本發(fā)明屬于信號處理技術(shù)領(lǐng)域，尤其涉及對雷達信號、聲學信號及電磁信號的波達方向估計，具體是一種基于稀疏陣列直接內(nèi)插的波達方向估計方法，可用于無源定位和目標探測。

背景技術(shù)：

波達方向(direction-of-arrival,doa)估計是陣列信號處理領(lǐng)域的一個重要分支，它是指利用陣列天線接收空域信號，并通過現(xiàn)代信號處理技術(shù)和各類優(yōu)化方法實現(xiàn)對接收信號統(tǒng)計量的有效處理，從而實現(xiàn)信號的doa估計，在雷達、聲吶、語音、無線通信等領(lǐng)域均有著重要的應(yīng)用價值。

均勻線性陣列是傳統(tǒng)波達方向估計方法中最為常用的一個陣列結(jié)構(gòu)，因為其滿足奈奎斯特采樣定理，從而能夠?qū)崿F(xiàn)有效的doa估計。但是，陣列孔徑和doa估計的自由度受限于均勻線性陣列中物理陣元的個數(shù)，從而導致了算法性能與計算效率之間的權(quán)衡問題。為了緩解這一矛盾，稀疏陣列開始受到學術(shù)界的關(guān)注，相關(guān)基于稀疏陣列的波達方向估計方法陸續(xù)被提出，用于獲取在相同物理陣元情況下更大的陣列孔徑和更好的分辨率性能，從而探究超出奈奎斯特采樣頻率情況下的doa估計性能。

由于稀疏陣列通常為非均勻或稀疏均勻結(jié)構(gòu)，不滿足奈奎斯特采樣定理?，F(xiàn)有方法通常將稀疏陣列接收信號進行虛擬域統(tǒng)計信號處理，得到高階統(tǒng)計量，并根據(jù)高階統(tǒng)計量所對應(yīng)的虛擬陣列實現(xiàn)doa估計。但是，基于虛擬域的統(tǒng)計信號處理存在一定的局限：一方面，虛擬陣列通常情況下是非均勻的，為了在虛擬域上尋找一個等價均勻線性陣列，一個常見的做法是將其中非連續(xù)的虛擬陣元去除而僅保留連續(xù)虛擬陣元部分所形成的虛擬子陣列，從而導致了信息的損失；另一方面，虛擬域中高階統(tǒng)計量存在采樣快拍個數(shù)不足的問題，從而導致相關(guān)的矩陣操作存在秩虧現(xiàn)象，而為了克服此類問題所引入的空間平滑等技術(shù)在一定程度上造成了doa估計的性能衰減。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的在于針對上述現(xiàn)有技術(shù)存在的不足，提出一種基于稀疏陣列直接內(nèi)插的波達方向估計方法，充分利用了稀疏陣列所接收的全部信號信息，從而提高了doa估計的自由度與準確度。

本發(fā)明的目的是通過以下技術(shù)方案來實現(xiàn)的：一種基于稀疏陣列直接內(nèi)插的波達方向估計方法，包含以下步驟：

(1)接收端使用一個包含l個物理陣元的稀疏陣列接收入射信號，假設(shè)有k個來自θ1,θ2,…,θk方向的遠場窄帶非相干信號源，則l×1維稀疏陣列接收信號x(t)可建模為：

其中，sk(t)為信號波形，n(t)為與各信號源相互獨立的噪聲分量，a(θk)為θk方向的稀疏陣列導引矢量，表示為：

其中，s＝{0,u2d,…,uld}為包含稀疏陣列中各物理陣元實際位置的集合，且稀疏陣列的第一個物理陣元置于零位，即u1＝0；d為入射窄帶信號波長λ的一半，即d＝λ/2；[·]^t表示轉(zhuǎn)置操作；

(2)通過陣元內(nèi)插的方式，將虛擬陣元直接內(nèi)插入稀疏陣列，以形成一個包含個陣元、陣元間距為d、且陣列孔徑與原始稀疏陣列相同的均勻線性陣列，各陣元的位置可表示為：內(nèi)插稀疏陣列的接收信號可建模為：

其中，<·>l表示位于l位置上的陣元所接收到的信號；相應(yīng)地，內(nèi)插稀疏陣列的采樣協(xié)方差矩陣可表示為：

其中，t為采樣快拍的個數(shù)，(·)^h表示共軛轉(zhuǎn)置；

(3)定義一個維內(nèi)插稀疏陣列投影向量p，該向量為二值向量，且與內(nèi)插稀疏陣列中各陣元的狀態(tài)一一對應(yīng)：若內(nèi)插稀疏陣列中某個位置上的陣元為物理陣元，則p中相應(yīng)位置上的元素為1；若內(nèi)插稀疏陣列中某個位置上的陣元為虛擬陣元，則p中相應(yīng)位置上的元素為0；

