本發(fā)明屬于先進(jìn)檢測技術(shù)領(lǐng)域，涉及一種基于三線結(jié)構(gòu)光的凹球直徑測量系統(tǒng)及測量方法。

技術(shù)背景

凹球類零件是一種廣泛存在于工業(yè)生產(chǎn)中的零件，如空調(diào)壓縮機(jī)活塞等，但對凹球幾何參數(shù)的測量比較復(fù)雜，目前國內(nèi)外尚無成熟的，針對性的測量設(shè)備的問世。部分企業(yè)采用接觸式探針測量的方式進(jìn)行凹球參數(shù)的測量，這種傳統(tǒng)的探針式的接觸測量方法存在測量力，測量時間長，需進(jìn)行探頭半徑的補(bǔ)償以及不能測量較軟材料等局限性，極大的限制了企業(yè)生產(chǎn)效率的提高，而且可能對表面質(zhì)量造成劃傷。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的在于提供極大的提高凹球直徑的檢測速度，簡化檢測流程，有利于實現(xiàn)凹球直徑的自動化檢測，且魯棒性好，不會因為操作人員的習(xí)慣導(dǎo)致測量結(jié)果的差異，也避免了對凹球表面的劃傷的基于三線結(jié)構(gòu)光的凹球直徑測量系統(tǒng)。

本發(fā)明還提供了一種提高凹球直徑檢測精度，提高凹球尺寸檢測效率，從而提高企業(yè)的生產(chǎn)效率的基于三線結(jié)構(gòu)光的凹球直徑測量方法。

本發(fā)明采用的技術(shù)方案是：

一種基于三線結(jié)構(gòu)光的凹球直徑測量系統(tǒng)，其特征在于：包括工作臺，所述工作臺上放置有凹球，并且安裝有將三條激光線均勻打在凹球面上的三線結(jié)構(gòu)光發(fā)生器和用于采集凹球全貌的相機(jī)組件，所述三線結(jié)構(gòu)光發(fā)生器與控制其光源的主控計算機(jī)連接，所述相機(jī)組件與接收其傳送的圖像的主控計算機(jī)通訊連接，所述主控計算機(jī)上連接有提取圖像中三個激光線條并重建擬合得到凹球直徑的數(shù)字圖像處理模塊。本發(fā)明采用非接觸測量方式進(jìn)行凹球直徑測量，避免了對凹球表面的劃傷；本系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單、安裝容易；對于同一型號凹球可連續(xù)測量，測量效率高，對于不同大小的凹球只需調(diào)整三線結(jié)構(gòu)光發(fā)生器和相機(jī)組件的距離與角度，具有很好的柔性。

進(jìn)一步，所述相機(jī)組件包括相機(jī)，所述相機(jī)內(nèi)設(shè)有圖像采集卡，其前端連接有鏡頭，所述圖像采集卡與主控計算機(jī)通訊連接。

進(jìn)一步，所述三線結(jié)構(gòu)光發(fā)生器通過數(shù)字接口與主控計算機(jī)。

進(jìn)一步，所述工作臺上固定有兩立柱，每根立柱上均安裝有調(diào)節(jié)固定座，調(diào)節(jié)固定座上穿設(shè)有滑動光軸，一根滑動光軸上安裝有裝夾三線結(jié)構(gòu)光發(fā)生器的結(jié)構(gòu)光夾具，另一根滑動光軸上安裝有微調(diào)升降臺，微調(diào)升降臺上安裝有相機(jī)固定架，相機(jī)組件通過夾相機(jī)頂塊裝夾在相機(jī)固定架上。

上述測量系統(tǒng)的測量方法，包括以下步驟：

1)相機(jī)內(nèi)參數(shù)的標(biāo)定；相機(jī)模型中世界坐標(biāo)系到圖像坐標(biāo)系的變換關(guān)系如下：

式中：xu,yu為圖像坐標(biāo)系上點(diǎn)的x,y坐標(biāo)，單位為像素，zc為攝像機(jī)三維坐標(biāo)系上的點(diǎn)的z坐標(biāo)，單位為mm，f為相機(jī)的焦距，θ為坐標(biāo)軸xi與yi之間的實際夾角，k,l為感光芯片像素的實際大小，xi0,yi0為圖像的平面中心，xw,yw,zw為世界坐標(biāo)系下的點(diǎn)的坐標(biāo)，矩陣a包括f,k,θ,l,xio,yio這6個參數(shù)，是相機(jī)內(nèi)參數(shù)矩陣；剛性變換r,t為相機(jī)外部參數(shù)；

