ㄒ?，求解決的技術(shù)問題是通過改進(jìn)基于 狀態(tài)相關(guān)黎卡提方程（ISDRE)，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間收斂，有效折衷系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間與超調(diào) 量之間的矛盾，此外將改進(jìn)基于狀態(tài)相關(guān)黎卡提方程（ISDR巧與積分滑模相結(jié)合進(jìn)一步提 高系統(tǒng)的魯椿性。
[0007] 本發(fā)明的目的是通過下述技術(shù)方案實(shí)現(xiàn)：
[0008] 本發(fā)明公開的一種最優(yōu)積分滑?？刂品椒?，包括如下步驟：
[0009] 步驟1，建立二階非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型。所述的二階非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型如公 式（1):
[0010]
(1)
[0011] 式中；X= [x^X2]t為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，f(x)和g(x)聲0為關(guān)于X的光滑非線性 函數(shù)，U G Ri為系統(tǒng)控制量。
[0012] 對(duì)此非線性系統(tǒng)進(jìn)行擴(kuò)展線性化，得到狀態(tài)相關(guān)系數(shù)SDC(state-dependent coefficient)形式如公式（2):
[001 引 i = \-，/ ).、- + 公(.、-，/)" (2)
[0014] 其中 f(X,t) = A(x, t)x，B(x, t) = g(x, t)。
[0015] 步驟2,通過改進(jìn)基于狀態(tài)相關(guān)黎卡提方程（ISDRE)，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間收 斂，解決有效折衷系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間與超調(diào)量之間的矛盾。
[0016] 步驟2. 1，根據(jù)改進(jìn)基于狀態(tài)相關(guān)黎卡提方程（ISDR巧計(jì)算標(biāo)稱控制量U*。
[0017] 根據(jù)實(shí)際控制要求給定最優(yōu)性能指標(biāo)J如公式（3):
[0018]
(3)
[0019] 其中，Qi(x, t), 〇2片t)為二維矩陣，Qi(x, t)為半正定的狀態(tài)加權(quán)矩陣，〇2片t)為 半正定的狀態(tài)導(dǎo)數(shù)加權(quán)矩陣，R(x，t)為正定的一維控制加權(quán)矩陣。t。為初始時(shí)刻。
[0020] 通過最優(yōu)性能指標(biāo)J公式（3)計(jì)算標(biāo)稱控制量U噴公式（4);
[0021 ] u*=-出(X,t)tq](X,t) B(X,t) +R(X,t) ] -1 出(X,t)tq](X,t) A(X,t) +RT(X,t) P(X,t)] X(4)
[0022] 其中，A(x，t)，B(x，t)通過二階非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型定義， Qi(x，t)，Q2(x，t)，R(x，t)根據(jù)實(shí)際控制要求給定的性能指標(biāo)參數(shù)。二維矩陣P(x)由如下 代數(shù)黎卡提方程（5)所確定：
[0023] P(X,t) A(X,t) +AT(X,t) P(X,t) + 怕1(X,t) +AT(X,t) 〇2(X，t) A(X,t))
[0024] - (P(X,t) B(X,t) + 炬T(X,t) 〇2(X，t) A(X,t)) T)化(X,t) (5)
[00巧]+RT (X, t) 〇2 (X，t) B (X, t)) -1 他(X, t) 〇2 (X，t) A (X, t) +RT (X, t) P (X, t)) = 0