(4)設(shè)計基于矩陣秩最小化的內(nèi)插稀疏陣列協(xié)方差矩陣重建優(yōu)化問題并求解：以內(nèi)插稀疏陣列采樣協(xié)方差矩陣作為參考，可構(gòu)建如下以矢量z為變量的優(yōu)化問題以重建內(nèi)插稀疏陣列協(xié)方差矩陣：

其中，表示以矢量z為第一列的厄米特對稱toeplitz矩陣；p為維投影矩陣，可計算為p＝pp^t；∈為閾值常數(shù)，用于約束內(nèi)插稀疏陣列協(xié)方差矩陣的重建誤差；保證了重建的內(nèi)插稀疏陣列協(xié)方差矩陣滿足半正定的條件；°表示hadamard積，即矩陣中各元素一一點乘；||·||f表示frobenius范數(shù)，rank(·)表示矩陣的秩；求解上述優(yōu)化問題可得到最優(yōu)化值相應(yīng)地，重建的維toeplitz矩陣為內(nèi)插稀疏陣列協(xié)方差矩陣；

(5)根據(jù)重建的內(nèi)插稀疏陣列協(xié)方差矩陣進行波達方向估計。

進一步地，步驟(4)中所構(gòu)建的非凸優(yōu)化問題可通過凸松弛技術(shù)，將優(yōu)化問題目標函數(shù)中的矩陣秩最小化操作替換為矩陣求跡最小化操作，得到以下以矢量z為變量的凸優(yōu)化問題：

其中，tr(·)表示矩陣的跡。

進一步地，步驟(4)中所構(gòu)建的非凸優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為如下以矢量z為變量的凸優(yōu)化問題以求解：

其中μ為正則化參數(shù)，用于權(quán)衡矩陣的重建誤差和矩陣的跡。

進一步地，步驟(5)中的波達方向估計，可采用以下方法：多重信號分類方法、旋轉(zhuǎn)不變子空間方法、求根多重信號分類方法、協(xié)方差矩陣稀疏重建方法等。

進一步地，步驟(5)中，可通過多重信號分類方法進行波達方向估計，具體為：畫出內(nèi)插稀疏陣列空間功率譜pmusic(θ)：

其中d(θ)是維內(nèi)插稀疏陣列導引矢量，其相應(yīng)的各陣元位置包含于集合en是維矩陣，表示內(nèi)插稀疏陣列協(xié)方差矩陣的噪聲子空間；θ是假定的信號波達方向；通過譜峰搜索尋找空間功率譜pmusic(θ)上的峰值，并將這些峰值所對應(yīng)的響應(yīng)值從大到小排列，取前k個峰值所對應(yīng)的角度方向，即為波達方向估計結(jié)果。

本發(fā)明與現(xiàn)有技術(shù)相比具有以下優(yōu)點：

(1)本發(fā)明避免了在虛擬域中進行統(tǒng)計信號處理，而是直接在稀疏陣列上實現(xiàn)虛擬陣元的內(nèi)插，并將稀疏陣列轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€等價均勻線性陣列以實現(xiàn)滿足奈奎斯特采樣定理條件的波達方向估計，無需計算高階統(tǒng)計量，能夠完全利用稀疏陣列接收到的全部信號信息；

(2)本發(fā)明在內(nèi)插稀疏陣列協(xié)方差矩陣重建的優(yōu)化問題設(shè)計中引入了協(xié)方差矩陣的toeplitz結(jié)構(gòu)作為先驗信息，以保證重建結(jié)果與理論值的接近程度，在增加自由度的同時提升了波達方向估計的準確度。

附圖說明

圖1是本發(fā)明的方法總體流程框圖。

圖2是用于體現(xiàn)本發(fā)明所提方法自由度性能的空間功率譜示意圖。

圖3是本發(fā)明所提方法在不同稀疏陣列結(jié)構(gòu)情況下的波達方向估計均方根誤差與信噪比之間的性能對比示意圖，采樣快拍數(shù)t＝500。

具體實施方式

以下參照附圖，對本發(fā)明的技術(shù)方案和效果作進一步的詳細說明。

對于doa估計方法在實際系統(tǒng)中的應(yīng)用，稀疏陣列能夠在使用相同物理陣元個數(shù)的情況下獲得比均勻線性陣列更大的陣列孔徑和更多的自由度，因而在陣列信號處理領(lǐng)域受到了極大的關(guān)注?，F(xiàn)有方法通常將稀疏陣列推導至虛擬域，并通過等價虛擬陣列信號統(tǒng)計量的處理實現(xiàn)波達方向的估計。但是，基于虛擬域的統(tǒng)計信號處理存在信息損失和性能衰減等問題。為了充分利用稀疏陣列的大孔徑優(yōu)勢及其接收到的全部信號信息，本發(fā)明提供了一種基于稀疏陣列直接內(nèi)插的波達方向估計方法，參照圖1，本發(fā)明的實現(xiàn)步驟如下：