將相機(jī)組件的相機(jī)和鏡頭連接，調(diào)整焦距并固定焦距，對相機(jī)內(nèi)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定，得到矩陣a中的各參數(shù)；

2)調(diào)節(jié)將三線結(jié)構(gòu)光發(fā)生器和相機(jī)組件，將待測凹球放在工作臺上，調(diào)節(jié)三線結(jié)構(gòu)光發(fā)生器使三條激光線均勻打在凹球面上，然后安裝相機(jī)組件并調(diào)節(jié)相機(jī)組件的方位保證相機(jī)通過鏡頭采集到凹球的全貌；

3)計算相機(jī)外部參數(shù)，保持三線結(jié)構(gòu)光發(fā)生器和相機(jī)組件不動，拿下待測凹球，獲取工作臺相對相機(jī)的外部參數(shù)tc_ext[3]，rc_ext[3x3]，即是式(1)中r,t；

4)進(jìn)行結(jié)構(gòu)光平面的標(biāo)定，三線結(jié)構(gòu)光平面π1,π2,π3在世界坐標(biāo)系下的方程分別為：

a1xw+b1xw+c1xw+d1＝0(2)

a2xw+b2xw+c2xw+d2＝0(3)

a3xw+b3xw+c3xw+d3＝0(4)

式(2)-(4)中：a，b，c，d分別是平面π1,π2,π3的平面方程系數(shù)，經(jīng)過標(biāo)定后得到擬合光平面的目標(biāo)方程為：

5)獲取圖像，將待測的凹球重新放在工作臺原來的位置上，進(jìn)行圖像采集；

6)分割并識別三個激光線條，從采集的圖像中提取凹球內(nèi)激光線條和細(xì)化凹球，將提取的激光線條與結(jié)構(gòu)光平面匹配獲取n組在三條激光線上的圖像平面坐標(biāo)系上的點(diǎn)(xu，yu)；

7)激光線條上點(diǎn)的三維重建，基于式(1)-(4)，進(jìn)行凹球面內(nèi)激光線條上點(diǎn)的三維重建，獲取n個世界坐標(biāo)系下的三維坐標(biāo)(xw,yw,zw)；

8)進(jìn)行凹球的擬合，利用最小二乘法對球進(jìn)行擬合，待測球的一般方程為：

(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²＝r²(6)

對上述方程進(jìn)行變形，得到如下的形式：

x·2a+y·2b+z·2c+r²-a²-b²-c²＝x²+y²+z²(7)

令m＝2a,f＝2b,j＝2c,k＝r²-a²-b²-c²，則式(6)可用表示為如下的形式：

x·m+y·f+z·j+k＝x²+y²+z²(8)

則球的擬合問題可轉(zhuǎn)換為已知n組坐標(biāo)點(diǎn)(x,y,z)，求式(7)的超定線性方程組的最小二乘解(m^*,f^*,j^*.k^*)，其求解過程用矩陣形式表示如式(8)所示：

其中n>4,可以求得：m^*,f^*,j^*,k^*；

9)獲取凹球的半徑，最終球心坐標(biāo)與半徑的表達(dá)式如下：

則最終凹球的直徑為：

進(jìn)一步，相機(jī)內(nèi)參數(shù)使用張正友標(biāo)定法進(jìn)行標(biāo)定，標(biāo)定后得到fc[2],cc[2],alpha_c參數(shù)，各參數(shù)的含義如式(12)所示：

比較式(1)與式(12)可得對應(yīng)關(guān)系為：

進(jìn)一步，相機(jī)引入透鏡畸變后實際成像平面坐標(biāo)系上點(diǎn)的坐標(biāo)與理想情況下程序平面上點(diǎn)的坐標(biāo)pi(xi,yi)之間的關(guān)系如下:

式中：ri為該點(diǎn)距離成像儀中心的半徑，(k1,k2,p1,p2)為描述相機(jī)畸變的四個參數(shù)；

pu(xu,yu)與pi(xi,yi)之間的關(guān)系如下：

步驟1)中的相機(jī)內(nèi)部參數(shù)標(biāo)定還包括透鏡畸變相關(guān)參數(shù)的標(biāo)定，標(biāo)定后得到kc[5]，與式(2)的對應(yīng)關(guān)系如下：

k1＝kc(1),k2＝kc(2),p1＝kc(3),p2＝kc(4)(16)。

進(jìn)一步，步驟1)標(biāo)定后還得到標(biāo)定結(jié)構(gòu)的像素誤差參數(shù)error[2]。

進(jìn)一步，步驟4)中的標(biāo)定分兩步進(jìn)行，第一步將三線結(jié)構(gòu)光投射到相機(jī)已標(biāo)定好內(nèi)外參數(shù)的zw＝0的平面上，得到3個結(jié)構(gòu)光平面在zw＝0的平面上一條交線上所有點(diǎn)的三維坐標(biāo)；第二步將厚度為h0的量塊放在zw＝0的平面上，量塊上表面在世界坐標(biāo)系下的方程為：zw＝h0，同樣可以得到3個結(jié)構(gòu)光平面與此平面上交線的所有的點(diǎn)的三維坐標(biāo)；利用上面得到的世界坐標(biāo)，針對每一個結(jié)構(gòu)光平面都可以有足夠的點(diǎn)進(jìn)行光平面的擬合。

進(jìn)一步，步驟6)中通過圖像分割算法來提取凹球內(nèi)激光線條，基于骨架提取算法來細(xì)化凹球，基于連通區(qū)域標(biāo)記算法來匹配激光線條與結(jié)構(gòu)光平面。

本發(fā)明的有益效果是：

(1)測量效率高：對于同一種型號的凹球類工件，一次標(biāo)定即可進(jìn)行多件測量。在采集卡采集效率較高時，只需0.2s之內(nèi)就可以完成對圖像的采集和相關(guān)的計算。

(2)柔性好：對于不同大小的凹球，只需調(diào)整結(jié)構(gòu)光與相機(jī)的距離與角度，再進(jìn)行標(biāo)定后即可進(jìn)行測量，具有很好的柔性。

(3)結(jié)構(gòu)簡單，安裝容易：由圖1可知，本測量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單，便于安裝。

(4)測量精度高：在相機(jī)分辨率滿足要求，感光芯片足夠大以及標(biāo)定準(zhǔn)確的情況下，本測量方法測量直徑為20mm的凹球時，精度可以達(dá)到微米級。

附圖說明

圖1是本發(fā)明的結(jié)構(gòu)示意圖。

圖2是本發(fā)明的測量原理圖。

圖3是本發(fā)明的測量流程圖。

圖4是本發(fā)明的結(jié)構(gòu)光平面標(biāo)定示意圖。

具體實施方式

下面結(jié)合具體實施例來對本發(fā)明進(jìn)行進(jìn)一步說明，但并不將本發(fā)明局限于這些具體實施方式。本領(lǐng)域技術(shù)人員應(yīng)該認(rèn)識到，本發(fā)明涵蓋了權(quán)利要求書范圍內(nèi)所可能包括的所有備選方案、改進(jìn)方案和等效方案。

實施例一

參照圖1-3，一種基于三線結(jié)構(gòu)光的凹球直徑測量系統(tǒng)，包括工作臺，所述工作臺上放置有凹球1，并且安裝有將三條激光線均勻打在凹球1面上的三線結(jié)構(gòu)光發(fā)生器2和用于采集凹球全貌的相機(jī)組件，所述相機(jī)組件包括相機(jī)6，所述相機(jī)6內(nèi)設(shè)有圖像采集卡，其前端連接有鏡頭11，所述三線結(jié)構(gòu)光發(fā)生器2通過數(shù)字接口與控制其光源的主控計算機(jī)連接，所述相機(jī)組件的圖像采集卡與接收其傳送的圖像的主控計算機(jī)通訊連接，所述主控計算機(jī)上連接有提取圖像中三個激光線條并重建擬合得到凹球直徑的數(shù)字圖像處理模塊。本發(fā)明采用非接觸測量方式進(jìn)行凹球直徑測量，避免了對凹球表面的劃傷；本系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單、安裝容易；對于同一型號凹球可連續(xù)測量，測量效率高，對于不同大小的凹球只需調(diào)整三線結(jié)構(gòu)光發(fā)生器2和相機(jī)組件的距離與角度，具有很好的柔性。