[0026] 步驟2. 2,給出狀態(tài)加權(quán)矩陣Qi和狀態(tài)導(dǎo)數(shù)加權(quán)矩陣Q2,實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間收 斂，解決有效折衷系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間與超調(diào)量之間的矛盾。
[0027] 狀態(tài)加權(quán)矩陣Qi對(duì)狀態(tài)X變化進(jìn)行約束。為實(shí)現(xiàn)狀態(tài)X有限時(shí)間收斂，給出狀態(tài) 加權(quán)矩陣Qi如公式化），狀態(tài)加權(quán)矩陣Q1需為半正定矩陣，為簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，令狀態(tài)加權(quán)矩陣Q1 為具有如下形式的對(duì)角陣：
[0028]
(6)
[002引式中：
I其中td為設(shè)定的期望收斂時(shí)間。在實(shí)際應(yīng)用過 程中，由于物理能力的限制，q的取值無法增至無限大，因此對(duì)上述q的取值進(jìn)行調(diào)整：[0030]
(7)
[003U 其中A t為一較小的正實(shí)數(shù)，N。為一較大的正實(shí)數(shù)，且滿足=1^。
[0032] 狀態(tài)導(dǎo)數(shù)加權(quán)矩陣Q,對(duì)狀態(tài)量導(dǎo)數(shù)進(jìn)行約束。在誤差較大時(shí)，減小狀態(tài)導(dǎo)數(shù)加權(quán) 矩陣Q2的值，降低對(duì)狀態(tài)導(dǎo)數(shù)的約束，加快狀態(tài)量收斂速度，在誤差較小時(shí)，增大狀態(tài)導(dǎo)數(shù) 加權(quán)矩陣化的值，對(duì)狀態(tài)變化速率進(jìn)行約束，令狀態(tài)變量平緩變化，降低超調(diào)量。給出的狀 態(tài)導(dǎo)數(shù)加權(quán)矩陣Q2形式可解決有效折衷系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間與超調(diào)量之間的矛盾。狀態(tài)導(dǎo)數(shù)加 權(quán)矩陣化如公式巧）；
[0033]
(8)
[0034] 式中；mw，叫￡R+，R+決定了參數(shù)q2i〇q)，Q22(X2)的變化速率。
[00巧]步驟3,將改進(jìn)基于狀態(tài)相關(guān)黎卡提方程（ISDR巧與積分滑模相結(jié)合進(jìn)一步提高 系統(tǒng)在擾動(dòng)下的魯椿性。
[0036] 含有擾動(dòng)的二階系統(tǒng)如公式巧）所示：
[00；37]文二'4(-v，/U +公(―、-，〇" +<i(-V，〇(9)
[0038] 其中；d(x，t)代表了包含模型不確定性W及外部干擾的聚合擾動(dòng)項(xiàng)， 假設(shè)該聚合擾動(dòng)滿足匹配條件且有界，即存在函數(shù)乃X，/) W及正數(shù)A dmJ吏得： d(X，〇| = |公批，如知成么Adma為IcKx'dl的上界。
[0039] 步驟3. 1，給出積分滑模面S如公式（10):
[0040] s = C[x(t)+z] (10)
[00川其中Z為引入的輔助滑模變量，如公式（11)
[0042] -'
(11)
[004引式中；S，ZG r，C G R"%滑模面的增益矩陣，C由正常數(shù)構(gòu)成，C的選擇應(yīng)保證 CB(x, t)可逆。賦初值，令z0= x(0)，則有s(0) = 0。由于初值s(0) = 0,公式（10)-公式 (11)所示的積分滑模面S可保證系統(tǒng)狀態(tài)一直處于滑模面上，受控的系統(tǒng)對(duì)參數(shù)不確定性 和外部擾動(dòng)具有全局魯椿性。
[0044] 步驟3. 2,給出最優(yōu)積分滑模控制量U，由標(biāo)稱控制量及積分滑模切換項(xiàng)U dk 組成，形式如公式（12)所示：
[0045] u = u*+u"s (12)
[0046] 其中u巧/步驟2得到的標(biāo)稱控制量，主要決定了系統(tǒng)的響應(yīng)動(dòng)態(tài)。
[0047] Udk由步驟3. 1給出的積分滑模面S確定，主要抵消外部干擾與參數(shù)攝動(dòng)對(duì)系統(tǒng)狀 態(tài)響應(yīng)的不良影響，其形式如公式（13)所示：