步驟一：接收端使用稀疏陣列接收信號并建模。假設(shè)有k個來自θ1,θ2,…,θk方向的遠場窄帶非相干信號源，使用一個包含l個物理陣元的稀疏陣列接收入射信號，則該稀疏陣列的接收信號x(t)為l×1維向量，可建模為：

其中，sk(t)為信號波形，n(t)為與各信號源相互獨立的噪聲分量，a(θk)為θk方向的稀疏陣列導引矢量，表示為

其中，s＝{0,u2d,…,uld}為包含稀疏陣列中各物理陣元實際位置的集合，且稀疏陣列的第一個物理陣元置于零位，即u1＝0；d為入射窄帶信號波長λ的一半，即d＝λ/2；[·]^t表示轉(zhuǎn)置操作。

步驟二：通過虛擬陣元內(nèi)插將稀疏陣列轉(zhuǎn)變?yōu)榫鶆蚓€性陣列并進行接收信號建模。通過陣元內(nèi)插的方式，將虛擬陣元直接內(nèi)插入稀疏陣列，以形成一個包含個陣元、陣元間距為d、且陣列孔徑與原始稀疏陣列相同的均勻線性陣列，各陣元的位置可表示為：由于內(nèi)插的虛擬陣元并非實際存在，實際中無法接收信號，故內(nèi)插稀疏陣列的接收信號可建模為：

其中，<·>l表示位于l位置上的陣元所接收到的信號；相應(yīng)地，內(nèi)插稀疏陣列的采樣協(xié)方差矩陣可表示為：

其中，t為采樣快拍的個數(shù)，(·)^h表示共軛轉(zhuǎn)置。

步驟三：內(nèi)插稀疏陣列投影向量定義。內(nèi)插稀疏陣列投影向量p為維二值向量，且與內(nèi)插稀疏陣列中各陣元的狀態(tài)一一對應(yīng)：若內(nèi)插稀疏陣列中某個位置上的陣元為物理陣元，則p中相應(yīng)位置上的元素為1；若內(nèi)插稀疏陣列中某個位置上的陣元為虛擬陣元，則p中相應(yīng)位置上的元素為0。

步驟四：設(shè)計基于矩陣秩最小化的內(nèi)插稀疏陣列協(xié)方差矩陣重建優(yōu)化問題并求解。以內(nèi)插稀疏陣列采樣協(xié)方差矩陣作為參考，可構(gòu)建如下以矢量z為變量的優(yōu)化問題以重建內(nèi)插稀疏陣列協(xié)方差矩陣：

其中，表示以矢量z為第一列的厄米特對稱toeplitz矩陣；p為維投影矩陣，可計算為p＝pp^t；∈為閾值常數(shù)，用于約束內(nèi)插稀疏陣列協(xié)方差矩陣的重建誤差；保證了重建的內(nèi)插稀疏陣列協(xié)方差矩陣滿足半正定的條件；°表示hadamard積，即矩陣中各元素一一點乘；||·||f表示frobenius范數(shù)，rank(·)表示矩陣的秩。求解上述優(yōu)化問題可得到最優(yōu)化值由于上述優(yōu)化問題包含求解矩陣的秩最小化這一非凸項，這將導致求解困難；為了獲得優(yōu)化解，我們考慮引入凸松弛技術(shù)，將上述優(yōu)化問題目標函數(shù)中矩陣秩最小化操作替換為矩陣求跡最小化操作，得到以下以矢量z為變量的凸優(yōu)化問題：

其中tr(·)表示矩陣的跡。上述凸優(yōu)化問題可等價寫為以下以矢量z為變量的凸優(yōu)化問題：

其中μ為正則化參數(shù)，用于權(quán)衡矩陣的重建誤差和矩陣的跡。求解上述凸優(yōu)化問題可得到最優(yōu)化值相應(yīng)地，重建的維toeplitz矩陣為內(nèi)插稀疏陣列協(xié)方差矩陣。