本實施例所述工作臺上固定有兩立柱5，每根立柱5上均安裝有調(diào)節(jié)固定座4，調(diào)節(jié)固定座4上穿設(shè)有滑動光軸7，一根滑動光軸7上安裝有裝夾三線結(jié)構(gòu)光發(fā)生器2的結(jié)構(gòu)光夾具3，另一根滑動光軸7上安裝有微調(diào)升降臺8，微調(diào)升降臺8上安裝有相機(jī)固定架9，相機(jī)組件通過夾相機(jī)頂塊10裝夾在相機(jī)固定架9上。

本發(fā)明的三線結(jié)構(gòu)光發(fā)生器2可以通過調(diào)節(jié)固定座4進(jìn)行上下調(diào)整以及結(jié)構(gòu)光方向的調(diào)整。相機(jī)6可以通過調(diào)節(jié)固定座4進(jìn)行上下調(diào)整，通過滑動光軸7進(jìn)行左右的調(diào)整以及相機(jī)6方向的調(diào)整，通過微調(diào)升降臺8進(jìn)行相機(jī)位置的微調(diào)。最終要實現(xiàn)將三線結(jié)構(gòu)光打在凹球1上，且相機(jī)6中可以采集到凹球1的全部圖像。

圖2是三線結(jié)構(gòu)光測量凹球直徑的原理圖。相機(jī)模型采用引入透鏡畸變的針孔相機(jī)模型。為了便于建模，建立如圖2所示的4個坐標(biāo)系，其中，ow-xwywzw為世界坐標(biāo)系，oc-xcyczc為攝像機(jī)三維坐標(biāo)系，坐標(biāo)系ou-xuyu位于相機(jī)圖像平面，以像素為單位，默認(rèn)左上角為坐標(biāo)原點(diǎn)，為圖像坐標(biāo)系。直線l為相機(jī)光軸，理論上光軸l與圖像平面垂直。坐標(biāo)系oi-xiyi以光軸和成像平面的實際交點(diǎn)oi為原點(diǎn)，單位為mm，是成像平面坐標(biāo)系。最終要獲得的是世界坐標(biāo)系ow和圖像坐標(biāo)系ou之間的關(guān)系。

根據(jù)針孔相機(jī)模型，從世界坐標(biāo)系到圖像坐標(biāo)系的變換關(guān)系如下：

式中：xu,yu為圖像坐標(biāo)系上點(diǎn)的x,y坐標(biāo)，單位為像素，zc為攝像機(jī)三維坐標(biāo)系上的點(diǎn)的z坐標(biāo)，單位為mm，f為相機(jī)的焦距，θ為坐標(biāo)軸xi與yi之間的實際夾角，k,l為感光芯片像素的實際大小，xi0,yi0為圖像的平面中心，xw,yw,zw為世界坐標(biāo)系下的點(diǎn)的坐標(biāo)。矩陣a包括f,k,θ,l,xio,yio這6個參數(shù)，是相機(jī)內(nèi)參數(shù)矩陣。

為提高相機(jī)標(biāo)定精度,透鏡會引入畸變，為簡化分析，考慮了切向畸變和徑向畸變這兩種主要的畸變。徑向畸變源于透鏡的形狀。成像儀中心畸變?yōu)?，越到邊緣，畸變越嚴(yán)重。

引入透鏡畸變后實際成像平面坐標(biāo)系上點(diǎn)的坐標(biāo)與理想情況下程序平面上點(diǎn)的坐標(biāo)pi(xi,yi)之間的關(guān)系如下:

式中：ri為該點(diǎn)距離成像儀中心的半徑，(k1,k2,p1,p2)為描述相機(jī)畸變的四個參數(shù)。

pu(xu,yu)與pi(xi,yi)之間的關(guān)系如下：

a與描述透鏡畸變的參數(shù)(k1,k2,p1,p2)一起組成了相機(jī)內(nèi)部參數(shù)。剛性變換r,t為攝像機(jī)外部參數(shù)，描述了世界坐標(biāo)系與攝像機(jī)坐標(biāo)系之間的相互關(guān)系。

式(1)、式(14)得到一個圖像點(diǎn)到空間點(diǎn)的映射關(guān)系，這些參數(shù)可以通過相機(jī)標(biāo)定來獲得。

同時，圖2中的平面π1,π2,π3是結(jié)構(gòu)光平面，其在世界坐標(biāo)系下的方程分別為：

a1xw+b1xw+c1xw+d1＝0(2)

a2xw+b2xw+c2xw+d2＝0(3)

a3xw+b3xw+c3xw+d3＝0(4)