步驟五：根據(jù)重建的內(nèi)插稀疏陣列協(xié)方差矩陣進行波達方向估計。通過引入經(jīng)典的方法，如多重信號分類方法、旋轉(zhuǎn)不變子空間方法、求根多重信號分類方法、協(xié)方差矩陣稀疏重建方法等，可以求得波達方向估計結(jié)果。以多重信號分類方法為例，畫出內(nèi)插稀疏陣列空間功率譜pmusic(θ)

其中d(θ)是維內(nèi)插稀疏陣列導引矢量，其相應(yīng)的各陣元位置包含于集合en是維矩陣，表示內(nèi)插稀疏陣列協(xié)方差矩陣的噪聲子空間；θ是假定的信號波達方向；通過譜峰搜索尋找空間功率譜pmusic(θ)上的峰值，并將這些峰值所對應(yīng)的響應(yīng)值從大到小排列，取前k個峰值所對應(yīng)的角度方向，即為波達方向估計結(jié)果。

本發(fā)明通過虛擬陣元直接內(nèi)插的方式將稀疏陣列轉(zhuǎn)變?yōu)榫鶆蚓€性陣列并建模，無需等價虛擬陣列接收信號的推導即可實現(xiàn)滿足奈奎斯特采樣定理條件的統(tǒng)計信號處理；此外，本發(fā)明通過內(nèi)插稀疏陣列協(xié)方差矩陣重建的方式實現(xiàn)了內(nèi)插稀疏陣列采樣協(xié)方差矩陣中空缺元素的填充，有效地利用了稀疏陣列的大陣列孔徑優(yōu)勢及其全部接收信號的信息，增加了波達方向估計的自由度和準確度。

下面結(jié)合仿真實例對本發(fā)明的效果做進一步的描述。

仿真實例1：接收端使用7個物理陣元架構(gòu)稀疏陣列，各物理陣元的位置分別為0,3d,5d,6d,9d,10d,12d；假定入射窄帶信號個數(shù)為11，且入射方向均勻分布于-50°至50°這一空間角度域范圍內(nèi)；信噪比設(shè)置為0db，采樣快拍數(shù)t＝500；正則化參數(shù)μ設(shè)置為0.25。

本發(fā)明所提出的基于稀疏陣列直接內(nèi)插的波達方向估計方法空間功率譜如圖2所示，其中垂直虛線代表入射信號源的實際方向?？梢钥闯觯景l(fā)明所提方法僅通過7個物理陣元即可有效分辨這11個入射信號源。而對于傳統(tǒng)采用均勻線性陣列的方法，利用7個物理天線陣元最多只能分辨6個入射信號，以上結(jié)果體現(xiàn)了本發(fā)明所提方法在自由度性能上的優(yōu)勢。

仿真實例2：分別考慮三種不同的稀疏陣列結(jié)構(gòu)，即：最小冗余陣列、嵌套陣列和隨機陣列；各陣列均包含7個物理陣元，則最小冗余陣列的物理陣元位置為0,d,8d,11d,13d,15d,17d；嵌套陣列的物理陣元位置為0,d,2d,3d,7d,11d,15d；隨機陣列的物理陣元位置隨機產(chǎn)生，為了保證陣列孔徑的固定，其中兩個物理陣元的位置固定為0與12d；假定入射窄帶隨機信號的方向滿足均值為0°、方差為1°的隨機分布，本發(fā)明所提方法在不同陣列結(jié)構(gòu)情況下的均方根誤差性能隨信噪比的變化如圖3所示，采樣快拍數(shù)t＝500；與此同時，相應(yīng)的克拉美羅界也在圖3中標出以作為參考。由圖3所示的性能對比結(jié)果可以看出，本發(fā)明所提方法對于不同結(jié)構(gòu)的稀疏陣列具有普適性，且在信噪比大于-10db的情況下均方根誤差性能與克拉美羅界基本重合，體現(xiàn)了本方法優(yōu)越的波達方向估計準確度。

綜上所述，本發(fā)明所提方法充分利用了稀疏陣列大陣列孔徑的優(yōu)勢，能夠充分利用稀疏陣列接收到的全部信息，提升了波達方向估計的準確度；并通過虛擬陣元直接內(nèi)插的方式提升波達方向估計的自由度，實現(xiàn)在信號源個數(shù)大于等于物理陣元個數(shù)情況下的波達方向有效估計。此外，與傳統(tǒng)采用均勻線性陣列的方法相比，本發(fā)明所提方法在實際應(yīng)用中所需的物理天線陣元及射頻模塊也能夠相應(yīng)減少，體現(xiàn)了經(jīng)濟性和高效性。