式(2)-(4)中：a，b，c，d分別是平面π1,π2,π3的平面方程系數(shù)。

通過相機(jī)標(biāo)定獲取相機(jī)內(nèi)外參數(shù)與畸變系數(shù)，通過結(jié)構(gòu)光平面標(biāo)定獲取結(jié)構(gòu)光平面的方程，就可以根據(jù)圖像坐標(biāo)系上的點(diǎn)pu(xu,yu)得到在世界平面坐標(biāo)系下的點(diǎn)pw(xw,yw,zw)，從而完成凹球面上的點(diǎn)的三維重建。最后，基于最小二乘法進(jìn)行凹球方程的擬合，即可得到凹球的直徑。

從圖3可以看到，本發(fā)明主要包括激光器光源控制部分，相機(jī)、鏡頭與采集卡等圖像采集部分以及后續(xù)的數(shù)據(jù)處理部分。首先通過光源控制，將3條線結(jié)構(gòu)光投射在工件凹球1上，之后通過相機(jī)6，鏡頭11與采集卡進(jìn)行圖像采集。測量前系統(tǒng)要進(jìn)行標(biāo)定，包括相機(jī)和結(jié)構(gòu)光平面的標(biāo)定。最后，通過圖像處理提取激光條紋，獲取凹球表面一系列點(diǎn)的三維坐標(biāo)，最后通過擬合計算得到凹球的直徑。

實施例二

參照圖1-4，一種基于三線結(jié)構(gòu)光的凹球直徑測量系統(tǒng)的測量方法，包括以下步驟：

1)相機(jī)內(nèi)參數(shù)的標(biāo)定。

相機(jī)模型中世界坐標(biāo)系到圖像坐標(biāo)系的變換關(guān)系如下：

式中：xu,yu為圖像坐標(biāo)系上點(diǎn)的x,y坐標(biāo)，單位為像素，zc為攝像機(jī)三維坐標(biāo)系上的點(diǎn)的z坐標(biāo)，單位為mm，f為相機(jī)的焦距，θ為坐標(biāo)軸xi與yi之間的實際夾角，k,l為感光芯片像素的實際大小，xi0,yi0為圖像的平面中心，xw,yw,zw為世界坐標(biāo)系下的點(diǎn)的坐標(biāo)，矩陣a包括f,k,θ,l,xio,yio這6個參數(shù)，是相機(jī)內(nèi)參數(shù)矩陣；剛性變換r,t為相機(jī)外部參數(shù)；

相機(jī)引入透鏡畸變后實際成像平面坐標(biāo)系上點(diǎn)的坐標(biāo)與理想情況下程序平面上點(diǎn)的坐標(biāo)pi(xi,yi)之間的關(guān)系如下:

式中：ri為該點(diǎn)距離成像儀中心的半徑，(k1,k2,p1,p2)為描述相機(jī)畸變的四個參數(shù)；

pu(xu,yu)與pi(xi,yi)之間的關(guān)系如下：

將相機(jī)與鏡頭通過接口連接，調(diào)整焦距至30mm，之后固定焦距，使用張正友標(biāo)定法進(jìn)行相機(jī)的標(biāo)定。

基于matlab中的cameracalibrationtoolbox工具箱來標(biāo)定相機(jī)，標(biāo)定結(jié)束后，將得到fc[2],cc[2],alpha_c,kc[5],error[2]這五個內(nèi)部參數(shù)，各參數(shù)的含義如式(12)所示：

比較式(1)與式(12)可得對應(yīng)關(guān)系為：

同時，kc[5]為得到的透鏡畸變相關(guān)參數(shù)，與式(14)的對應(yīng)關(guān)系如下：

k1＝kc(1),k2＝kc(2),p1＝kc(3),p2＝kc(4)(16)

error[2]這個參數(shù)表示的是標(biāo)定結(jié)果的像素誤差。

2)調(diào)節(jié)將三線結(jié)構(gòu)光發(fā)生器和相機(jī)組件，將待測凹球放在工作臺上，調(diào)節(jié)三線結(jié)構(gòu)光發(fā)生器使三條激光線均勻打在凹球面上，然后安裝相機(jī)組件并調(diào)節(jié)相機(jī)組件的方位保證相機(jī)通過鏡頭采集到凹球的全貌。

3)計算相機(jī)外部參數(shù)，保持三線結(jié)構(gòu)光發(fā)生器和相機(jī)組件不動，拿下待測凹球，獲取工作臺相對相機(jī)的外部參數(shù)tc_ext[3]，rc_ext[3x3]，即是式(1)中r,t。

4)進(jìn)行結(jié)構(gòu)光平面的標(biāo)定。三線結(jié)構(gòu)光平面π1,π2,π3在世界坐標(biāo)系下的方程分別為：

a1xw+b1xw+c1xw+d1＝0(2)

a2xw+b2xw+c2xw+d2＝0(3)

a3xw+b3xw+c3xw+d3＝0(4)

式(2)-(4)中：a，b，c，d分別是平面π1,π2,π3的平面方程系數(shù)；結(jié)合精密量塊進(jìn)行結(jié)構(gòu)光平面標(biāo)定，該標(biāo)定分兩步進(jìn)行。首先，將三線結(jié)構(gòu)光投射到已標(biāo)定好內(nèi)外參數(shù)的測量系統(tǒng)的zw＝0的平面上，如圖4a所示。由式(1)可知，在已知zw＝0的已標(biāo)定好相機(jī)參數(shù)的系統(tǒng)里，可以由xu，yu求出xw，yw，從而得到3個結(jié)構(gòu)光平面在zw＝0的平面上一條交線上所有點(diǎn)的三維坐標(biāo)。之后將厚度h＝h0的量塊放在zw＝0的平面上，如圖4b所示，這樣量塊上表面在世界坐標(biāo)系下的方程為：zw＝h0,同樣可以得到3個結(jié)構(gòu)光平面與此平面上交線的所有的點(diǎn)的三維坐標(biāo)。利用上面得到的世界坐標(biāo)，針對每一個結(jié)構(gòu)光平面都可以有足夠的點(diǎn)進(jìn)行光平面的擬合。擬合光平面的目標(biāo)方程為：

相機(jī)標(biāo)定和結(jié)構(gòu)光平面的標(biāo)定完成后便得到測量系統(tǒng)所有的外參數(shù)與內(nèi)參數(shù)，完成了整個系統(tǒng)的標(biāo)定。

5)獲取圖像，將待測的凹球重新放在工作臺原來的位置上，進(jìn)行圖像采集。

6)分割并識別三個激光線條。結(jié)合圖像分割算法，實現(xiàn)凹球內(nèi)激光線條的提??；基于骨架提取算法，實現(xiàn)凹球的細(xì)化；基于連通區(qū)域標(biāo)記算法，實現(xiàn)激光線條與結(jié)構(gòu)光平面的匹配。最后提取出n組在三條激光線上的圖像平面坐標(biāo)系上的點(diǎn)(xu,yu)。

7)激光線條上點(diǎn)的三維重建，基于式(1)-(4)，進(jìn)行凹球面內(nèi)激光線條上點(diǎn)的三維重建，獲取n個世界坐標(biāo)系下的三維坐標(biāo)(xw,yw,zw)。

8)進(jìn)行凹球的擬合。利用最小二乘法對球進(jìn)行擬合，待測球的一般方程為：

(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²＝r²(6)

對上述方程進(jìn)行變形，得到如下的形式：

x·2a+y·2b+z·2c+r²-a²-b²-c²＝x²+y²+z²(7)

令m＝2a,f＝2b,j＝2c,k＝r²-a²-b²-c²，則式(6)可用表示為如下的形式：

x·m+y·f+z·j+k＝x²+y²+z²(8)

則球的擬合問題可轉(zhuǎn)換為已知n組坐標(biāo)點(diǎn)(x,y,z)，求式(7)的超定線性方程組的最小二乘解(m^*,f^*,j^*.k^*)，其求解過程用矩陣形式表示如式(8)所示：

其中n>4,可以求得：m^*,f^*,j^*,k^*。

9)獲取凹球的半徑，最終球心坐標(biāo)與半徑的表達(dá)式如下：

則最終凹球的直徑為：

本方法通過相機(jī)標(biāo)定獲取相機(jī)內(nèi)外參數(shù)與畸變系數(shù)，通過結(jié)構(gòu)光平面標(biāo)定獲取結(jié)構(gòu)光平面的方程，就可以根據(jù)圖像坐標(biāo)系上的點(diǎn)pu(xu,yu)得到在世界平面坐標(biāo)系下的點(diǎn)pw(xw,yw,zw)，從而完成凹球面上的點(diǎn)的三維重建。最后，基于最小二乘法進(jìn)行凹球方程的擬合，即可得到凹球的直徑。